1.2.1 等差数列及其通项公式（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 1.2.1 等差数列及其通项公式 1.2 等差数列 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 (1)通过生活中的实例，理解等差数列的概念． (2)能在具体问题情景中，发现数列的等差关系． (3)会推导等差数列的通项公式，并能应用公式解决简单的等差数列问题． 情景导入 同学们，在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份： 1682, 1758,1834,1910,1986. 通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的年份吗？这就需要用到一种特殊的数列，今天我们一起来探讨此类数列. 在现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列： （1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位： cm）由大至小可组成数列 25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21． ① （2）某住宅小区 2013—2017 年的绿化建设有如下数据： 2013—2017 年各年的绿化覆盖率组成数列 15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%． ② 年份 2013 2014 2015 2016 2017 绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8 1.等差数列的概念 新知探究 （3）黄白两种颜色的正六边形按如图1．2-1的规律拼成一系列图案．图案中白色正六边形的个数依次构成数列 6，10，14，……． ③ 这些数列有什么共同的特点呢? 研究这些数列的特征及变化规律，我们可以发现 对于数列①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21． 从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -0.5； 对于数列②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%． 从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于2%； 对于数列③ 6，10，14，……． 从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于4 也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为： an－an-1=d，n≥2 ； an+1－an = an－an-1，n≥2． 数列①、②、③均为等差数列，它们的公差分别为-0.5，2%，4． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 概念归纳 若等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么根据等差数列的定义可得： a2－a1=d ；a3－a2=d ；a4－a3=d …… 进而移项可得： a2=a1+d ； a3=a2+d= a1+2d； a4=a3+d= a1+3d ； …… 猜想： an=a1+(n－1)d ． 数列的通项公式决定了数列的每一项，也就决定了数列的全部性质，那么我们能否找到等差数列的通项公式呢？ 2.等差数列的通项公式 新知探究 若等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么根据等差数列的定义可得： a2－a1=d ； a3－a2=d ； a4－a3=d ； …… an－an-1=d，n≥2 ． 把这n－1个式子相加可得： an－a1=(n－1)d ． 由此得到 an=a1＋(n－1)d ． 当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立，因此等差数列{an}通项公式为： an=a1＋(n－1)d（n∈N+） 叠加法是求数列通项公式的一种常用方法． 概念归纳 一般地，如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的通项公式为：an=a1＋(n－1)d ． an=25＋(n－1)×(-0.5)=-0.5＋25.5 an=15.8%＋(n－1)×2%=2n%＋13.8% an=6＋(n－1)×4=4n＋2 根据等差数列的通项公式，我们可以得到下列数列的通项公式． ①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21． a1=25，d=-0.5， ②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8% a1=15.8%，d=2%, ③ 6，10，14，……． a1=6，d=4 11 例1 已知数列{an}是等差数列． （1）如果a1=5，a2=2，求公差 d 和 a3； （2）如果a3=5，a2=2，求公差 d 和a1 ． 解：由等差数列的定义，可知 （1）公差d = a2－a1=－3，a3 = a2+d =－1． （2）公差d = a3－a2=3，a1 = a2－d =－1． 课本例题 12 例2 证明：a，b，c三数成等差数列的充要条件是 2b=a＋c ． 证明：如果a，b，c成等差数列，由等差数列的定义得b－a=c－b， 那么2b=a＋c ． 反过来， 如果2b=a＋c， 那么b－a=c－b， 由等差数列的定义知，a，b，c成等差数列． 因此，a，b，c三数成等差数列的充要条件是 2b=a＋c ． 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M 称为a与b的等差中项． M 为a与b的等差中项 ⟺ 2M =a＋b． 课本例题 13 例3 已知等差数列 8，5，2，……. （1）求该数列的第20项． （2）试问-121 是不是该等差数列的项? 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． （3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内? 解 记该等差数列为{an}，公差为d， 由a1=8，a2=5，得d=a2－a1=5－8= -3， 所以数列的通项公式是 an=8+(n－1)×(-3)=-3n＋11 ． （1）该数列的第20项 a20=-3×20＋11=-49 ． 课本例题 解 记该等差数列为{an}，通项公式是 an=-3n＋11 ． （2）如果-121是这个数列的项，则方程-3n＋11 = -121有正整数解． 解这个方程，得n = 44， 故-121是该等差数列的第 44 项． 例3 已知等差数列 8，5，2，……. （1）求该数列的第20项． （2）试问-121 是不是该等差数列的项? 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． （3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内? 课本例题 例3 已知等差数列 8，5，2，……. （1）求该数列的第20项． （2）试问-121 是不是该等差数列的项? 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． （3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内? 课本例题 解 记该等差数列为{an}，通项公式是 an=-3n＋11 ． （3）解不等式-200 ≤ -3n＋11 ≤0， 因此，该数列位于区间[-200，0]内的项从第 4项起直至第 70 项，共有 67 项． 已知等差数列{an}中，a6=－24，a30=－48，求{an}的通项公式an． 解：记该等差数列{an}的公差为d，则 a6=a1＋(6－1)d=a1＋5d=－24， a30=a1＋(30－1)d=a1＋29d=－48， 两式相减，得 a30－a6 = 24d= －24， 解得d =－1，a1=－19， 所以 an=－19＋(n－1)×(－1)=－n－18 ． a30－a6 = (30－6)d an－am = (n－m)d，(n，m∈N+) 成立吗？ 2.等差数列通项公式的性质 新知探究 性质 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则 an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， 两式相减，得 an－am= (n－m)d， 即 an=am＋(n－m)d ． 概念证明 18 概念证明 性质 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q， （n，m，p，q∈N+）那么 an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则 an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d， 所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d， 又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ． 19 1.已知等差数列{an}中，a2＋a6=14，a3=8，求a5． 解：因为等差数列{an}中有a2＋a6=a3＋a5， 又a2＋a6=14，a3=8， 所以14=8＋a5， 所以 a5=6． 练一练 20 概念归纳 等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{an}的首项a1 ，公差为d，那么该等差数列的通项公式为： an=a1＋(n－1)d 21 概念归纳 等差数列通项公式的性质： 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 如果数列{an}为等差数列，那么an＋ am = ap＋ aq（n，m，p，q∈N+） 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 例1　已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31. (1)求{an}的通项公式； (2)若an＝13，求n的值． 解析：(1)设{an}的首项为a1，公差为d， 则由题意可知解得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5. (2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6. 典例剖析 题型1　等差数列的通项公式 角度1　基本量的运算 (1)从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”． (2)已知数列的其中两项求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形公式an＝am＋(n－m)d. 归纳总结 2.[2022·湖南益阳高二期末]已知{an}是公差为2的等差数列， 且a3＝3，则a6＝(　 　) A．3 B．9 C．18 D．24 解析：因为{an}是公差为2的等差数列，a3＝3， 所以a6＝a3＋3×2＝9. 练一练 B 3.已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________． － 解析： 方法一(方程组法)　由 得解得 ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 方法二(利用am＝an＋(m－n)d求解)　 由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－， ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－. 练一练 例2　100是不是等差数列2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解析：∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5， 由7n－5＝100，得n＝15， ∴100是这个数列的第15项． 典例剖析 题型1　等差数列的通项公式 角度2　判断数列中的项  判断数列中的项的步骤 归纳总结 4.等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31. (1)求a20； (2)85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 解析：(1)设数列{an}的公差为d. 因为a5＝10，a12＝31， 由an＝a1＋(n－1)d得， 解得 即an＝－2＋3(n－1)＝3n－5， 则a20＝3×20－5＝55. (2)令3n－5＝85，得n＝30， 所以85是该数列{an}的第30项． 练一练 例3　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列； 解析：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3. 又a是－1与b的等差中项，∴a＝＝1. 又c是b与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 典例剖析 题型2　等差中项及其应用 (2)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解析： 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3. 归纳总结 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或解决有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)． 5.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则有(　　) A．a＝－b B．a＝3b C．a＝3b或a＝－b D．a＝b＝0 解析：依题意2x＝a＋b，2x2＝a2－b2， 消去x可得2·＝a2－b2， 整理得a2－2ab－3b2＝0， 所以a＝3b或a＝－b. C 练一练 例4　已知数列{an}满足a1＝4且an＝4－(n>1)，记bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； 证明：∵bn＋1－bn＝ ＝ ＝ ＝＝ 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 题型3　等差数列的判定与证明 典例剖析 (2)求数列{an}的通项公式． 解析：由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n， ∵bn＝， ∴an＝＋2＝＋2. 归纳总结 证明一个数列是等差数列的2种常用方法 6.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列； 证明：因为an＋1＝2an＋2n， 所以＝＝＋1， 所以＝1，n∈N＋. 又bn＝，所以bn＋1－bn＝1. 所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝a1＝1，公差为1. (2)求数列{an}的通项公式． 解析：由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n， 所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，经检验，n＝1时a1＝1也满足上式． 练一练 例5　(1)在等差数列{an}中，a5－a3＝2，a3＋a5＋2a10＝24，则a9等于(　　) A．14　　　B．12 C．10　　　D．8 解析：因为2d＝a5－a3＝2，所以公差d＝1， 又因为a3＋a5＋2a10＝2a4＋2a10＝4a7＝24，所以a7＝6， 所以a9＝a7＋2d＝8. 典例剖析 题型4　等差数列的性质及应用 D (2)[2022·湖南怀化高二期末]在等差数列{an}中，a2，a4是方程x2－3x－4＝0的两根，则a3的值为(　　) A．2　　　 B．3 C．±2　　　D． 解析： a2、a4是方程x2－3x－4＝0的两根，所以a2＋a4＝3， 又{an}是等差数列，所以a2＋a4＝2a3，所以a3＝. D 方法归纳 利用等差数列的性质“若k＋l＝m＋n，且k，l，m，n∈N＋，则ak＋al＝am＋an”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量． 7.[2022·湖南长郡中学高二期中]数列{an}为等差数列，若a2＋a4＝4， 则a3＝(　　) A．1　　 　B．2 C．3　　　D．4 解析：因为{an}为等差数列，则a2＋a4＝2a3＝4，所以a3＝2. 练一练 D 8.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝_____． 18 解析： ∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17， ∴a7＝. 又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7. 故d＝＝＝. ∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18. 1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为（ ） A.2 　　　　B.3 　　　　C.－2 　　　　D.－3 随堂练 2.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为（ ） A.52 　　　　B.62 　　　　C.－62 　　　　D.－52 C A 3.在等差数列{an}中，如果a4＝3，a7＝9，an＝17.那么n＝_____. 11 4.已知 的等差中项为a，等差数列{an}的通项公式为an＝ a2n＋1(n∈N＋)，公差为d，则a＋d＝________. 随堂练 错因分析 例6　两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解析：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11， 又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1. ∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12. ∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302. 得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项． 易错辨析　混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错 出错原因：混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1， 解得n＝3，致错． 【易错警示】 纠错心得：解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分． 错因分析 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是（ ） A.1,4,7,10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 ABD 分层练习-基础 2.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于（ ） A.90 　　　　B.96 　　　　C.98 　　　　D.100 D 46 3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项公式an等于（ ） A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n 4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是（ ） A.92 　　　　B.47 　　　　C.46 　　　　D.45 D C 分层练习-基础 6.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ） A.199 　　　　B.201 　　　　C.203 　　　　D.205 分层练习-基础 C B 7.在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝_____. －3 8.设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝_____. 2 分层练习-基础 9.(1)求等差数列8,5,2，…的第20项； 由a1＝8，a2＝5， 得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. 分层练习-基础 (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 由a1＝－5，a2＝－9，得d＝－9－(－5)＝－4， 则这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是这个数列的第100项. 分层练习-基础 10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项； 设数列{an}的公差为d， a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. 分层练习-基础 (2)112是数列{an}的第几项？ an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. 分层练习-基础 由80<3n－5<110， (3)80到110之间有多少项？ 所以n的取值为29,30，…，38，共10项. 分层练习-基础 分层练习-巩固 A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) A C 分层练习-巩固 13.若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，则数列{an}的通项公式为________. an＝2n 14.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列， 也成等差数列， 则△ABC的形状为____________. 等边三角形 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 16.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到 2 023共2 023个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有（ ） A.132项 　　　　B.133项 　　　　C.134项 　　　　D.135项 D 17.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. 分层练习-拓展 (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式. a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…， a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列. ∴bn＝4＋4(n－1)＝4n. 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)等差数列的概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差中项. 2.方法归纳：方程组法(基本量法). 3.常见误区：定义忽略“从第2项起”. 3＋ ＋1与－1 5.一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则等于（ ） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 则解得 解得28<n<38， 12.正数a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是（ ） A.3 　　　　B.4 　　　　C.5 　　　　D.6 11.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为（ ） ，， 15．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，已知a3＝95. (1)求a1，a2； (2)若bn＝(an＋t)(n∈N＋)，则是否存在实数t，使{bn}为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)当n＝2时，a2＝3a1＋32－1. 当n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95， ∴a2＝23. ∴23＝3a1＋8，解得a1＝5. (2)当n≥2时，bn－bn－1＝(an＋t)－(an－1＋t) ＝(an＋t－3an－1－3t)＝(3n－1－2t) ＝1－. 要使{bn}为等差数列，则1－为常数，即t＝－， 即存在t＝－，使{bn}为等差数列． 由题意得， 解得 18．[2022·湖南长郡中学模拟](多选)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是(　　) A．若{an}是等差数列，则{a}是等方差数列 B．{(－1)n}是等方差数列 C．若{an}是等方差数列，则{akn }(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列 D．若{an}是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：对于A，若{an}是等差数列，如an＝n，则a＝n2, 则(a)2－(a)2＝n4－(n－1)4＝(2n2－2n＋1)(2n－1)不是常数，故{an}不是等方差数列，故A错误； 对于B，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0是常数， ∴{(－1)n}是等方差数列，故B正确； 对于C，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，… 数列{akn}中的项列举出来是，ak，a2k，a3k，…， ∵(a－a)＝(a－a)＝(a－a)＝…＝(a－a)＝p， 将这k个式子累加得(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp， ∴a－a＝kp，∴a－a＝kp，∴{akn}(k∈N＋，k为常数)是等方差数列，故C正确； 对于D，∵{an}是等差数列，∴an－an－1＝d，则设an＝dn＋m， ∵{an}是等方差数列，∴a－a＝(an＋an－1)d＝(dn＋m＋dn＋m－d)d＝2d2n＋(2m－d)d是常数， 故2d2＝0，故d＝0，所以(2m－d)d＝0，a－a是常数，故D正确． $$