精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

广安加德学校2024—2025学年度上期高2024级期中测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的意义求解即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2. 命题“，x + 1>0”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答. 【详解】命题“，x + 1>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，x + 1>0” 的否定是. 故选：B 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出函数有意义的条件，解不等式组即可. 【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数定义域为， 故选：C． 4. 已知，则的值为（ ） A. 17 B. 15 C. 11 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得，即. 故选：A. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断． 【详解】，由可得， 解得：或， 所以“”不能推出“”； 当时，可得：， 所以“”可以推出“” “”是“”的必要非充分条件． 故选：B． 6. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义，，，则的范围要包含. 【详解】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含， 故选：A． 7. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数是上的减函数，列出不等式，解出实数的取值范围． 【详解】因为是上的减函数，故，故， 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题． 8. 已知函数，若对任意的，，，都有成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解. 【详解】设，则， 令，则， 因为， 所以，，当且仅当时等号成立， 当，即时，函数在上单调递减，则， 当，即时，， 当，即时，函数在上单调递增，则， 所以，当时，，， 由于对任意的，，，都有成立， 所以，，解得， 当时，，显然符合题意， 当时，，， 由题意知，，解得，， 综上可得，的取值范围为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各组函数中，是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与y = x－1 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数定义域和对应关系是否相同，对每个选项进行逐一分析和判断，即可选择. 【详解】对：函数定义域均为全体实数，且， 两函数对应关系相同，是同一个函数； 对B：的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一个函数； 对C：两函数定义域均为全体实数，且对应关系相同，故同一个函数； 对D：的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一个函数. 故选：AC. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 不等式有解 B. 若，则 C. 若，，则 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取即可求解A，举反例即可求解B,根据基本不等式即可求解C，利用二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A,当时，，故是不等式的一个解，故A正确， 对于B,取，满足，但是，故B错误， 对于C,由于，，故，故C正确， 对于D, 的定义域满足且， 解得，故定义域为， 由于函数， 当时，，故，结合，故， 故D正确， 故选：ACD 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2026年广安加德学校将迎来10周年校庆，学校向全校师生征集诗歌与散文两种题材的校庆文章，每人可提交一篇或两篇文章（题材不一样）.高一某班学生共提交了诗歌32篇，散文28篇，其中有12名学生都提交了两篇.已知该班共有学生50人，则两种题材的文章都没有提交的学生人数为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用韦恩图，分别求得只提交了一种文章的学生数，进而可求解. 【详解】用韦恩图表示为： 只提交了诗歌的学生数有，只提交了散文的有， 所以提交了文章的有，所以两种题材的文章都没有提交的学生人数为. 故答案为：2. 13. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】换元令再代入求解即可. 【详解】令，则，故. 故答案为： 14. 关于x的不等式，对满足的任意正实数m，n都成立，则实数x的最大值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】由基本不等式求出的最小值为9，所以恒成立，解出范围即可. 【详解】已知，，，由基本不等式， 有, 当且仅当，时取等号，所以，解得， 所以x的最大值为9． 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求和； （2）设，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案； （2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由题意，可得， 所以，． 【小问2详解】 因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 16. 已知函数，． （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数取值范围． 【答案】（1）在上单调递增；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 在上单调递增，证明如下： 因为，， 任取，可知， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增， 所以，可得，解得 故实数的范围是． 17. （1）求不等式解集； （2）若为正实数，且， 求的最大值及的最小值. 【答案】（1）；（2）的最大值为，的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，利用和，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）由不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为为正实数，且， 因为，当且仅当时取等号， 即，结合，解得，即得，故的最大值为； 由，当且仅当时等号成立， 即，解得，即的最小值为. 18. 已知最高次项系数为a的二次函数的两个零点为－3和1. （1）若f（x）与y轴的交点为，求f（x）在上的最小值； （2）若f（x）在上的最大值为20，求a的值. （3）若，函数g（x）= f（x）－（k + 1）x在上单调，求实数k的取值范围. 【答案】（1）－4 （2）－5或4 （3） 【解析】 【分析】（1）设二次函数方程为两根式，用已知条件与y轴的交点为求得方程，结合给定区间求最值. （2）分，两种情况讨论，由抛物线方程可得对称轴为，则根据区间与对称轴的关系找到最大值点即可求得. （3）先求得的对称轴，结合已知可得或，求解即可. 【小问1详解】 由已知设，则，得a = 1. ∴， 抛物线开口向上，对称轴，偏左边， 故f（x）在上的最小值为. 【小问2详解】 ，抛物线的对称轴， 当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， ∴. 同理，当时，. 综上，a的值为－5或4. 【小问3详解】 首先k应满足 2k－1＜3k + 3，得k＞－4. 又因为g (x) == 因为在上单调，所以或， 解得或. 综上，实数k的取值范围是. 19 已知函数. （1）若f(x)＞0恒成立，求实数的取值范围； （2）我们在教材79页例3曾学习研究过函数的有关性质，尝试解决有关函数的以下问题： ①求g(x)在上的最大值； ②若，对有恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式即可求解； （2）①设，，分，，三种情况求解即可；②由①求得即可求解. 小问1详解】 由题意知，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①设，， 当时，，的最大值； 当时，，根据对勾函数的单调性易知， 在上递减，在上递增， 而，所以，， 即. 当时，根据函数单调性运算可知，在上单调递增， 即，所以，， 因为， 所以，， 综上，. ②根据①可知，， 所以依题意可得，恒成立， 解得或，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2024—2025学年度上期高2024级期中测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“，x + 1>0”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 17 B. 15 C. 11 D. 9 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 6. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，，，都有成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各组函数中，是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与y = x－1 C. 与 D. 与 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 不等式有解 B. 若，则 C. 若，，则 D. 函数的值域为 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2026年广安加德学校将迎来10周年校庆，学校向全校师生征集诗歌与散文两种题材的校庆文章，每人可提交一篇或两篇文章（题材不一样）.高一某班学生共提交了诗歌32篇，散文28篇，其中有12名学生都提交了两篇.已知该班共有学生50人，则两种题材的文章都没有提交的学生人数为____________. 13. 已知，则___________. 14. 关于x的不等式，对满足的任意正实数m，n都成立，则实数x的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求和； （2）设，若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，． （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数取值范围． 17. （1）求不等式解集； （2）若为正实数，且， 求的最大值及的最小值. 18. 已知最高次项系数为a的二次函数的两个零点为－3和1. （1）若f（x）与y轴的交点为，求f（x）在上的最小值； （2）若f（x）在上的最大值为20，求a的值. （3）若，函数g（x）= f（x）－（k + 1）x在上单调，求实数k的取值范围. 19. 已知函数. （1）若f(x)＞0恒成立，求实数的取值范围； （2）我们在教材79页例3曾学习研究过函数的有关性质，尝试解决有关函数的以下问题： ①求g(x)在上最大值； ②若，对有恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $