第2章 再练一课(范围：§2.5～§2.7)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件围绕圆的方程、直线与圆的位置关系等核心知识，从基础的圆的方程判断入手，逐步延伸到切线方程、对称圆、弦长计算等综合应用，构建由浅入深的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过多样化题型和详细解析，培养学生数学思维（如第6题动点推导直线过定点的逻辑推理）和数学眼光（如第3题对称圆的几何直观分析）。采用问题链设计，学生能提升推理与应用能力，教师可借助分层题目高效开展教学。

第2章 <<< 再练一课(范围：§2.5～§2.7) 一、单项选择题 1.若曲线x2＋y2＋2x＋my＋2＝0表示圆，则m的取值范围是 A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由22＋m2－8>0得m<－2或m>2，即m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). A.相切 B.相交 C.相离 D.相交或相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是 A.(x＋2)2＋(y－1)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝3 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝3 D.(x－2)2＋(y＋1)2＝9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心为(－1,2)，半径为3，且(－1,2)关于直线x－y＝0的对称点为(2，－1)，所以所求圆的圆心为(2，－1)，半径为3，即所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)截圆x2＋y2＝5所得弦长等于4，则以|a|，|b|，|c|为边长的三角形一定是 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B.则直线AB过定点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意，点P为直线l：x＋y＋2＝0上的动点，设点P的坐标为(t，－2－t)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AO，PB⊥BO，则点A，B在以PO为直径的圆上，又O(0,0)，P(t，－2－t)，则以PO为直径的圆的方程为(x－t)x＋(y＋2＋t)y＝0，即x2＋y2－tx＋(t＋2)y＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知直线l：ax－y－3a＝0上存在相距为4的两个动点A，B，若圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝4上存在点P使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则实数a的值可以为 A.－2 B.－1 C.0 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意，若△PAB为等腰直角三角形， 其中P为直角顶点且|AB|＝4， 则圆心C(－1,4)到直线l：ax－y－3a＝0的距离d≤4， 解得a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]. B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0 C.两圆的公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0 8.点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，设圆心为C(－2，b)，圆的半径为r， 故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4，故A正确； 对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长，为圆的直径4，故B错误； 对于C，线段AE，BF的中点分别为M，N，如图， 所以CM⊥AE，CN⊥BF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又AE⊥BF，所以四边形MDNC为矩形， 所以MN与CD互相平分， 对于D，由直角三角形斜边上中线的性质知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.写出一个半径为3且与y轴和圆(x－4)2＋y2＝4都相切的圆的标准方程_______________________________________________________________ ______. 唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.若圆C1：x2＋y2－2ay＝0(a>0)与圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0有且仅有三条 公切线，则a的值为_____. 12.已知圆O：x2＋y2＝8，MN为圆O的动弦，且满足|MN|＝4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，当MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是____________ __________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，0)∪ (4，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 把圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的方程相减， 可得两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0. 14.已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0. (1)求过点M(2,1)的圆的切线方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，其圆心为C(2,0)，半径为1. 因为点(2,1)在圆上，如图， 所以切线方程为y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得，圆的直径为2， 所以直线l过圆心C(2,0)， 即直线l的方程为x＋y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)已知圆E的圆心在直线y＝1上，与y轴相切，且与圆C外切，求圆E的标准方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，设圆E的圆心E(a，1)，半径为R， 由圆E与y轴相切，得R＝a(a>0)， 又圆E与圆C外切，所以|CE|＝a＋1， 15.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点. (1)求k的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得 (1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以直线l的方程为y＝x＋1， 所以圆心C在直线l上，所以|MN|＝2. 所以△OMN的面积 2.在平面直角坐标系xOy中，直线xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆O： x2＋y2＝的位置关系为 因为圆心到直线的距离d＝＝≤，当且仅当α＝kπ＋(k∈Z)时，等号成立，又圆x2＋y2＝的半径为，所以直线与圆相交或相切. 由弦长为4可得2＋2＝()2，解得a2＋b2＝c2，所以以|a|，|b|，|c|为边长的三角形一定是直角三角形. 5.如图，已知直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是 A.8 B.12 C. D. 由题意，可得A(4,0)，B(0，－3)，即|OA|＝4，|OB|＝3，所以|AB|＝5.根据题意，要使△PAB的面积最大，则点P到直线AB的距离最大，所以点P在过点C的AB的垂线上，过点C作CD⊥AB于点D(图略)，则|CD|＝＝，所以点P到直线AB的距离的最大值为1＋＝， 所以△PAB面积的最大值为×5×＝. A. B.(－1，－1) C. D. 则有可得1－tx＋(t＋2)y＝0，即1＋2y－t(x－y)＝0， 即直线AB的方程为1＋2y－t(x－y)＝0，则有解得故直线AB过定点. 则P到AB的距离为＝2， 即≤4， A.两个圆的圆心所在直线的斜率为－ 两个圆的圆心所在直线的斜率为＝－，所以A选项正确； 因为|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以BC选项不正确，D选项正确. 9.已知圆的圆心在直线x＝－2上，且与l1：x＋y－2＝0相切于点Q(－1，)，过点D(－1,0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是 A.圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4 B.弦AE的长度的最大值为2 C.直线MN恒过定点 D.存在点G，使得|NG|为定值 由题设可知＝，解得b＝0，所以r＝＝2， 即MN过CD的中点，故C正确； 存在G，使|NG|＝|CD|＝，为定值，故D正确. (x－3)2＋y2＝9或(x－3)2＋(y－2)2＝9或(x－3)2＋(y＋2)2＝9(答案不 圆(x－4)2＋y2＝4的圆心为(4,0)，半径为2，结合图象可知(图略)，圆心为(3,0)，半径为3的圆，即(x－3)2＋y2＝9与已知圆的位置关系是内切；当所求圆与已知圆外切时，设所求圆的圆心为(3，b)，由＝3＋2，求得b＝±2，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9或(x－3)2＋(y＋2)2＝9. 由x2＋y2－2ay＝0(a>0)，可得x2＋(y－a)2＝a2，所以圆C1的圆心为(0，a)，半径为a，由x2＋y2－4x＋3＝0，可得(x－2)2＋y2＝1，所以圆C2的圆心为(2,0)，半径为1，由题意可知两圆外切，所以＝a＋1，解得a＝. 由题意，圆O：x2＋y2＝8，可得圆心为O(0,0)，半径r＝2，因为|MN|＝4，G为弦MN的中点，所以|OG|＝2，又由两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，设PQ的中点E(a，a－4)，因为当M，N在圆O上运动时，∠PGQ恒为锐角，所以以O为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2＋2，即a2－4a>0，解得a<0或a>4，所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞). 由于圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圆心C2(1,1)，半径r2＝，求得点C2到公共弦所在的直线的距离d＝＝，故公共弦的长为2＝2＝. (2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为2， 求直线l的方程； 由直线的两点式方程，得＝， 由两点间距离公式得|CE|＝， 所以a＋1＝，解得a＝， 所以圆心E，R＝， 所以圆E的标准方程为2＋(y－1)2＝. 因为直线l与圆C交于两点，所以<1， 解得<k<. 所以k的取值范围为. (2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积. 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 由题设得＋8＝12，解得k＝1， 原点O到直线l的距离d＝＝， S＝|MN|·d＝×2×＝. $