第2章 2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程，系统涵盖方程概念、五种形式转化及方向向量与法向量等内容。通过复习点斜式等旧知，以“直线与二元一次方程关系”设问导入，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于问题驱动与分层训练结合，用数学眼光抽象直线与方程关系，通过分类讨论（如B是否为0）培养数学思维，借助向量工具深化几何直观。例题与练习梯度分明，助力学生巩固应用，教师可直接参考案例提升教学效率。

第2章 <<< 2.2.3　直线的一般式方程　2.2.4　直线的方向向量与法向量 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 学习目标 前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？ 导 语 一、直线的一般式方程 二、直线一般式方程的应用 课时对点练 三、直线的方向向量与法向量 随堂演练 内容索引 直线的一般式方程 一 平面直角坐标系中的任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？ 问题1 提示　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程. 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程. 因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示. 每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 问题2 提示　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 因此，在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线. 1.二元一次方程与直线的关系 平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示；反之，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 2.方程_____________________________称为直线的一般式方程，简称一般式. Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 知识梳理 (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程； ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列； ③x的系数一般不为分数和负数. 注 意 点 <<< 11 (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. 注 意 点 <<< 12 　　　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： 例 1 13 (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； 即2x＋y－3＝0. 14 (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； 即x＋3y＋3＝0. (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴. y－2＝0. 15 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 反 思 感 悟 求直线一般式方程的策略 16 　　　　　根据下列条件分别写出直线的一般式方程. (1)经过两点A(5,7)，B(1,3)； 跟踪训练 1 (2)经过点(－4,3)，斜率为－3； 由点斜式，得直线的方程为y－3＝－3(x＋4)， 即3x＋y＋9＝0. 17 (3)经过点(2,1)，平行于y轴； (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 由题意知，直线的方程为x＝2，即x－2＝0. 由点斜式，得直线的方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 18 二 直线一般式方程的应用 　　　在△ABC中，A(4,2)，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求： (1)直线AB，AC的方程； 例 2 因为直线AB在y轴上的截距为1，所以其过点D(0,1)， 由题意知直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1， 所以直线AC的方程为y－2＝x－4， 化简得x－y－2＝0. 20 (2)△ABC的面积S. 由(1)知，直线AB的方程为x－4y＋4＝0， 令y＝0，得x＝－4，故B(－4,0)， 直线AC的方程为x－y－2＝0， 令x＝0，得y＝－2，故C(0，－2). 21 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得直线在y轴上的截距.令y＝0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程要注意验根. 反 思 感 悟 含参数的直线方程的研究策略 22 　　　　　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距为－3； 跟踪训练 2 23 (2)直线l的斜率为1. 将直线l的方程化为斜截式方程， 解得m＝－2. 24 直线的方向向量与法向量 三 什么叫作直线PQ的方向？ 问题3 直线QP与PQ表示同一条直线，那么两个相反向量 的方向都代表直线PQ的方向吗？ 问题4 1.方向向量：把与直线l_____的非零向量v都称为l的方向向量，直线l的方向向量v并不唯一，v的所有非零实数倍λv都是方向向量. 2.斜率为k的直线的方向向量为_______的非零实数倍. 3.直线的法向量：与直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)_____的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量. 平行 (1，k) 垂直 知识梳理 　　　(1)求直线4x－y＋5＝0的全体方向向量. 例 3 将直线4x－y＋5＝0化为斜截式为y＝4x＋5， 其斜率k＝4， 因此，该直线的全体方向向量为λ(1,4)，其中λ为任意非零实数. 29 (2)求下列直线的方程： ①经过点(2,1)，且垂直于n＝(2，－3)； 由题意知， 直线的一个法向量为n＝(2，－3)， ∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0， 代入点(2,1)得4－3＋C＝0， 解得C＝－1， ∴直线的方程为2x－3y－1＝0. 30 ②经过点(2，－3)，且平行于v＝(2,4). 31 故所求直线的方程为y＋3＝2(x－2)， 即2x－y－7＝0. 方法二　由题意知， 直线的一个方向向量为v＝(2,4)， ∴直线的一个法向量为n＝(4，－2)， 故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)，得8＋6＋C＝0， 解得C＝－14， 32 ∴所求直线的方程为4x－2y－14＝0， 即2x－y－7＝0. 33 反 思 感 悟 (1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C. (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量. 已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思想 　　　　　(1)若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个法向量是 A.(1，－1) B.(1,1) 跟踪训练 3 √ ∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k＝－1，∴直线l的一个方向向量为(1，－1)，则直线l的一个法向量为(1,1). 35 (2)写出满足下列条件的直线的方程. ①经过点A(1,1)和B(3,2)； ∴直线的一个法向量n＝(1，－2). 因此可设直线的一般式方程为x－2y＋C＝0， 代入A(1,1)，得C＝1， ∴所求直线的方程为x－2y＋1＝0. 36 ②平行于向量(2,5)，并且经过点A(1,2). ∵所求直线平行于向量(2,5)， 又直线经过点A(1,2)， 整理得5x－2y－1＝0. 37 1.知识清单： (1)直线的一般式方程. (2)直线的方向向量和法向量. (3)直线一般式方程的应用. 2.方法归纳：分类讨论法、化归转化. 3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为 A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0 √ 2.若直线l的一个方向向量为a＝(－2,6)，则直线l的斜率是 1 2 3 4 √ 3.(多选)过点(2,1)，且斜率k＝－2的直线方程为 A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0 C.y－1＝－2(x－2) D.2x＋y－5＝0 1 2 3 4 由题意知直线方程为y－1＝－2(x－2)，化为一般式为2x＋y－5＝0. √ √ 1 2 3 4 4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是____. 3 课时对点练 五 1.过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为 A.4x＋3y＋12＝0 B.4x＋3y－12＝0 C.4x－3y＋12＝0 D.4x－3y－12＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.在平面直角坐标系中，直线x＋ y－3＝0的倾斜角是 A.30° B.60° C.150° D.120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.直线3x＋4y－1＝0的一个方向向量是 A.(3,4) B.(4,3) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则 A.若c>0，则a>0，b>0 B.若c>0，则a<0，b<0 C.若c<0，则a>0，b<0 D.若c<0，则a>0，b>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 5.直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为 A.3x－y＋2＝0 B.3x＋y－2＝0 C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y－2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，∴k＝－3， ∴直线的方程为y＝－3x＋2， 即3x＋y－2＝0. 方法二　由题意知直线的一个法向量为n＝(3,1)，∴直线的方程可设为3x＋y＋C＝0，将点(0,2)代入得C＝－2，故所求直线的方程为3x＋y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线 在y轴上的截距为_____. 把(3,0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 8.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 直线l的方程为3x＋4y－12＝0， 令x＝0，得y＝3， 令y＝0，得x＝4， 9.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线. (1)求实数m需满足的条件； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0， 故m≠2. (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，m≠2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(x，1). 又∵点A的坐标为(1,3)，D为AB的中点， 又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点B的坐标为(5,1). 同理可求出点C的坐标是(－3，－1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0，x－y＋2＝0. 11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为______________. 2x＋3y＋4＝0 ∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0， 因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)， 所以直线l的方程为x－3y＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； 解得k>0； 当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知k≠0，再由l的方程， 解得k>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴Smin＝4，此时直线l的方程为 x－2y＋4＝0.  y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线. 当B＝0时，由于A，B不同时为0，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示一条与y轴平行或重合的直线. 由点斜式，得直线的方程为y－3＝(x－5)， (1)斜率是，且经过点A(5,3)； 即x－y－5＋3＝0. 由两点式，得直线的方程为＝， 由截距式方程，得直线的方程为＋＝1， 由两点式，得直线的方程为＝，即x－y＋2＝0. 所以直线AB的方程为＝， 化简得y＝x＋1，故直线AB的方程为x－4y＋4＝0. 所以S＝S△ACD＋S△BCD＝|CD|×4＋|CD|×4＝4|CD|＝12. 由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，解得m＝－. 由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 得y＝x＋， 则＝1， 提示　直线上两个不同点P，Q之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量来表示. 提示　向量，的方向都代表直线PQ的方向. ， 方法一　由题意知，直线的一个方向向量为v＝(2,4)，∴k＝＝2， C.(－1,1) D.(2，－) 由已知条件可知直线的一个方向向量＝(2,1)， ∴所求直线的斜率为. ∴所求直线的方程为y－2＝(x－1)， A. B.－ C.3 D.－3 因为a＝(－2,6)，所以kl＝＝－3. 由已知得∴m＝3.　 由截距式方程得直线的方程为＋＝1，整理得4x－3y＋12＝0. 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. C. D. 由题意，得直线3x＋4y－1＝0的斜率为k＝－，可得直线的一个方向向量为(1，k)＝. 由直线ax＋by＋c＝0，可得y＝－x－，根据图象可得－<0，－>0，∴若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0. 6.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为 A.－，－1 B.，－1 C.－，1 D.，1 原方程化为＋＝1， ∴＝－1，∴b＝－1. 又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， 且x－y－＝0的倾斜角为60°， ∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－. 令x＝0，得y＝－. － 不妨令A(4,0)，B(0,3)，则S△AOB＝×4×3＝6. 由解得m＝2. 由－＝1，解得m＝0. ∴由中点坐标公式得点D的坐标为. ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， A. B.∪ C. D. ∵k＝－，∴－1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. 12.(多选)已知直线l：x＋y＋3＝0，则下列结论正确的是 A.直线l的倾斜角为 B.直线l的一个法向量为(，－1) C.直线l的一个方向向量为(1，－) D.直线l的斜率为－ 由题意可得直线l的斜率k＝－，故D正确； 所以直线l的倾斜角为，故A错误； 直线l的一个方向向量为(1，－)，故C正确； 直线l的一个法向量为(，1)，又(，－1)与(，1)不平行，故B错误. 14.若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为_____. 因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，即＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋4＝8， 当且仅当n＝2m，即n＝，m＝时，等号成立， 故＋的最小值为8. 15.直线l过原点，且垂直于向量(1，－3).若角α的终边落在直线l上，则＝_____. － 当x>0时，取终边上的点(3,1)，可得tan α＝， 当x<0时，取终边上的点(－3，－1)，可得tan α＝＝， 所以若角α的终边落在直线l上，则tan α＝， ＝＝＝－. 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有 得A，B(0,1＋2k). 依题意得 ∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝· ＝≥×(2×2＋4)＝4， 当且仅当k>0且4k＝， 即k＝时，等号成立， $