第2章 §2.4 第1课时 两点间的距离（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦“两点间的距离”，系统讲解距离公式推导及坐标法应用。以“公路建公交站点”现实问题导入，从数轴两点距离过渡到平面距离公式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于用现实情境培养数学眼光，通过向量运算推导公式发展数学思维，坐标法证明几何问题（如三角形中位线）强化数学语言表达。例题分层且小结清晰，学生能逐步掌握技能，教师可借助实例提升教学效率。

第1课时 第2章 <<< 两点间的距离 1.掌握两点间的距离公式并会应用. 2.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 学习目标 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 导 语 一、两点之间的距离公式 二、坐标法的应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 两点之间的距离公式 一 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 问题1 提示　|AB|＝|xA－xB|. 已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|AB|? 问题2 1.点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式为__________________________. 2.原点O(0,0)与任一点A(x，y)的距离|OA|＝_________. 知识梳理 (1)此公式与两点的先后顺序无关. 注 意 点 <<< 10 　　　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状. 例 1 11 |AB|＝2. 有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以△ABC是直角三角形. 12 所以kAC·kBC＝－1.所以AC⊥BC. |AC|≠|BC|，所以△ABC是直角三角形. 13 (1)对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)， 反 思 感 悟 (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解. 计算两点间距离的方法 14 　　　　　若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________. 跟踪训练 1 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM，±10). 由两点间距离公式， (2,10)或(－10,10) 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10). 15 二 坐标法的应用 　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 例 2 17 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 则A(0,0)，设B(c,0)，C(m，n)， 则|AB|＝|c|. 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 18 反 思 感 悟 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 　　　　　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 跟踪训练 2 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0,0)， 设B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c). 故|AC|＝|BD|. 20 1.知识清单： (1)两点间的距离公式. (2)坐标法的应用. 2.方法归纳：待定系数法、坐标法. 3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是 A.x2－y2＝1 B.x2＋y2＝0 √ 2.已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于 1 2 3 4 √ 3.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于 1 2 3 4 ∵P(1,1)，Q(5,5)， √ 4.已知△ABC的三个顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_____. 1 2 3 4 BC的中点坐标为(0,1)， 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由两点间距离公式， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为 √ A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 可看作点(x,0)与点(－1，－2)，点(x,0)与点(－1,2)，点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确. √ √ 6.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， 7.已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1或－5 由两点间距离公式， 得|AB|2＝(－2－a)2＋(－1－3)2＝52， 所以(a＋2)2＝32， 所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值是 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标A(－2,5)，B(－1,6)，C(2,3). (1)求顶点D的坐标； ∵A(－2,5)，C(2,3)， ∴AC的中点坐标为(0,4)， 该点也为BD的中点，设D(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平行四边形ABCD的面积. ∵|AB|2＋|BC|2＝|AC|2， 11.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴△ABC为直角三角形. 12.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于 的点的坐标是 A.(－4,5) B.(－3,4) C.(－1,2) D.(0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 设所求点的坐标为(x0，y0)，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是_______. 15.设A(－3,1)，B(2,4)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为_____，此时P点的坐标为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 (－2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，点A(－3,1)关于x轴的对称点为A′(－3，－1)， |PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|(当且仅当A′，P，B三点共线时取等号)， 又B(2,4)， 即x－y＋2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当|PA|＋|PB|取最小值时， 点P为直线x－y＋2＝0与x轴的交点， ∴P(－2,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－ |AC|2＝2|BD|2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以点D为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0). ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 提示　我们可以将点A，B的坐标看作向量，的坐标，由向量的坐标运算，可得＝(x2－x1，y2－y1).由于|AB|2＝||2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，因此，可得平面内任意两点间的距离公式： |AB|＝. |AB|＝ 3.在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. (2)已知斜率为k的直线上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|AB|＝＝·|x2－x1|，或|AB|＝|y2－y1|. 方法一　因为|BC|＝＝1， |AC|＝＝， 方法二　因为kAC＝＝， kBC＝＝－， 又|AC|＝＝， |BC|＝＝1， |AB|＝. 得|MN|＝＝10或|MN|＝＝10(舍)， ∴|DE|＝|AB|， 又由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|＝＝， 则|AC|＝＝， |BD|＝＝. C.＝1 D.x2－y2＝0 由两点间的距离公式得＝1. A.5 B. C. D.4 |MN|＝＝5. A.4 B.4 C.2 D.2 ∴|PQ|＝＝4. 则BC边上的中线长为＝. 1.若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于 A. B. C.3 D.2 |AC|＝4，|CB|＝2，故＝2. A.2 B.3＋2 C.6＋3 D.6＋ 得|AB|＝＝3， |BC|＝＝3， |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3. A.2 B.3 C. D. 由中点坐标公式可知，点D的坐标为.由两点间的距离公式，得|AD|＝＝. A. B. C. D. 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得|AB|＝. ＝ 5.(多选)对于，下列说法正确的是 ＝＝， A.－ B.－ C. D. ∴|AB|＝ ＝＝ ＝， ∴当a＝时，|AB|取得最小值. 由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝ ＝， 则距离的最小值为＝. 9.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2. 则解得∴D(1,2). 由题意得|AC|＝＝2， 同理|AB|＝，|BC|＝3， ∴AB⊥BC，平行四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的面积S＝|AB|× |BC|＝3×＝6. |AB|＝＝2， |BC|＝＝4， |AC|＝＝2，  x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或 13.已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是 A.0 B.2 C.4 D. S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 2 因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q， 所以|OQ|＝ ＝＝， 当m＝0时， |OQ|max＝2，所以|OQ|的最大值是2. 5 则|A′B|＝＝5， 即|PA|＋|PB|的最小值为5， ∴直线A′B的方程为＝， |AB|2＋|BC|2－|AC|2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. $