第三章 3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦空间向量运算的坐标表示及平行垂直条件，通过类比平面向量坐标定义引入空间向量标准正交基，系统梳理坐标表示、加减数乘及数量积运算规则，明确平行垂直的坐标条件，构建从平面到空间的知识迁移支架。 资料以问题驱动学习，结合正方体、直三棱柱等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理坐标关系，用数学语言表达运算规律。课中例题助教师突破难点，课后分层练习与拓展题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件 [学习目标]　1.掌握空间向量的坐标表示及其运算.2.理解空间向量平行与垂直的条件． 导语 我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示，使几何问题通过向量的坐标运算来解决，建立了向量的几何运算与代数运算之间的联系，在空间中，如何确定向量的坐标呢？ 一、空间向量的坐标 问题　平面向量的坐标是如何定义的？ 提示　如图，已知a＝，P(x，y)，令i，j分别为平面直角坐标系中x轴，y轴正方向上的单位向量． ＝＋＝xi＋yj， a＝xi＋yj， 有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标， 记作a＝(x，y)， 有序实数对(x，y)坐标平面内的向量． 知识梳理 1．标准正交基 在空间直角坐标系O－xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基． 2．空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应．这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)，单位向量i，j，k都叫作坐标向量，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上的投影数量． 注意点： (1)|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝0，j·k＝0，i·k＝0. (2)在空间直角坐标系O－xyz中，若＝p，则＝xi＋yj＋zk，所以＝(x，y，z)，点P的坐标为(x，y，z)． 例1　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为标准正交基，求下列向量的坐标： (1)，，； (2)，，. 解　在标准正交基{，，}下， (1)＝＋，＝＋＋， ＝＋， ∴＝，＝， ＝. (2)＝－＝＋， ∴＝； ＝－＝－－， ∴＝； ＝－＝－， ∴＝. 反思感悟　向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量的坐标形式完全相同(O为坐标原点)． (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 跟踪训练1　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 解　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i， ＝j，＝k，则＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)， ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)， ＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)． 二、空间向量运算的坐标表示 知识梳理 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b (x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa (λx1，λy1，λz1)，λ∈R 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 例2　(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________. 答案　 －4 解析　 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求·； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 解　①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4,1,2)， 所以解得 所以点B的坐标为(6，－4,5)． 因为＝(3，－2,5)， 所以解得 所以点C的坐标为(9，－6,10)． ②因为＝(－7,1，－7)，＝(3，－2,5)， 所以·＝－21－2－35＝－58. ③设P(x2，y2，z2)，则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 所以解得 故点P的坐标为. 反思感悟　空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 跟踪训练2　(1)若点A(－2,2,1)关于y轴的对称点为A′，则向量的坐标为(　　) A．(4，－4，－2) B．(0，－4,0) C．(4,0，－2) D．(－4,0,2) 答案　C 解析　∵点A(－2,2,1)关于y轴的对称点为A′(2，2，－1)， ∴＝(2,2，－1)－(－2,2,1)＝(4,0，－2)． (2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________. 答案　(1，，)　 (1,0，)　4 解析　∵a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)， ∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)， ∴a·b＝1＋0＋3＝4. 三、空间向量平行(共线)和垂直的条件 知识梳理 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． (1)当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得. (2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔＝＝. (3)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝. 例3　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解　(1)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，所以2a－b＝(3,2，－2)， 又c＝， 所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c. (2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. 反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 跟踪训练3　(1)已知向量a＝(－1,2,1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为(　　) A．(3，－6，－3) B．(3，－3，－6) C．(3,2,1) D．(3,1,2) 答案　A 解析　由于a∥b，所以＝＝， 解得x＝－6，y＝－3，所以b＝(3，－6，－3)． (2)若在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　　) A. B．－ C．2 D．± 答案　D 解析　＝(3，－2，k)，＝(6，－1，－2k)，由⊥，得·＝0，即18＋2－2k2＝0，解得k＝±. 1．知识清单： (1)空间向量的坐标表示． (2)空间向量运算的坐标表示． (3)空间向量平行与垂直的条件． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区：由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等． 1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 答案　B 解析　由题意得＝(5，－1,2)，＝(4,2，－1)，＝＝－，则＝＋＝(9,1,1)． 2．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 答案　A 解析　∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. 3.如图所示，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，EB1＝A1B1，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题图知B(1,1,0)，E， 所以＝. 4．已知空间向量a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝________. 答案　－4 解析　由题意，设n＝λm，且λ∈R，因为n＝(x＋2)a＋(y－x)b－(y＋2)c，m＝3a＋2b＋c， 所以可得 则x＋y＝－4. [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 答案　A 解析　b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设点C的坐标为(x，y，z)， 则＝(x，y，z)，又＝(－3，－2，－4)，＝ ，所以x＝－，y＝－，z＝－， 所以C. 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　由a，b的坐标可得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，两向量互相垂直， 则(ka＋b)·(2a－b)＝0， 即3×(k－1)＋2×k－2×2＝0， 解得k＝. 4．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 答案　B 解析　由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,3，－2y－2)． ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)， ∴ 解得 5.以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是(　　) A．(1，，) B．(1,1，) C．(，，) D．(，，1) 答案　C 解析　设正方体的棱长为1， 则由题图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)， ∴＝(1,1,1)， ∴与共线的向量的坐标可以是(，，)． 6．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，＝λ，＝3，若PN⊥BM，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，以点A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则P(λ，0,1)，N，B(1，0,0)，M， ＝，＝， 因为PN⊥BM，所以·＝λ－＋－＝0，解得λ＝. 7．(5分)若A(0,1,0)，B(－4，y0,2)，C(2,3，－1)三点共线，则y0＝________. 答案　－3 解析　因为A(0,1,0)，B(－4，y0,2)，C(2,3，－1)三点共线， 所以＝λ，即(－4，y0－1,2)＝λ(2,2，－1)， 所以解得 8.(5分)如图，E是棱长为2的正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF＝90°，则线段AF的长为________． 答案　 解析　由题意，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，并设AF＝t， 则E(2,0,1)，F(2，t,0)，C1(0,2,2)， 则＝(0，t，－1)，＝(－2,2,1)， 因为∠C1EF＝90°，所以⊥， 则·＝0， 所以2t－1＝0，解得t＝， 所以线段AF的长为. 9.(10分)如图，在长方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝2，以为一组基，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. (1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标；(5分) (2)写出向量，，，的坐标．(5分) 解　记i＝，j＝，k＝′. (1)点D′在z轴上，且|OD′|＝2， 所以＝0i＋0j＋2k，所以点D′的坐标是(0,0,2)． 同理，点C的坐标是(0,4,0)． ＝＋＝3i＋0j＋2k，所以点A′的坐标是(3,0,2)． ＝＋＋＝3i＋4j＋2k，所以点B′的坐标是(3,4,2)． (2)＝＝0i＋4j＋0k＝(0,4,0)； ＝－＝0i＋0j－2k＝(0,0，－2)； ＝＋＝－3i＋4j＋0k＝(－3,4,0)； ＝＋＋＝－3i＋4j＋2k＝(－3,4,2)． 10．(12分)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；(5分) (2)若∥，且||＝2，求点P的坐标．(7分) 解　(1)＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)． 设a＝(x，y，z)， 因为|a|＝，且a分别与，垂直， 所以 解得或 所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)． (2)因为∥， 所以可设＝λ(λ∈R)． 因为＝(3，－2，－1)， 所以＝(3λ，－2λ，－λ)． 又因为||＝2， 所以＝2， 解得λ＝±2. 所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)． 设点P的坐标为(x1，y1，z1)，则＝(x1，y1－2，z1－3)． 所以或 解得或 故点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)． 11．已知{a，b，c}是空间的一组标准正交基，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基，若向量p在{a，b，c}下的坐标为(3,2,1)，则它在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设向量a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1)，则向量a＋b＝(1,1,0)，a－b＝(1，－1,0)， 又向量p＝(3,2,1)， 不妨设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc， 则(3,2,1)＝(x＋y，x－y，z)， 即解得 所以向量p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 12．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.·(－)＝0 D.＝＋＋ 答案　ACD 解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，M(2,0,1)，N(2，2,1)， ＝(－2,2,0)，＝(2,2，－1)， 则·＝0， ⊥，A正确； ＝(－2,2，－1)，·＝1，B错误； －＝＝(2,2,0)，·(－)＝0，C正确； ＝－＝＋－ ＝＋＋，D正确． 13．已知a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝，且a⊥b，则θ为(　　) A．－ B. C．2kπ－(k∈Z) D．kπ－(k∈Z) 答案　D 解析　因为a⊥b，a＝(sin θ，cos θ，tan θ)， b＝， 所以sin θcos θ＋cos θsin θ＋1＝0， 即sin 2θ＝－1， 所以2θ＝－＋2kπ，k∈Z， 即θ＝－＋kπ，k∈Z. 14．(5分)已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________． 答案　 解析　设＝λ， 则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2. 所以当λ＝时，·取得最小值， 此时＝＝， 即点Q的坐标为. 15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为(　　) A．抛物线的一部分 B．线段 C．一段圆弧 D．椭圆的一部分 答案　B 解析　设正方体的棱长为1， 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则D1(0,0,1)，E，B1(1，1,1)， 设P(x，y,0)，且0≤x≤1,0≤y≤1， 所以＝(x－1，y－1，－1)，＝， 由B1P⊥D1E，可得·＝0， 所以(x－1)＋y－1＋1＝0， 即y＝－x＋，0≤x≤1， 所以点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为线段． 16．(12分)设全体空间向量组成的集合为V，a＝为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”f(x)：f(x)＝－x＋2(x·a)a(x∈V)． (1)设u＝(1,0,0)，v＝(0,0,1)，若f(u)＝v，求向量a；(6分) (2)对于V中的任意两个向量x，y，证明：f(x)·f(y)＝x·y.(6分) (1)解　依题意得，f(u)＝－u＋2(u·a)a＝v， 由a＝(a1，a2，a3)，u＝(1,0,0)，v＝(0,0,1)，得 解得a＝或a＝. (2)证明　设x＝(a，b，c)，y＝(m，n，t)，则f(x)·f(y)＝[－x＋2(x·a)a]·[－y＋2(y·a)a] ＝x·y－4(y·a)(x·a)＋4(y·a)(x·a)a2 ＝x·y－4(y·a)(x·a)＋4(y·a)(x·a) ＝x·y， 从而得证． 学科网（北京）股份有限公司 $