第2章 §4 4.1 直线与圆锥曲线的交点 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦直线与圆锥曲线的位置关系这一核心知识点，系统梳理从交点充要条件到位置关系判断（相交、相切、相离），再到弦长计算及综合应用（如中点弦、最值问题）的脉络，构建“概念引入-方法探究-例题解析-巩固训练”的学习支架。 该资料以问题驱动引导思考，通过分类讨论（如a=0与a≠0的不同情况）培养逻辑推理，结合点差法解中点弦等实例提升数学运算与直观想象素养。课中辅助教师系统授课，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 学习任务 核心素养 1．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 2．掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法．(难点) 1．通过学习直线与圆锥曲线的三种位置关系，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助求解直线与圆锥曲线的有关问题，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养． 1．设曲线C1：f (x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，则点是曲线C1，C2的一个交点的充要条件是什么？ 2．如何求曲线C1，C2的交点？ 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(x)得到一个关于变量x(y)的一元方程， 即消去y后得ax2＋bx＋c＝0． (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ， Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线有两个交点时，以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|(k≠0)． 若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线一定相切吗？ [提示]　不一定相切．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线， 则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线y＝x与抛物线y2＝2x的交点是点(0，0)与(2，2)． (　　) (2)直线y＝k与抛物线y2＝2x一定相交． (　　) (3)当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线不可能相切． (　　) (4)直线与圆锥曲线公共点最多两个． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(　　) A．1条　　　 B．2条　 C．3条　　　 D．4条 B　[由于点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以满足条件的直线有2条，一条为切线，一条与x轴平行．] 3．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________． 　[联立方程得消去y得x2－(x＋4)2＝1，则x＝－，代入y＝x＋4得y＝． 故直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为．] 4．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点的坐标为________． 　[设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P(x0，y0)， 由得3x2＋4x－2＝0，则x1＋x2＝－， ∴x0＝(x1＋x2)＝－，∴y0＝x0＋1＝， 故弦的中点坐标为．] 类型1　直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】　【链接教材P79例3】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的相应取值范围． [思路点拨]　在第(1)问中，可用直接法求点M的轨迹方程．在第(2)问中，需注意考虑k＝0及k≠0的情况，当k≠0时，还需讨论方程的判别式Δ． [解]　(1)设点M，依题意得＝＋1，即＝＋1，化简整理得y2＝2． 故点M的轨迹C的方程为y2＝ (2)在点M的轨迹C中，记C1 ：y2＝4x，C2 ：y＝0(x＜0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 由方程组 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．① (ⅰ)当k＝0时，此时y＝1． 把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝． 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点． (ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．② 设直线l与x轴的交点为(x0，0)， 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－．③ 当x0≤0时，Δ<0，由②③解得k＜－1，或k＞． 即当k∈(－∞，－1)时，直线l与C1 没有公共点，与C2 有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． 当x0>0时，Δ＝0，由②③知，k不存在． 综合(ⅰ)(ⅱ)知，当k∈(－∞，－1)∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点． 【教材原题·P79例3】 例3　已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C：y2＝x有唯一的公共点，求直线l的方程． [解]　如图2－37． 图2－37(1)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件． (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1． 由方程组消去y并整理，得 k2x2＋(2k－1)x＋1＝0．　(*) ①当k2＝0时，直线l的方程为y＝1，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件； ②当k2≠0时，方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ＝(2k－1)2－4k2＝0． 解得k＝．此时，方程组有唯一的实数解，符合条件． 综上，满足题意的直线l有三条：x＝0，y＝1，y＝x＋1． 　1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离． 2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零． [跟进训练] 1．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＝1的公共点个数为(　　) A．0　　　 B．1　　 C．2　　　 D．不确定 C　[由题意，得>2，即m2＋n2<4， ∴<1，∴点P(m，n)在椭圆＝1内，∴过点P(m，n)的直线与椭圆＝1相交，∴过点P(m，n)的直线与椭圆＝1有两个公共点．] 类型2　弦长问题 【例2】　过点P(－1，1)的直线与椭圆＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|． [思路点拨]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)，再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|． [解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上，得 两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0．① 显然x1≠x2，故由①得kAB＝＝－． 因为点P是AB的中点， 所以有x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2．② 把②代入①得kAB＝，故直线AB的方程是y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0． 由消去y得3x2＋6x＋1＝0，Δ＝36－12＝24＞0． ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝＝． 　1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0． 2．直线y＝kx＋b与曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)． [跟进训练] 2．已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，若|AB|<，试求直线l斜率的取值范围． [解]　设直线AB的方程为y＝kx＋3或x＝0， A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB的方程为x＝0时， |AB|＝4>，与题意不符． 当AB的方程为y＝kx＋3时， 由题设可得A，B的坐标是方程组的解， 消去y，得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0， 所以Δ＝(6k)2－20(4＋k2)>0，即k2>5，① 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 因为|AB|＝<， 所以<， 解得－<k2<8，② 由①②知5<k2<8． ∴<k<2或－2<k<－． 综上所述，直线l的斜率的取值范围为(－2，－)∪(，2)． 类型3　圆锥曲线的综合问题 【例3】　设直线l：y＝k(x＋1)与椭圆x2＋3y2＝a2(a>0)相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点． (1)证明：a2>； (2)若＝2，求△OAB面积的最大值． [解]　(1)证明：依题意，当k＝0时，a2>0，显然成立； 当k≠0时，y＝k(x＋1)可化为x＝y－1． 将x＝y－1代入x2＋3y2＝a2， 消去x，得y2－y＋1－a2＝0．① 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝－4(1－a2)>0， 化简整理得a2>． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知C(－1，0)． 由①，得y1＋y2＝．② 因为＝(－1－x1，－y1)，＝(x2＋1，y2)， 由＝2，得y1＝－2y2．③ 由②③联立，解得y2＝． △OAB的面积S＝|OC|·|y1－y2|＝|y2|＝＝， 当且仅当＝3|k|，即k2＝时，上式等号成立，此时，△AOB面积的最大值为． 　1．利用代数法(方程的思想)解决最值及范围问题时，常用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围． 2．向量的工具性，如本例中“＝2”变相给出了A，B两点坐标间的关系，为根与系数的关系和进一步运算奠定了基础． 3．求最值时，常利用函数思想或基本不等式求解． [跟进训练] 3．已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2(其中O为原点)，求k的取值范围． [解]　(1)设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，由已知得a＝，c＝2，∴b＝1． 故所求双曲线方程为－y2＝1． (2)将y＝kx＋代入－y2＝1， 可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0， 由直线l与双曲线交于不同的两点得 故k2≠且k2＜1． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由＞2得x1x2＋y1y2＞2， 又∵y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＋2＝＋2， ∴＋2＞2， ∴＞0． 又∵k2≠且k2＜1， ∴＜k2＜1． ∴k的取值范围为． 1．(教材P81例5改编)若直线y＝2(x－1)与椭圆＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．　　 B． C．　　 D． C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0．解得x1＝0，x2＝，分别代入y＝2(x－1)，得y1＝－2，y2＝． ∴|AB|＝＝．] 2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　) A．(－3，0) 　 B．(0，－3) C．(3，0) 　 D．(0，3) A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以＝．又＝＝2x2，所以y1y2＝6．设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x，得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．] 3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为________． (－2，2)　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2．] 4．求过椭圆＝1内一点M(1，1)的弦AB的中点的轨迹方程． [解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 弦AB的中点为P(x，y)， 则 由①－②得＝＝， 而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y． ∴＝， 整理，得轨迹方程为x2＋4y2－x－4y＝0． 1．直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断． 2．涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|(k≠0)来解决，弦过焦点时，也可用定义来解决． 3．解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用根与系数的关系及中点坐标公式求解；二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率． 课时分层作业(十七)　直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1．直线x＝1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　) A．相离　　 B．相切 C．相交 　 D．无法确定 B　[∵椭圆x2＋＝1的短半轴b＝1，∴直线x＝1与椭圆相切．] 2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(　　) A．x3＝x1＋x2 　 B．x1x2＝x1x3＋x2x3 C．x1＋x2＋x3＝0 　 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0 B　[由 消去y，得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0，得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3．] 3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A．　　　 B．　 C．　　　 D．2 A　[法一：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝． 当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A． 法二：因为点P在椭圆＋y2＝1上， 所以可设点P(cos θ，sin θ)． 易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝．易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．] 4．设双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　) A． 　 B．2 C． 　 D． C　[双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝，代入抛物线方程，整理得ax2－bx＋a＝0， 因渐近线与抛物线相切，故b2－4a2＝0，即c2＝5a2⇒e＝．] 5．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于(　　) A． 　 B．2 C． 　 D．3 A　[kAB＝＝－1，且y2－y1＝，所以x2＋x1＝－，又在直线y＝x＋m上，∴＝＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m．又y1＝，y2＝∴＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m， ∴2m＝3，m＝．] 二、填空题 6．设P是双曲线＝1右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则|PE|·|PF|的值为________． 　[渐近线方程为2x±y＝0，设P(x0，y0)，则＝1，所以＝16． 由点到直线的距离公式有|PE|＝，|PF|＝，∴|PE|·|PF|＝＝．] 7．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，则|AB|等于________． 　[由3x2＋4y2＝48，得＝1， ∴a2＝16，b2＝12，c2＝4， ∴F(－2，0)，直线l的方程为y＝x＋2． 由得7x2＋16x－32＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝·|x1－x2|＝．] 8．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2． 其中，正确结论的序号是________． ②③　[设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为＝a2， ∵a＞1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x，y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．因为＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．] 三、解答题 9．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1． (1)求椭圆的方程和离心率e； (2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程． [解]　(1)如图，由题意可知 故则b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的方程为＝1，此椭圆的离心率e＝＝． (2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)． 由消y，可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝． 由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)， 所以×4×|yP－yQ|×1×|yP|， 因为所以2|yP－yQ|＝|yP|， ①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，即有＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合题意，舍去． ②当2|yQ|－2|yp|＝|yp|时，2|yQ|＝3|yp|，即有4|k|＝解得k＝±． 故直线A2P的方程为y＝±(x－2)． 10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． [证明]　如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为 y2＝2px(p＞0)，　　① 点A的坐标为(y0≠0)，则直线OA的方程为y＝x，　　② 抛物线的准线方程是x＝－．　　③ 联立②③，可得点D的纵坐标为－． 因为焦点F的坐标是，当≠p2时，直线AF的方程为y＝．　　④ 联立①④，消去x，可得(－p2)y－y0p2＝0，即 (y－y0)(y0y＋p2)＝0， 可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴． 当＝p2时，易知结论成立． 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 11．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　) A．1 　 B．－1 C．－ 　 D．以上都不对 C　[的几何意义是椭圆上的点与定点(2，0)连线的斜率．显然直线与椭圆相切时取得最值， 设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y，得x2－4k2x＋4k2－4＝0． 令Δ＝0，则k＝±．∴kmin＝－．] 12．已知集合A＝B＝则A∩B中元素个数为(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．不确定 C　[由mx－y－2m＋1＝0，得y－1＝m， ∴直线mx－y－2m＋1＝0恒过定点P． ∵－3<2<3，－2<1<2，∴点P在椭圆＝1内，∴直线mx－y－2m＋1＝0与椭圆＝1相交，∴A∩B中元素个数为2．] 13．已知斜率为2的直线l过双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点，若直线l与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________；若直线l与双曲线的一支相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________． (3，＋∞)　　[当直线l与双曲线的左、右两支都相交时，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即>2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>3． 当直线l与双曲线的一支相交时，双曲线的一条渐近线的斜率必小于或等于2，即≤2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝≤3．又e＞1，∴1＜e≤3．] 14．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． [解]　(1)设双曲线C的方程为＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距， 由题意可得解得 所以双曲线C的方程为＝1． (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4， 则x1＝my1－4，x2＝my2－4． 联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0． 因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0． 由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2． 因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(－2，0)，A2(2，0)． 直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，所以＝，得＝＝＝． 因为＝ ＝ ＝ ＝－3， 所以＝－3，解得x＝－1， 所以点P在定直线x＝－1上． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $