第二章 1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦椭圆标准方程的综合应用，系统梳理椭圆方程的设法（定义法、待定系数法等）、定义的应用（焦点三角形问题）及点与椭圆的位置关系，构建从椭圆基本概念到综合问题的学习支架。 资料通过例题分层设计与反思感悟提炼方法，如焦点三角形中结合椭圆定义与余弦定理推理，培养数学思维的推理能力；点与椭圆位置关系判断发展数学眼光的抽象能力。课中助力教师高效授课，课后学生可回顾例题与训练巩固知识，查漏补缺。

第2课时　椭圆的标准方程的综合问题 [学习目标]　1.进一步熟悉椭圆的定义，并能运用其解决一些相关的问题.2.理解点与椭圆的位置关系． 一、椭圆方程的设法 例1　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)以点F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点，经过点P. (2)求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程； (3)已知椭圆的中心在原点，过点(，－2)和(0,2)，求椭圆的标准方程． 解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(m>n>0)，焦距为2c0. 由题意得c0＝1，|PF1|＝＝， |PF2|＝＝， 则m＝＝＝， n＝＝2， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)， 将点(，－)代入， 可得＋＝1， 解得k＝5(k＝21舍去)， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，椭圆过点(，－2)和(0,2)， 则解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 反思感悟　求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”． 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件． (3)与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＋＝1. (4)当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式． 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (2)经过A，B两点． 解　(1)设所求椭圆方程为＋＝1(k<1)， 将点代入，可得＋＝1， 解得k＝－2或k＝(舍去)， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设所求的椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 把A，B两点代入， 得解得m＝，n＝1， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1. 二、椭圆定义的应用 例2　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3， 从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积． 解　在△F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋36， 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1|. 从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36， 解得|PF1|＝. 所以△F1PF2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝， 即△F1PF2的面积是. 反思感悟　椭圆定义的应用技巧 (1)涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，利用椭圆的定义进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． 跟踪训练2　设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　) A．24 B．12 C．8 D．6 答案　C 解析　∵P为椭圆C：＋＝1上一点， |PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝8. 又|F1F2|＝2c＝2＝10， ∴易知△PF1F2是直角三角形， ＝|PF1|·|PF2|＝24. ∵△PF1F2的重心为G， ∴ ∴△GPF1的面积为8. 三、点与椭圆的位置关系 例3　已知直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 答案　A 解析　∵直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点， ∴>，即m2＋n2<5， ∴m2<5，n2<5. 又∵＋<＋＝<1， ∴点P(m，n)在椭圆内部． 反思感悟　点与椭圆的位置关系的判断 (1)根据椭圆的定义判断点P(x0，y0)与椭圆的位置关系如下： |PF1|＋|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部； |PF1|＋|PF2|＝2a⇔点P在椭圆上； |PF1|＋|PF2|>2a⇔点P在椭圆外部． (2)对于点P(x0，y0)与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1； 点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1； 点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. 跟踪训练3　若点P(0,1)在焦点在x轴上的椭圆＋＝1的内部，则m的取值范围是________． 答案　(1,5) 解析　由题意知＋<1， ∴m>1， 又椭圆的焦点在x轴上， ∴m<5， 故m的取值范围是(1,5)． 1．知识清单： (1)椭圆方程的设法． (2)椭圆定义的应用． (3)点与椭圆的位置关系． 2．方法归纳：转化与归纳． 3．常见误区：求参数范围时，忽视焦点所在的坐标轴而致错． 1．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　C 解析　根据椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11. 2．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　) A．4 B．6 C．9 D．12 答案　C 解析　|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|PF1|·|PF2|≤＝9，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． 3．若点P(1，m)在椭圆＋y2＝1内，则m的取值范围是________． 答案　 解析　由题意知，＋m2<1，则－<m<. 4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积为____________． 答案　4 解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝， 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， 所以|PF1|＝4，|PF2|＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以△PF1F2是直角三角形， 故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．已知椭圆C：＋＝1，点A(1,1)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　) A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 答案　B 解析　因为＋＝<1，所以点A在椭圆C内部． 2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．以上都不对 答案　A 解析　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 由题意得解得 所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1. 3．若椭圆＋y2＝1上一点A到左焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由已知得a＝3，|AF1|＝2，设椭圆的右焦点为F2，则|AF2|＝2a－2＝4， 易知OB是△AF1F2的中位线， 所以|OB|＝＝2. 4．设P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且|PF1|＝4|PF2|，则(　　) A．△PF1F2为锐角三角形 B．△PF1F2为钝角三角形 C．△PF1F2为直角三角形 D．P，F1，F2三点构不成三角形 答案　D 解析　由题意可知，a＝5，b＝4，则c＝3，又|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝8，|PF2|＝2，且|F1F2|＝6，则6＋2＝8，即P，F1，F2三点共线，构不成三角形． 5．(多选)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是(　　) A．|PF1|＝5，|PF2|＝3 B．△PF1F2为直角三角形 C．＝6 D．＝12 答案　ABC 解析　由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4， ∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2， 故△PF1F2为直角三角形， ∴＝×3×4＝6. 6．设m，n为不相等的正实数，椭圆＋＝1的焦点分别为F1(0,2)与F2(0，－2)．若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形，则m＋n等于(　　) A．4＋2 B．2 C．28 D．36 答案　C 解析　要使△PF1F2为正三角形，则|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2c＝4，所以|PF1|＝|PF2|＝a＝＝4，即n＝16，故m＝n－c2＝12，则m＋n＝28. 7．(5分)已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________． 答案　＋＝1 解析　方法一　依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)． 依题意，有 解得 又a2＝b2＋c2，∴b2＝12， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 方法二　依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则 解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16. ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. 8．(5分)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则实数a的值为________． 答案　3 解析　由题意，可知b＝，c＝，|PF1|＝4， 则|PF2|＝2a－4.|F1F2|＝2c＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝， 即－＝，解得a＝3. 9．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－. (1)求椭圆C的方程；(6分) (2)求△F1PF2的面积．(4分) 解　(1)由椭圆的定义得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4， ∴a＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理可得， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°， ∴4c2＝15，∴c＝，b2＝a2－c2＝4－＝， 故椭圆C的方程为＋4y2＝1. (2)＝|PF1||PF2|sin 120°＝×(2＋)×(2－)×＝. 10．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程；(5分) (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．(7分) 解　(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1， 所以|PF1|＝，|PF2|＝. 又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝. 故∠F1PF2的余弦值等于. 11．点P(4cos α，4sin α)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是(　　) A．点P在椭圆C上 B．不能确定 C．点P在椭圆外 D．点P在椭圆内 答案　C 解析　将点P代入椭圆C的方程，得＋＝4cos2α＋16sin2α＝4＋12sin2α>1，∴点P在椭圆外． 12．椭圆＋＝1(m>0)的左、右焦点为F1，F2，椭圆与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　在椭圆＋＝1(m>0)中， c＝＝＝1，如图，易知|AF1|＝|AF2|＝a，又∠F1AF2＝，所以△F1AF2为等腰直角三角形，即|OA|＝|OF1|，得m＝1. 13．椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，且·＝0，则M到y轴的距离为(　　) A．3 B．2 C. D. 答案　C 解析　设M(x0，y0)，点M在椭圆＋y2＝1上， 所以＋y＝1，① 椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2， 则F1(－，0)，F2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，由·＝0， 可得(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝0， 化简可得x＋y＝3，② 联立①②可解得x0＝±， 故M到y轴的距离为. 14．已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　 不妨设A在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1,0)，点C，F是线段AB的三等分点，得C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1，所以＋＝1，则yA＝，即A，所以C，B，将点B的坐标代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝1， 又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4， 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 15．(5分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________． 答案　(0,1)或(0，－1) 解析　根据题意，设点A的坐标为(m，n)，点B的坐标为(u，v)． 易得F1(－，0)，F2(，0)， ∴＝(m＋，n)，＝(u－，v)． ∵＝5，∴u＝，v＝， ∵点A，B都在椭圆上， ∴ 解得 故点A的坐标为(0,1)或(0，－1)． 16．(12分)设点M(x，y)是椭圆＋＝1上的任意一点，求x＋y的最大值与最小值． 解　设x＝4cos θ，y＝3sin θ，θ∈[0,2π)， 则x＋y＝4cos θ＋3sin θ＝5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝. 因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y∈[－5,5]． 所以(x＋y)min＝－5，(x＋y)max＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $