第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中直线与圆锥曲线的交点问题，系统梳理直线与椭圆、双曲线、抛物线交点个数的代数判断方法。从椭圆的基础判别式应用，到双曲线需考虑渐近线的特殊情况，再到抛物线关注对称轴平行的情形，构建逐步深入的知识支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光抽象代数方法，通过分类讨论培养数学思维中的推理意识，例题与跟踪训练强化运算能力。课中助力教师系统授课，课后练习题帮助学生巩固知识，弥补特殊情况分析等盲点。

4．1　直线与圆锥曲线的交点 [学习目标]　1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数.2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的范围． 导语 前面我们已经学习了直线以及圆、椭圆、双曲线、抛物线等一系列的特殊曲线，通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应的圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系，判定直线与圆锥曲线交点的个数，可以通过作出图象来确定．那么，我们是否还可以通过方程组的解的个数判定两者的交点个数呢？ 一、直线与椭圆的交点问题 问题1　如何判定直线l：y＝kx＋b与椭圆C：＋＝1(a>b>0)两者交点的个数？ 提示　由于y＝kx＋b过点(0，b)，而点(0，b)在椭圆C上，所以直线与椭圆有1个或2个交点． 问题2　若直线l与椭圆C两者相交，那么怎样求交点坐标？ 提示　直线l的方程与椭圆C的方程联立，通过求方程组的解确定交点坐标． 知识梳理 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，① 方程①的根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时． 方程①有两个不相等的实数根．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时， 方程①有两个相等的实数根．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时， 方程①没有实数根．这时直线l与椭圆C没有公共点． 反思感悟　(1)将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程． (2)利用一元二次方程根的判断式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况． 跟踪训练1　(1)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 答案　C 解析　由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0， 由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0， 解得k＝±. (2)判断直线l：y＝x＋2和椭圆2x2＋3y2＝6是否有公共点． 解　由 得2x2＋32＝6， 即x2＋2x＋6＝0. Δ＝(2)2－4××6＝24－60＝－36<0. 因此直线与椭圆没有公共点． 二、直线与双曲线的交点问题 问题3　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示　有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况． 知识梳理 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为a1x2＋b1x＋c1＝0的形式，在a1≠0的情况下考查方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a1＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行或重合，重合时无公共点，若不重合，则直线与双曲线有一个公共点． 注意点： 在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 例2　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． (1)由 得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线l与双曲线有两个不同的公共点． (2)由得k＝±， 此时方程(*)有一个实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点． 故当k＝±或k＝±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)由得k<－或k>， 此时方程(*)无实数解， 即直线l与双曲线无公共点． 反思感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，还要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 跟踪训练2　已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率可能出现的情况． 解　当直线l的斜率不存在时， l：x＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l的斜率存在时， 设l的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程， 得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0时，k＝±2， l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点； 当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上，k＝或k＝±2或k不存在． 三、直线与抛物线的交点问题 问题4　若直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 提示　不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个公共点，但两者相交． 知识梳理 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 例3　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 解　联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， ∴直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点． 反思感悟　判断直线与抛物线位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 跟踪训练3　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________． 答案　[－1,1] 解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0<k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1,1]． 1．知识清单： (1)直线与椭圆的交点问题． (2)直线与双曲线的交点问题． (3)直线与抛物线的交点问题． 2．方法归纳：分类讨论． 3．常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况．忽略直线与双曲线、抛物线只有一个交点的情况中非Δ＝0的情况． 1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 答案　A 解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1， 得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离． 2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 答案　C 解析　因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过定点(1,0)，又点(1,0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为________． 答案　(－2,2) 解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由Δ>0可得－2<k<2. 4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________. 答案　0或1 解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一公共点， 当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，Δ＝16(k－2)2－16k2＝0， ∴k＝1.综上，k＝0或1. [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1．已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，直线l与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 答案　C 解析　由题意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)， ∵＋<1， ∴点(0,1)在椭圆内部， ∴直线l与椭圆相交． 2．过点(0,1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案　C 解析　∵点(0,1)在抛物线的外部，∴过点(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线，共3条． 3．若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为(　　) A．(－2,2) B．(0,2) C．(4,5) D．(6,8) 答案　A 解析　∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点， ∴点(0，b)在椭圆＋＝1内部， ∴<1，∴－2<b<2. 4．经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0 答案　A 解析　显然当x＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当斜率k存在时， 设直线方程为y－＝k(x－1)，与椭圆的方程联立得 得到(1＋4k2)x2＋4k(－2k)x＋4k2－4k－1＝0， 由直线与椭圆相切，得Δ＝0， 即[4k(－2k)]2－4(1＋4k2)(4k2－4k－1)＝0，解得k＝－，∴切线方程为x＋2y－4＝0. 5．若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a>0)的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是(　　) A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(0,4) D．(0,4] 答案　C 解析　由双曲线方程为x2－ay2＝4(a>0)，可得渐近线方程为x＝±y， 由直线方程l：x－2y＝0与双曲线的右支仅有一个公共点，可得<2，解得0<a<4. 6．(多选)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的值可以为(　　) A．0 B．1 C．2 D．5 答案　CD 解析　∵＋＝1表示椭圆， ∴m>0且m≠3. 由 得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0， 解得m>1或m<0. ∴m>1且m≠3， ∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)． 7．(5分)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________． 答案　 解析　方法一　设与抛物线相切且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0. 与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－. ∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝. 方法二　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为， 当m＝时，取得最小值. 8．(5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是____________． 答案　(，＋∞) 解析　双曲线在第一，三象限的渐近线的斜率k＝， 要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足>2即可， ∴>2，∴>2，∴e>. 9．(10分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点(－2,3)． (1)求双曲线C的方程；(5分) (2)若直线l：y＝kx＋3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值．(5分) 解　(1)由题意得 解得 所以双曲线C的方程为x2－＝1. (2)由 得(3－k2)x2－6kx－12＝0， 当3－k2≠0时，由Δ＝36k2＋48(3－k2)＝0， 解得k＝±2. 当3－k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，所以k＝±2或k＝±. 10．(11分)已知直线l：x－y＋6＝0与椭圆C：＋y2＝1. (1)判断直线l与椭圆C的位置关系；(5分) (2)求椭圆C上的点到直线l的距离的最大值和最小值．(6分) 解　(1)由消去y， 整理得3x2＋24x＋70＝0， Δ＝242－4×3×70＝－264＜0， ∴直线l与椭圆C相离． (2)设与l：x－y＋6＝0的平行直线为l′：x－y＋m＝0(m≠6)， 由消去y， 整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 令Δ＝16m2－24(m2－1)＝0， 可得m＝－或m＝， ∴直线x－y±＝0与椭圆C均相切，结合图形(图略)，则椭圆上的点到直线l的距离的最大值为＝，最小值为＝. 11．(多选)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的值可以为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D. 答案　BD 解析　由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，解得k>1或k<－1. 12．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　由题意，设椭圆方程为＋＝1， 由 得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0， 由Δ≥0得b2≥4， 所以b2的最小值为4， 又e＝＝， 则b2＝4时，e取最大值， 此时椭圆方程是＋＝1. 13．(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝________. 答案　8 解析　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)， 联立直线与抛物线的方程，得 解得或 不妨设点M的坐标为(1,2)，点N的坐标为(4,4)． 又∵抛物线的焦点为F(1,0)， ∴＝(0,2)，＝(3,4)． ∴·＝0×3＋2×4＝8. 14．(5分)在椭圆＋＝1上找一点P，使点P到直线2x－4y－31＝0的距离最小，则取得最小值时点P的坐标是________________． 答案　(2，－3) 解析　设过点P且与直线2x－4y－31＝0平行的椭圆的切线方程为直线2x－4y＋m＝0(m≠－31)， 联立 整理得，4x2＋mx＋m2－48＝0， 则Δ＝m2－4×4＝0， 解得m＝±16，当m＝－16时，直线方程为2x－4y－16＝0，此时点P到直线2x－4y－31＝0的距离最小， 4x2＋mx＋m2－48＝0可整理得x2－4x＋4＝0， 解得x＝2，则y＝－3，故P(2，－3)． 15．(5分)已知点P为直线ax＋y－4＝0上一点，PA，PB是椭圆C：＋y2＝1(a>0)的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为________． 答案　 解析　设P(m，n)，当切线斜率存在时，设斜率为k，则过点P的切线为y－n＝k(x－m)． 联立⇒(k2a2＋1)x2＋2ka2(n－km)x＋a2[(n－km)2－1]＝0. ∵直线与椭圆相切， ∴Δ＝4k2a4(n－km)2－4a2(k2a2＋1)[(n－km)2－1]＝0， 整理得(a2－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0. 设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2， ∵PA⊥PB，∴k1·k2＝＝－1， 即m2＋n2＝1＋a2， ∴点P在以(0,0)为圆心，为半径的圆上， 即(0,0)到直线ax＋y－4＝0的距离为， 由d＝＝，解得a＝. 当切线斜率有一条为0，另一条不存在时，当点P(a，4－a2)，此时4－a2＝1，a＝， 当点P(－a,4＋a2)， 此时4＋a2＝1，无解． 又∵b＝1，∴c＝＝，e＝＝. 16．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点A(1，－2)． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(4分) (2)若直线l与OA平行(O是坐标原点)，与抛物线有公共点，且直线OA与l的距离为，求直线l的方程．(8分) 解　(1)由题设可得(－2)2＝2p，p＝2， 则抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1. (2)直线 OA的斜率为－2，方程为y＝－2x. 因为直线l与OA平行， 故可设直线l的方程为y＝－2x＋t(t≠0)． 因为直线l与抛物线有公共点， 联立消y得4x2－(4t＋4)x＋t2＝0， 此方程有解，故Δ＝(4t＋4)2－16t2≥0， 所以t≥－. 又直线l与直线OA的距离为， 故＝，得t＝±1. 因为t≥－，故t＝1. 所以直线l的方程为2x＋y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $