第一章 习题课 对称问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对称问题核心知识点，系统梳理点点、点线、线线对称的求解方法，通过中点坐标公式、垂直关系等基础支架，逐步延伸至光的反射问题及利用对称解决最值问题，构建从原理到应用的递进式学习脉络。 资料以中国建筑对称美导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，例题解析中渗透转化与化归、数形结合的数学思维，如反射问题转化为点对称求解。课中助力教师高效授课，课后通过跟踪训练与知识清单，帮助学生巩固方法、查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

习题课　对称问题 [学习目标]　1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题． 导语 对称，也许是中国人最喜欢的美．古语有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”里里外外皆均衡妥帖，方为“美”．对称即是这样的美．建筑师梁思成曾说过：“无论东方、西方，再没有一个民族对中轴对称线如此钟爱与恪守．”放眼中国的建筑，无论是宫殿、庙宇、亭台、楼阁、园林无不有着对称之美．今天我们就一起去感受一下直线的对称美． 　 一、几类常见的对称问题 例1　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即 解得 ∴点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组 得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则 解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. 反思感悟　对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 跟踪训练1　已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1. (1)求点P关于直线l对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有解得R. (2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0. 二、光的反射问题 例2　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解　如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 解得 ∴A的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 反思感悟　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 跟踪训练2　如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 答案　A 解析　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2. 三、利用对称解决有关最值问题 例3　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． 解　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′， 则kBB′·kl＝－1， 即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0，① ∵BB′的中点在直线l上， ∴－－1＝0， 即a－b－6＝0.② 由①②得 ∴点B′的坐标为(5，－1)． 则AB′所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大． ∴联立直线l与AB′的方程， 解得x＝，y＝， 即l与AB′的交点坐标为. 故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)， ∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小． ∴联立直线AC′与l的方程， 解得x＝，y＝， 即AC′与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 反思感悟　利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 跟踪训练3　在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 答案　A 解析　如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)， 则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|. 当A与B重合于坐标原点O时， |MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝＝10； 当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10. 1．知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题． (2)反射问题． (3)利用对称解决有关最值问题． 2．方法归纳：转化与化归、数形结合． 3．常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆． 1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　) A．(－1，－3) B．(17，－9) C．(－1,3) D．(－17,9) 答案　A 解析　设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)， 则由解得 所以该点的坐标为(－1，－3)． 2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 答案　D 解析　在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，如： (1,1)，， 这两点关于直线x＝1对称的点分别为(1,1)，，两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 3．直线2x＋3y－6＝0分别交x轴和y轴于A，B两点，P为直线y＝x上一点，则|PA|－|PB|的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D. 答案　A 解析　依题意可知A(3,0)，B(0,2)，设B(0,2)关于直线y＝x对称的点为C(2,0)，|PB|＝|PC|， 则|PA|－|PB|＝|PA|－|PC|≤|AC|，当且仅当A，C，P三点共线，即当点P与原点重合时，|PA|－|PC|取得最大值1. 4．一条光线从点A(3,2)出发，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为________． 答案　－2 解析　如图所示，作点A关于x轴的对称点A′， 所以点A′在直线MB上． 由对称性可知A′(3，－2)， 所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝＝－2. 故反射光线所在直线的斜率为－2. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 2．点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　) A．(6，－3) B．(3，－6) C．(－6，－3) D．(－6,3) 答案　C 解析　设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，则 解得 故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3)． 3．点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．0 答案　A 解析　∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上， ∴点P(a，b)在直线l上， ∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1. 4．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 答案　C 解析　点A(－3,5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即|A′B|的长， |A′B|＝＝5. 即光线从A到B的路程为5. 5．直线m：2x＋y－4＝0关于直线n：3x＋4y－1＝0对称的直线l的方程是(　　) A．2x＋11y＋16＝0 B．2x－11y＋16＝0 C．11x－2y＋16＝0 D．11x＋2y＋16＝0 答案　A 解析　设直线l上的任意一点P(x，y)，P关于直线n对称的点为Q(x0,4－2x0)，则有 消去x0，得2x＋11y＋16＝0. 6．已知点A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是(　　) A．(4,0) B．(13,0) C．(5,0) D．(1,0) 答案　B 解析　点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求． 直线A′B的方程是y＋3＝·(x－1)， 即y＝x－. 令y＝0，得x＝13.即点P的坐标为(13,0)． 7．(5分)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________________． 答案　2x＋3y＋8＝0 解析　∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线l′为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)， 又点(1，－1)到两直线的距离相等， ∴＝， 化简得|c－1|＝7， 解得c＝－6(舍去)或c＝8， ∴l′的方程为2x＋3y＋8＝0， 即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 8．(5分)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________． 答案　6x－y－6＝0 解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)， 则反射光线所在直线过点M′， 所以解得 又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为＝， 即6x－y－6＝0. 9．(10分)已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小． 解　由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5)．由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 解方程组得交点P. 令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q. 所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小． 10．(12分)已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数；(8分) (2)求直线BC的方程．(4分) 解　(1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)． 根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝(x－m)． 由得x＝. 又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝. 所以＝， 即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形． 综上，符合题意的△ABC只有1个． (2)由(1)得m＝， 则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 11．若点A(a－1，a＋1)，B关于直线l对称，则l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　A 解析　由题意可知AB的中点坐标是 ， kAB＝＝－1， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB的中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为kl＝＝1， 所以直线l的方程为y－＝x－， 即x－y＋1＝0. 12．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0 答案　B 解析　设A(a，b)，则 解得 所以A(－1,1)． 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝－＝， 所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)， 即3x－2y＋5＝0. 13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 答案　B 解析　∵f(x)＝＋ ＝＋， ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和， 设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5， 即f(x)＝＋的最小值为5. 14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为(　　) A. B. C．2 D．10 答案　C 解析　如图所示， 设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)， 由题意可得 解得即C(7,4)， 在直线x＋y＝3上取点P， 由对称性可得|PB|＝|PC|， 所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2， 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马”的最短总路程为2. 15．(5分)若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是______________． 答案　x－4y－1＝0 解析　根据题意，设P，Q， 又线段PQ的中点是(1,0)， 所以 整理得 所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根， 解得x＝1±， 所以P，Q 或P，Q. 由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0. 16．(13分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(7分) (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．(6分) 解　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则 解得故A′(－2,8)． 因为P为直线l上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，则得 故所求的点P的坐标为(－2,3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点P即是直线AB与直线l的交点， 又直线AB的方程为y＝x－2， 则得 故所求的点P的坐标为(12,10)． 学科网（北京）股份有限公司 $