第一章 再练一课(范围：§2)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦圆的方程与位置关系核心知识点，系统梳理圆的对称变换、两圆位置关系判断、直线与圆相切及弦长计算等内容，形成从基础概念到综合应用（如台风侵袭问题）的递进式学习支架。 资料通过分层题目设计（选择、填空、解答）培养数学思维，如结合台风路径问题渗透数学建模（数学语言），详细解析切线长最短等问题提升逻辑推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固基础、查漏补缺，强化知识应用。

再练一课(范围：§2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 答案　D 解析　因为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心为(－1,2)，半径为3，且(－1,2)关于直线x－y＝0的对称点为(2，－1)，所以所求圆的圆心为(2，－1)，半径为3，即所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 2．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 答案　D 解析　将两圆方程分别化为标准方程得到圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9， 则圆心C1(m,0)，C2(－1，m)，半径r1＝2，r2＝3，两圆的圆心距|C1C2|＝＝>＝5＝2＋3， 则圆心距大于半径之和，故两圆外离． 3．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点P(2,1)且被该圆所截得的弦长为2的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 答案　B 解析　圆C：x2＋y2－4x＝0的圆心为C(2,0)，半径为2，易知点P在圆内，则PC所在弦长最大，此时为直径4，与PC垂直的弦长最短，则弦长l＝2＝2＝2，所以该圆所截得的弦长为2的直线有且只有一条． 4．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是(　　) A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 答案　D 解析　设圆心O(a,0)(a<0)， 则＝， ∴|a|＝5，∴a＝－5. ∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5. 5．已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A．－3或3 B．57 C．－3或57 D．3或57 答案　C 解析　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切． 因为A(1,0)，B(1,6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9， 圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m. 因为两圆相切， 所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|， 解得m＝57或m＝－3. 6．点P在直线2x＋y＋10＝0上，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为(　　) A．24 B．16 C．8 D．4 答案　C 解析　因为切线长PA，PB的长度相等， 所以四边形PAOB的面积为△APO面积的2倍． 因为PA⊥AO， 所以要求四边形PAOB面积的最小值， 应先求|PA|的最小值． 当|OP|取最小值时，|PA|取最小值． |OP|的最小值为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离d＝＝2， 因为圆x2＋y2＝4的半径r＝2， 所以|PA|的最小值为＝4. 所以四边形PAOB面积的最小值S＝2S△APO＝2××|PA|×|AO|＝4×2＝8. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．关于圆C：x2＋y2－kx＋2y＋k2－k＋1＝0，下列说法正确的是(　　) A．k的取值范围是k>0 B．若k＝4，过点M(3,4)的直线与圆C相交所得的弦长为2，则直线方程为12x－5y－16＝0 C．若k＝4，则圆C的半径是4 D．若k＝4，m>0，n>0，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，则＋≥8恒成立 答案　AD 解析　对于A，由方程表示圆可得(－k)2＋4－4>0，解得k>0，故A正确； 对于B，若k＝4，则圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，因为过点M(3,4)的直线与圆C相交所得的弦长为2，则圆心C(2，－1)到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，满足条件，故B错误； 对于C，由B知圆C的半径为2，故C错误； 对于D，因为直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，所以2m＋n－1＝0，即2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号，故D正确． 8．若点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则(　　) A．两个圆的圆心所在直线的斜率为－ B．两个圆的相交弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0 C．两圆的公切线有两条 D．|PQ|的最小值为0 答案　AD 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝4. 两个圆的圆心所在直线的斜率为＝－，所以A选项正确；因为|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以B，C选项不正确，D选项正确． 9．已知直线l：ax－y－3a＝0上存在相距为4的两个动点A，B，若圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝4上存在点P，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则实数a的值可以为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　ABC 解析　根据题意，若△PAB为等腰直角三角形， 其中P为直角顶点且|AB|＝4， 则P到AB的距离为＝2， 又圆C的半径为2，则圆心C(－1,4)到直线l：ax－y－3a＝0的距离d≤4， 即有≤4， 解得a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．过点P(3,5)引圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4的切线PB(B为切点)，则切线长为________． 答案　4 解析　由题意得圆心A(1,1)，半径r＝|AB|＝2， |AP|＝＝2， 在Rt△ABP中，|PB|＝＝＝4，则切线长为4. 11．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝____________. 答案　－ 解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆心为(1,4)，因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1， 所以＝1，解得a＝－. 12．已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)外切，则r的值为________，若点A(x0，y0)在圆C1上，则x＋y－4x0的最大值为________． 答案　4　5 解析　由于两圆外切，所以＝r＋1，即r＝4. 因为点A(x0，y0)在圆C1上， 所以x＋y＝1，所以x＋y－4x0＝1－4x0， 因为－1≤x0≤1， 所以x＋y－4x0的最大值为5， 此时x0＝－1. 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)． (1)判断直线l与圆C的位置关系；(5分) (2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．(7分) 解　(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)， 因此直线l过定点(1,1)，又＝1<， 所以定点(1,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交． (2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m， 又k＝tan 120°＝－，即m＝－. 此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝， 又圆C的半径r＝， 所以|AB|＝2＝2＝. 14．(12分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点． (1)求线段PQ的长；(4分) (2)记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求△MNC面积最大时的直线NM的方程．(8分) 解　(1)由圆O与圆C方程相减，得弦PQ的方程为3x＋y－3＝0. 圆心O(0,0)到直线PQ的距离d＝， ∴|PQ|＝2＝. (2)∵|MC|＝，|NC|＝2. ∴S△MNC＝|MC||NC|sin ∠MCN ＝2sin ∠MCN， 当∠MCN＝90°时，S△MNC取得最大值． 此时MC⊥NC，又kCM＝1，则直线NC为y＝－x＋4. 由 得N(1,3)或N(5，－1)． 当点N为(1,3)时，kMN＝－3，此时MN的方程为3x＋y－6＝0；当点N为(5，－1)时，kMN＝－，此时MN的方程为x＋3y－2＝0. 综上，MN的方程为3x＋y－6＝0或x＋3y－2＝0. 15.(13分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A(看作一点)的东偏南θ角方向300千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大． (1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由(≈9.22)；(7分) (2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？(6分) 解　(1)如图，建立平面直角坐标系，则城市A(0,0)，当前台风中心P(30，－210)， 设t小时后台风中心P的坐标为(x，y)，则 此时台风的半径为60＋10t， 10小时后，|PA|＝≈184.4(千米)，台风的半径r＝160(千米)， 因为r<|PA|，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. (2)t小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30－10t，－210＋10t)为圆心，60＋10t为半径的圆， 若城市A受到台风侵袭，则 ≤60＋10t， 即300t2－10 800t＋86 400≤0，即t2－36t＋288≤0， 解得12≤t≤24. 故该城市受台风侵袭的持续时间为12小时． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $