第一章 再练一课(范围：1.1～1.4)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线与方程核心内容，系统梳理倾斜角与斜率的概念，直线方程的点斜式、截距式等形式，以及两条直线平行、垂直的判定与应用，构建从基础概念到综合问题解决的学习支架，为解析几何后续学习奠定基础。 资料通过多样题型与分层设计，如直线过定点与线段相交问题培养几何直观（数学眼光），直角梯形顶点求解强化逻辑推理（数学思维），面积最值问题提升符号表达能力（数学语言）。课中助力教师精准教学，课后便于学生查漏补缺，深化知识理解与应用。

再练一课(范围：1.1～1.4)　 [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．直线3x－y＋1＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．135° 答案　B 解析　直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 2．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若直线PA的斜率是直线PB的斜率的两倍，则点P的坐标为(　　) A．(－2,0) B．(－5,0) C．(2,0) D．(5,0) 答案　B 解析　设点P的坐标为(x,0)，由题意知，kPA＝，kPB＝，则＝2×，解得x＝－5，即点P的坐标为(－5,0)． 3．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 答案　A 解析　因为2x－3y＋4＝0的斜率k＝，所以kl＝－，由点斜式可得y－2＝－(x＋1)，即所求直线方程为3x＋2y－1＝0. 4．已知直线l过点(1,2)，且在y轴上的截距为在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　) A．2x－y＝0 B．2x＋y－4＝0 C．2x－y＝0或x＋2y－2＝0 D．2x－y＝0或2x＋y－4＝0 答案　D 解析　方法一　由题意知直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，则直线l在y轴上的截距为2－k，在x轴上的截距为1－，∴2－k＝2，解得k＝±2.∴直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－4＝0. 方法二　当直线l过原点时，方程为y＝2x，即2x－y＝0，符合题意；当直线l不经过原点时，设其方程为＋＝1，代入点(1,2)，得a＝2，此时方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.综上，直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－4＝0. 5．已知A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　) A．k≥或k≤－4 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ D.≤k≤4 答案　A 解析　因为直线l的方程为kx－y－k＋1＝0， 即y－1＝k(x－1)， 所以直线l过定点C(1,1)， 根据A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l与线段AB相交，可作出图象，如图所示． 因为kCA＝＝－4，kCB＝＝， 所以直线l的斜率k的取值范围为 k≥或k≤－4. 6．若点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外的一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．过点P且与l平行的直线 B．过点P且与l垂直的直线 C．不过点P且与l平行的直线 D．不过点P且与l垂直的直线 答案　C 解析　∵点P(x0，y0)不在直线l：Ax＋By＋C＝0上， ∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不过点P，易知直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行． 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．已知直线l：x－ay＋1＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．直线l过定点(－1,0) B．直线l一定不与坐标轴垂直 C．直线l与直线l′：－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行 D．直线l与直线l′：ax＋y＋m＝0(m∈R)一定垂直 答案　AD 解析　对于A，l：x－ay＋1＝0(a∈R)整理为ay＝x＋1，恒过定点(－1,0)，故A正确；当a＝0时，直线l与x轴垂直，故B错误；当m＝－1时，两直线重合，故C错误；因为1×a＋1×(－a)＝0，故直线l与直线l′一定垂直，故D正确． 8．下列说法正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C．过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) D．直线的斜率越大，倾斜角越大 答案　AC 解析　对于A，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，选项A正确； 对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误； 对于C，由点斜式知，过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式为y＋1＝－(x－2)，所以选项C正确； 对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在内，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0，π)内，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项D错误． 9．△ABC的三个顶点坐标为A(4,0)，B(0,3)，C(6,7)，下列说法中正确的是(　　) A．边BC与直线3x－2y＋1＝0平行 B．边BC上的高所在的直线的方程为3x＋2y－12＝0 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0 D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3,5) 答案　BD 解析　直线BC的斜率为＝， 而直线3x－2y＋1＝0的斜率为， 两直线不平行，A错误； BC边上的高所在直线的斜率为－， 直线方程为y＝－(x－4)， 即3x＋2y－12＝0，B正确； 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x＋y－13＝0， 过原点时方程为y＝x，即7x－6y＝0，C错误； 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为(3,5)，D正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知直线l的倾斜角为150°，则直线l的一个方向向量的坐标为______________． 答案　(答案不唯一) 解析　由直线l的倾斜角为150°，得直线l的斜率k＝tan 150°＝－，所以直线l的一个方向向量的坐标为(答案不唯一)． 11．经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰三角形的直线方程为________________． 答案　x＋y－3＝0或x－y－1＝0 解析　经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰三角形的直线的斜率为±1，故所求直线的方程是y－1＝±(x－2)，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 12．已知直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点分别为A，B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是____________． 答案　[－1,0)∪(0,1] 解析　令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－2b. ∵△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1， ∴△AOB的面积S＝|b|·|－2b|＝b2≤1. ∵当b＝0时，A，O，B三点重合，构不成三角形， ∴b≠0，∴－1≤b<0或0<b≤1. 四、解答题(共37分) 13.(12分)如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求： (1)直线AB的方程；(4分) (2)AB边上的高所在直线的方程；(4分) (3)AB的中位线所在的直线方程．(4分) 解　(1)由已知得直线AB的斜率kAB＝＝3， ∴直线AB的方程为y＝3x－2， 即3x－y－2＝0. (2)设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2,3)， ∴3＝＋m，解得m＝， 故所求直线方程为y＝－x＋， 即x＋3y－7＝0. (3)AB边的中位线与AB平行且过AC的中点， ∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋， 即6x－2y＋7＝0. 14．(12分)已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形． 解　(1)如图，当∠A＝∠D＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AB∥DC，且AD⊥AB. ∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1. (2)如图，当∠A＝∠B＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC，且AB⊥BC， ∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1. ∴ 解得m＝，n＝－. 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 15．(13分)已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)． (1)求证：无论k取何值，直线l始终经过第一象限；(5分) (2)若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．(8分) (1)证明　因为直线l：kx－y＋1－2k＝0， 即y－1＝k(x－2)， 当x－2＝0，即x＝2时，y＝1， 即直线l过定点(2,1)且在第一象限， 所以无论k取何值，直线l始终经过第一象限． (2)解　方法一　因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，所以k<0， 令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝1－2k， 即A，B(0,1－2k)， 所以S＝|OA|·|OB|＝(1－2k) ＝， 因为k<0，所以－k>0， 则－4k＋≥2＝4， 当且仅当－4k＝，即k＝－时，取等号， 则S＝≥×(4＋4)＝4， 所以S≥4，从而S的最小值为4， 此时直线l的方程为y＝－x＋2， 即x＋2y－4＝0. 方法二　因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，设A(a,0)，B(0，b)， 设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则S＝ab， 又直线l过定点(2,1)，所以＋＝1， 又因为a>0，b>0， 所以1＝＋≥2＝2， 所以ab≥8，所以S≥4，即S的最小值为4， 此时＝，解得a＝4，b＝2， 所以直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $