第一章 2.3 直线与圆的位置关系（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的概念，通过几何法（圆心到直线距离与半径关系）和代数法（方程组判别式）构建判断框架，进而延伸至切线方程求解（过圆上/外点）及弦长计算（几何法、代数法），形成从概念到应用的递进式学习支架。 资料以“海上日出”情境导入，引导学生用数学眼光观察现实中的位置关系，激发探究兴趣。例题设计对比几何法与代数法，培养数学思维中的推理与运算能力，知识梳理表格化呈现关系条件，练习题分层设置。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过例题解析和分层练习巩固知识，弥补方法运用盲点。

2．3　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系． 导语 海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系． 一、直线与圆的位置关系的判断 问题　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解，利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． 知识梳理 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ (A，B不全为0) d<r d＝r d>r 代数法： 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2. 圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． 跟踪训练1　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 答案　A 解析　将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3,0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交． (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(1,2] C．(0,2) D．(1,2) 答案　C 解析　由题意得，圆心到直线的距离d＝>，∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 二、圆的切线问题 知识梳理 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则： (1)CP⊥l； (2)点C到直线l的距离d＝|CP|＝r； (3)切点P在直线l上，也在圆上． 注意点： (1)过圆上一点有且只有一条直线与圆相切； (2)过圆外一点可以作两条直线与圆相切，需考虑斜率不存在的情况． 例2　(1)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________________． 答案　y＝4或3x＋4y－13＝0 解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k， 则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2,3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　C 解析　圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离 d＝＝2. 所以切线长的最小值l＝＝. 反思感悟　求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上(一条切线)． ①过圆上一点的切线有一条． ②先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ③如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外(两条切线)． ①过圆外一点的切线有两条． ②设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．若k值只有一个，则另外一条切线斜率不存在，方程为x＝x0. 跟踪训练2　(1)过圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 答案　B 解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)， 即2x＋y－9＝0. (2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为______________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　根据题意，由圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝5，其圆心为M(－2,0)， 因为直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)， 则点P在直线l上且MP与直线l垂直． kMP＝＝2，则－＝－， 即b＝2a， 由点P在直线l上，则－a＋2b－3＝0，解得a＝1，b＝2，则直线l的方程为x＋2y－3＝0. 三、圆的弦长问题 知识梳理 求直线与圆相交时弦长的两种方法： 图① (1)几何法：如图①所示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2， 即|AB|＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图② 则|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 注意点： (1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，最短弦与最长弦所在的直线垂直． (2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，没有最短弦长． (3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况． 例3　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 解　方法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M， 则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 ＝2＝2. 反思感悟　(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程时，应注意斜率不存在的情况． 跟踪训练3　已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直． (1)求直线l的方程； (2)若圆C的圆心为点(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程． 解　(1)由已知得解得 ∴两直线交点为(2,1)． 设直线l的斜率为kl， ∵直线l与直线x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1， ∵直线l过点(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝x－2， 即x－y－1＝0. (2)设圆C的半径为r，依题意，得 圆心C(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝，则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4， ∴r＝2，∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 1．知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系． (2)圆的切线方程． (3)弦长公式． 2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法． 3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况． 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案　B 解析　∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1， ∴直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0,0)不在直线y＝x＋1上，∴直线不过圆心． 2．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A．－2 B．－12 C．2 D．12 答案　CD 解析　圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，解得b＝2或b＝12. 3．若直线y＝kx＋与圆x2＋y2＝1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是________． 答案　∪ 解析　圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1， 因为直线y＝kx＋与圆x2＋y2＝1没有公共点， 所以＝>1， 化简得k2<1，解得－1<k<1， 所以－1<tan α<1， 因为α∈[0，π)， 所以0≤α<或<α<π， 所以直线倾斜角α的取值范围为∪. 4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________． 答案　2 解析　由题意得，直线方程为y＝x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2＝2. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 答案　D 解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，因为0<d<r，所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心． 2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案　B 解析　∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2＞1. ∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r， 则直线与圆O的位置关系是相交． 3．已知圆O：x2＋y2＝4，过M(1，)作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　D 解析　因为M(1，)在圆O上，则切线只有一条， 圆心为(0,0)，所以kOM＝， 所以过M的切线l的斜率为－＝－， 设切线的倾斜角为θ，则tan θ＝－， 由于θ∈[0，π)，故θ＝，即θ＝150°. 4．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D. 答案　AB 解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离d＝＝. 又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 5．已知圆O：x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　) A．y－2＝0 B．x＋2y－5＝0 C．2x－y＝0 D．x－1＝0 答案　B 解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直．已知圆心O(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2， 故所求直线的斜率为－， 所以所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 6．一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 答案　C 解析　点(－2,3)关于x轴的对称点的坐标为(－2，－3)， 圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1. 设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为y＝k(x＋2)－3， 即kx－y＋2k－3＝0， 所以圆心(3,2)到切线的距离d＝＝r＝1， 解得k＝或k＝. 7．(5分)直线l与圆P：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________． 答案　x－y＋5＝0 解析　由圆的方程可得，圆心P(－1,2)， 所以kPC＝＝－1， 故直线l的斜率k＝1， 所以直线l的方程为y－3＝x＋2， 即x－y＋5＝0. 8．(5分)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有________个． 答案　3 解析　圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为＝＝.因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l在圆心同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为，故这样的点共有3个． 9．(10分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(6分) (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．(4分) 解　(1)圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝－(x－4)，即x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10．(11分)已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程；(5分) (2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．(6分) 解　(1)由题意，设圆心坐标为C(a,0)(a>0)， 由题意，得＝， 解得a＝－6(舍)或a＝2， 所以圆C的半径r＝＝， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2. (2)若斜率不存在，则直线l的方程为x＝1， 弦心距d＝1，半径为， 则|AB|＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0， 弦心距d＝，由|AB|＝2＝2， 解得k＝－，直线l的方程为y＝－x＋，即4x＋3y－13＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0. 11．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2 C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1 答案　D 解析　已知直线mx＋y＋1＝0， 令x＝0，则y＝－1， 则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)． 由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积， 则点(0，－1)是圆C的圆心， 又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， 则圆C的半径r＝＝. 因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2， 即x2＋y2＋2y＝1. 12．(多选)已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2(r>0)内一点，直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则(　　) A．l∥g B．l⊥g C．l与圆相交 D．l与圆相离 答案　AD 解析　∵点M在圆内， ∴a2＋b2<r2. ∵圆心(0,0)到直线l的距离d＝>r， ∴直线l与圆相离． 又直线g的方程为y－b＝－(x－a)， 即ax＋by－a2－b2＝0， ∴l∥g. 13．(5分)台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h. 答案　1 解析　如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B(40,0)到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得|MN|＝2×＝20， 所以城市B处于危险区的时间为1 h. 14．(5分)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________． 答案　10 解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直， 设点F为其圆心，坐标为(1,3)， 故|EF|＝， 所以|BD|＝2＝2， 则S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10. 15．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　) A．|b|＝ B．－1＜b≤1或b＝－ C．－1≤b＜1 D．非以上答案 答案　B 解析　曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分． 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(即x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示．当直线与圆相切时，b＝－，其他位置符合条件时需满足－1＜b≤1. 16．(12分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程；(5分) (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．(7分) (1)解　设圆心C(a,0)(a>0)， 则圆心C到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去)． ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)证明　∵P是直线x＋y＋4＝0上的动点， 设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆． 设圆上任一点Q(x，y)， 则·＝0， ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 令 解得或 ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0)． 学科网（北京）股份有限公司 $