第一章 2.2 圆的一般方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开切入，通过问题链引导学生探究一般方程表示圆的条件，系统梳理方程形式、圆心半径公式及待定系数法求方程的脉络，辅以例题与跟踪训练搭建学习支架。 资料以问题驱动培养数学眼光，如通过三个具体方程配方判断图形，引导学生抽象方程与图形关系；以推理转化发展数学思维，如例3证明圆心共线及过定点问题，强化逻辑推理；以方程与几何结合提升数学语言表达，如结合圆心位置、相切条件列方程。课中助力教师引导探究，课后练习题覆盖基础与综合，帮助学生查漏补缺。

2．2　圆的一般方程 [学习目标]　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心坐标和半径.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． 一、圆的一般方程的理解 问题1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形． 问题2　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． 问题3　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 知识梳理 1．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 跟踪训练1　(1)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是__________． 答案　 解析　由题意得(－1)2＋12－4m>0，解得m＜. 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0， 即m＞0.所以0＜m＜. (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，解得k＝4， ∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为×＝3， ∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组，解出系数，得到方程． 跟踪训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆C的一般方程． 解　由题意知圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－<0，即D>0，则 故圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 三、圆的一般方程的综合问题 例3　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1. (1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线C过定点； (3)若曲线C与x轴相切，求k的值． (1)证明　原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0. 故方程表示圆心为(－k，－2k－5)， 半径为|k＋1|的圆． 设圆心为(x，y)，有 消去k，得2x－y－5＝0. ∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上． (2)证明　将原方程变形为 k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0. 上式关于参数k是恒等式， ∴解得 ∴曲线C过定点(1，－3)． (3)解　∵圆C与x轴相切， ∴圆心到x轴的距离等于半径， 即|－2k－5|＝|k＋1|. 两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2. 化简得，k2－10k－20＝0， ∴k＝5±3. 反思感悟　解与圆有关的含有参数的二元二次方程时，可将其化为圆的标准方程，确定参数的取值范围，并可求得有关的最值． 跟踪训练3　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)求圆的圆心和半径； (3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程． 解　(1)由圆的一般方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0得， [－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0， 即－7t2＋6t＋1>0，解得－<t<1. (2)圆心为， 即圆心为(t＋3,4t2－1)，半径为. (3)r＝＝， 所以当t＝时，rmax＝， 故此时圆的标准方程为2＋2＝. 1．知识清单： (1)圆的一般方程的理解． (2)求圆的一般方程． (3)圆的一般方程的综合问题． 2．方法归纳：待定系数法、几何法． 3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件． 1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0， 所以m>－. 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，则D，E分别为(　　) A．4，－6 B．－4，－6 C．－4,6 D．4,6 答案　A 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)， ∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 3．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A．关于点(2,0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 答案　ABC 解析　x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，即圆心坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，故B，C正确，D错误． 4．已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的一般方程为________________． 答案　x2＋y2－6x－2y＋6＝0 解析　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 ∴圆C的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　) A．－2 B．0 C．1 D. 答案　ABD 解析　根据题意，若方程表示圆， 则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1， 结合选项可知a的值可以为－2,0，. 2．已知圆x2＋y2＋2ax＋9＝0的圆心坐标为(5,0)，则圆的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 答案　D 解析　圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0， 即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 由圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5， 故圆的半径为＝＝4. 3．若点P(1,1)在圆x2＋y2＋2x－y＋k＝0的内部，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B. C. D. 答案　A 解析　因为点P(1,1)在圆x2＋y2＋2x－y＋k＝0的内部，所以需满足 解得k<－3. 4．(多选)下列结论正确的是(　　) A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆 D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 答案　ABD 解析　A，B，D显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)． 5．若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　因为圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心坐标为， 由圆心在第二象限可得a>0，b>0， 所以直线x＋ay－b＝0的斜率－<0，在y轴上的截距>0， 所以该直线一定不经过第三象限． 6．若圆x2＋y2－2x－2y－k＝0上的点到直线x＋y－10＝0的最大距离为4＋，则实数k的值是(　　) A．－2 B．2 C．－2或2 D．－2或0 答案　B 解析　圆x2＋y2－2x－2y－k＝0化成标准形式为(x－1)2＋(y－1)2＝k＋2，圆心(1,1)，半径r＝，显然k>－2.圆心(1,1)到直线x＋y－10＝0的距离d＝＝＝4， 圆上的点到直线的最大距离为 d＋r＝4＋＝4＋， 即＝， 解得k＝2或k＝－2(舍去)． 7．(5分)若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为________． 答案　(0，－1) 解析　因为圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即＝＝1，解得k＝0，所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，得圆心坐标为(0，－1)． 8．(5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________________． 答案　x2＋y2－4x－5＝0 解析　设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)， 由题意可得＝， 解得a＝2(a＝－2舍去)， 所以圆C的半径为＝3， 所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0. 9．(10分)已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆． (1)求t的取值范围；(5分) (2)求该圆半径r的取值范围．(5分) 解　(1)将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2 ＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆， 所以－t2－4t－3>0，解得－3<t<－1. (2)因为r2＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1， 所以当t＝－2时，r2有最大值，且最大值为1， 所以r∈(0,1]． 10．(11分)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称． (1)求直线l的方程；(4分) (2)求△ABC外接圆的方程．(7分) 解　(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0， ∵直线l经过点B(2,4)， ∴2－4＋c＝0， ∴c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. (2)设C(x0，y0)， 则kAC·kl＝－1， 即＝－1，① 又∵线段AC的中点D在直线l上， 即－＋2＝0，② 由①②可得，x0＝－1，y0＝3， ∴C(－1,3)， 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A(1,1)，B(2,4)，C(－1,3)都在圆上， ∴解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. 11．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　D 解析　由题意得，曲线C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a,2a)，半径为2的圆． ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴解得a>2， ∴a的取值范围是(2，＋∞)． 12．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 答案　C 解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5， ∴圆心C(2，－1)，半径r＝. 设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为 C′(x0，y0)， 则 解得故C′(－2,3)， ∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为 (x＋2)2＋(y－3)2＝5. 13．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准形式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时，圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 14．(5分)已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________． 答案　－2 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 得解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0，设两根分别为y1，y2， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0，设两根分别为x1，x2， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)， 连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q， 由于P与P′关于x轴对称， 所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|， 所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|. 故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9. 16．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0)．若动点C满足|AC|＝|BC|，求△ABC面积的最大值． 解　设点C(x，y)，∵|AC|＝|BC|， ∴＝·， 即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2， 化简整理得(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0. ∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上的点外的任意一点，∴S＝|AB|·|yC|＝|yC|≤2， ∴△ABC面积的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $