第一章 2.1 第2课时 圆的标准方程的综合应用（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦圆的标准方程的综合应用这一核心知识点，前承圆的标准方程基本概念，通过待定系数法、几何法两大方法系统展开求方程的思路，同时融入圆的范围、对称性等几何性质的应用。设置例题、延伸探究与跟踪训练，构建从基础求解到综合应用的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 资料以问题链驱动学习，如例2设置条件选择情境，引导学生用数学眼光观察几何关系，通过弦的垂直平分线等性质培养逻辑推理能力。分层训练设计兼顾不同水平学生，课中助力教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固运算能力与几何直观，有效查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

第2课时　圆的标准方程的综合应用 [学习目标]　1.掌握利用待定系数法、几何法求圆的标准方程.2.掌握圆的一些简单的几何性质． 一、待定系数法求圆的标准方程 例1　已知圆P过点A(1,0)，B(4,0)．若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程． 解　设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 解得 故圆P的标准方程为2＋2＝. 延伸探究　本例中“圆P过点C(6，－2)”改为“圆心P的纵坐标为2”，求圆P的标准方程． 解　由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为＝，故圆心P， 故圆P的半径r＝＝， 故圆P的标准方程为2＋(y－2)2＝. 反思感悟　根据条件设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可． 跟踪训练1　在平面直角坐标系中，经过(0,0)，(－2，0)，(0，－4)三点的圆的标准方程为________________，其半径为________． 答案　(x＋1)2＋(y＋2)2＝5　 解析　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，代入各点坐标可得 解得 故圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5，半径为. 二、几何法求圆的标准方程 例2　在①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求出圆的标准方程；若问题中的圆不存在，请说明理由． 问题：是否存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？ 解　因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上， 所以圆心在直线AB的垂直平分线上， 又直线AB的方程为y＝－1， 所以直线AB的垂直平分线所在直线的方程为x＝＝－， 则可设圆心坐标为，圆的半径为r， 若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上． 由 解得 即直线l1和l2的交点为， 则圆Q过点， 所以r2＝2＋2＝2＋(b＋1)2， 解得b＝－1，则r2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为2＋(y＋1)2＝. 若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上． 由圆心在直线2x－y＝0上， 可得2×－b＝0，则b＝－1， 所以r2＝2＋(－1＋1)2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为2＋(y＋1)2＝. 反思感悟　求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，可以根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径： (1)圆心在弦的垂直平分线上； (2)过圆心的直线平分圆； (3)圆与x轴相切时，r＝|b|，圆与y轴相切时， r＝|a|. 跟踪训练2　过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案　C 解析　方法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有 解得 即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 方法二　因为kAB＝＝－1，线段AB的中点坐标为(0,0)． 所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x. 由解得 所以圆心坐标为(1,1)，半径为2， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 三、圆的简单几何性质 问题1　对于圆x2＋y2＝2，该圆上任意一点P(x，y)的x与y的取值范围是怎样的？ 提示　|x|≤ ，|y|≤ . 问题2　对于圆x2＋y2＝2上的任意一点P(x，y)，关于原点的对称点(－x，－y)，关于x轴的对称点(x，－y)，关于y轴的对称点(－x，y)是否在该圆上？ 提示　在圆上． 知识梳理 圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 (1)范围：|x|≤r，|y|≤r. (2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形． 例3　(1)若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于(　　) A．3 B．2 C．5 D．1 答案　A 解析　由题意可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3. (2)已知圆C：x2＋(y－1)2＝2，圆上任意一点P(x，y)，点F(2,0)，O为坐标原点，求·的取值范围． 解　·＝(x，y)·(2,0)＝2x， 由圆C：x2＋(y－1)2＝2的几何性质知－≤x≤，∴2x∈[－2，2]． 则·的取值范围是[－2，2]． 反思感悟　(1)对于圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的范围是|x－a|≤r，|y－b|≤r. (2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的对称轴经过圆心(a，b)． 跟踪训练3　若圆(x－1)2＋(y－1)2＝3关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案　B 解析　∵圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)， 即1＝k＋3，∴k＝－2. 1．知识清单： (1)圆的标准方程． (2)圆的简单几何性质． 2．方法归纳：几何法、待定系数法． 3．常见误区：不能正确应用圆的几何性质而致误． 1．已知圆C过点(2,1)且与x轴相切于点A(1,0)，则圆C的半径为(　　) A．2 B．1 C．4 D. 答案　B 解析　设圆心C(a，b)，半径为r，根据题意可得|b|＝r，所以(x－a)2＋(y－b)2＝b2，所以解得所以r＝1. 2．过点A(0,0)，B(2,2)且圆心在直线y＝2x－4上的圆C的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝4 B．(x＋2)2＋y2＝4 C．(x－4)2＋(y－4)2＝8 D．(x＋4)2＋(y－4)2＝8 答案　A 解析　设圆心为C(a,2a－4)，由|AC|＝|BC|可得 ＝， 解得a＝2，所以圆心C(2,0)，圆的半径r＝|AC|＝2，因此，所求圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4. 3．已知直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，则直线l的方程是__________． 答案　x－y＋3＝0 解析　因为直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，所以直线l过圆心(0,3)，斜率为1，即直线l的方程是x－y＋3＝0. 4．过三点A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圆的标准方程为____________． 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝25 解析　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以 解得 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．圆心在y轴上，半径长为，且过点(1，－2)的圆的标准方程为(　　) A．x2＋(y＋1)2＝2 B．x2＋(y－3)2＝2 C．x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2 D．x2＋(y－1)2＝2或x2＋(y－3)2＝2 答案　C 解析　设圆心为(0，a)，则圆的标准方程为x2＋(y－a)2＝2，将点(1，－2)代入圆的标准方程得12＋(－2－a)2＝2，解得a＝－1或a＝－3，所以圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2. 2．方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个点 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 答案　D 解析　(x－1)＝0可转化为x－1＝0或x2＋y2＝3， 因此表示一条直线和一个圆． 3．若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于(　　) A．9 B．－9 C．1 D．－1 答案　B 解析　因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9. 4．(多选)圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0对称的点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A．x2＋y2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5 C．x2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 答案　AD 解析　由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为(a，－a)，则(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1，所以所求的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 5．已知三点A(2,0)，B(1，)，C(3，)，则△ABC的外接圆的圆心到原点O的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵△ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上，即直线x＝2上， 可设圆心P(2，p)， 由|PA|＝|PB|得|p|＝， 解得p＝， ∴圆心坐标为P， ∴圆心到原点的距离|OP|＝＝. 6．已知圆C过点(0,1)，(－2,3)且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为(　　) A．(x＋3)2＋y2＝10 B．(x－3)2＋y2＝10 C．(x＋4)2＋y2＝10 D．(x－4)2＋y2＝10 答案　A 解析　设圆C的圆心C(m,0)，m<0，半径为r， 则 解得 所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋y2＝10. 7．(5分)已知点A(1,6)，B(－5,2)，C(1，k)，若点C在以AB为直径的圆外，则k的取值范围是____________． 答案　(－∞，2)∪(6，＋∞) 解析　因为点A(1,6)，B(－5,2)，则以AB为直径的圆的圆心坐标为(－2,4)， 半径r＝＝， 所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝13， 因为点C(1，k)在以AB为直径的圆外， 所以(1＋2)2＋(k－4)2>13， 解得k>6或k<2. 故k的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)． 8．(5分)已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________． 答案　－4 解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点， ∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5. ∵y∈[－1,1]， ∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4，即x2－4y的最小值为－4. 9．(10分)已知A(0,1)，B(2,1)，C(－1,2)，这三点能否确定一个圆？若能，判断点D(3,4)与该圆的位置关系． 解　由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆． 设经过A，B，C三点的圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则 解得 所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5，把点D(3,4)代入圆的标准方程，得左边＝(3－1)2＋(4－3)2＝5＝右边， 所以点D在经过A，B，C三点的圆上． 10．(11分)已知圆C经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上． (1)求圆C的标准方程；(6分) (2)设点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积．(5分) 解　(1)依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点． ∵AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1， ∴AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3. 由 得即圆心C(－3,6)． ∴半径r＝＝2. 故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40. (2)∵点Q(－1，m)(m>0)在圆C上， ∴m＝12或m＝0(舍去)，∴Q(－1,12)， 则|AQ|＝12，直线AQ的方程为x＝－1， 点B到直线AQ的距离为4， ∴△QAB的面积S＝×|AQ|×4＝×12×4＝24. 11．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3,0) C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π 答案　ABD 解析　圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4， 化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程2k2－6k＋5＝0无实数根， 故点(3,0)不在圆Ck上，B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4， 化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8>0， ∴方程k2－4k＋2＝0有两个不等实根， ∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确． 12．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．8 D．9 答案　D 解析　根据题意，得A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，故A中共有9个元素． 13．(5分)圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值和最小值分别为__________． 答案　7,3 解析　∵32＋42＝25＞4，∴点A(3,4)在圆外，已知圆的半径r＝2，|OA|＝＝5，故圆上的点到点A的最大距离为|OA|＋r＝7，最小距离为|OA|－r＝3. 14．(5分)过点P(2，－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB，使点P平分AB，则弦AB所在的直线方程是________________． 答案　2x－3y－13＝0 解析　设圆x2＋y2＝20的圆心为O，则O(0,0)． 由P是AB的中点，知AB⊥OP. 因为22＋(－3)2＝13<20， 所以点P在圆O内，且kOP＝＝－， 所以弦AB所在直线的斜率kAB＝－＝， 则弦AB所在直线的方程是y＋3＝(x－2)， 即2x－3y－13＝0. 15．对于圆x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则m的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞) 答案　B 解析　设x＝cos α，y＝sin α， 则x＋y＋m＝cos α＋sin α＋m≥0恒成立， －m≤cos α＋sin α＝sin， ∵sin∈[－，]，∴－m≤－， 则m≥. 16.(12分)如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙高EA，FD为2 m，总高MN为5 m．以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系． (1)求圆弧所在的圆的标准方程；(6分) (2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？(6分) 解　(1)由题意，知E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)． ∵所求圆的圆心在y轴上， ∴设圆的标准方程为 (x－0)2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)， ∵F(3，0)，M(0,3)都在圆上， ∴解得 ∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36. (2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(图略)， 则|CP|＝h＋0.5. 将点P的横坐标x＝代入圆的标准方程， 得()2＋(y＋3)2＝36， 得y＝2或y＝－8(舍去)． ∴h＝|CP|－0.5＝2＋2－0.5＝3.5(m)． 故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m. 学科网（北京）股份有限公司 $