第一章 2.1 第1课时 圆的标准方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从北京雁栖湖会展中心建筑、《两小儿辩日》等现实与文化情境引入，通过问题链梳理圆的定义、要素及标准方程推导，构建点与圆位置关系判断、方程求解的知识体系，辅以知识梳理、例题解析和跟踪训练作为学习支架。 资料以“数学眼光”观察现实，用建筑、诗句实例激发兴趣，推导过程逻辑严谨培养“数学思维”，例题练习层次分明助力“数学语言”表达。课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

2．1　圆的标准方程 第1课时　圆的标准方程 [学习目标]　1.掌握圆的定义及圆的标准方程.2.能准确判断点与圆的位置关系.3.会求解简单的圆的标准方程的问题． 导语 北京雁栖湖国际会展中心的建筑主体是圆形大楼，建筑造型外观似天坛无盖，寓意天圆地方．《两小儿辩日》中，一儿曰：“日初出大如车盖，及日中则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”李白在《古朗月行》中写道：“小时不识月，呼作白玉盘．又疑瑶台镜，飞在青云端．”这些例子都给了我们圆的形象，今天我们就在坐标系中一起去认识圆吧！ 北京怀柔雁栖湖国际会展中心 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 确定圆的要素：圆心和半径． 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 问题2　已知圆心为C(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示　设圆上任意一点P(x，y)， 则|PC|＝r， 由两点间的距离公式， 得＝r， 化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 知识梳理 1．圆的标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，当建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点的坐标都满足圆的标准方程，满足圆的标准方程的点都在圆上． 例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为b C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2,2)，半径为 答案　ABD 解析　圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，半径为，A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为|b|，B错误；C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，D错误． (2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称 答案　D 解析　由题意得圆心坐标为(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称． 反思感悟　通过圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)确定其圆心为(a，b)，半径为r. 注意：所给方程与圆的标准形式一致，r>0. 跟踪训练1　下列方程分别表示什么图形？ (1)(x－1)2＋(y－1)2＝0； (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2. 解　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的是到点(1,1)的距离的平方等于0的点的集合，显然只有(1,1)这一点，即(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的图形是一个点，这个点的坐标是(1,1)． (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，该方程表示圆心为(－2,3)，半径为4的圆． 二、点与圆的位置关系 问题3　点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件是什么？ 提示　当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 知识梳理 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 例2　(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 答案　A 解析　由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内． (2)若点P(2,1)在圆C：2＋(y－1)2＝1上，则实数a＝________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为____________________． 答案　－2或－6　(－∞，－6)∪(－2，＋∞) 解析　当点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1， 解得a<－6或a>－2. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断． 跟踪训练2　已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_______． 答案　[0,1) 解析　由题意知 即解得0≤a<1. 三、求圆的标准方程 例3　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________． 答案　(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1,2)为圆心， |AB|＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 跟踪训练3　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 1．知识清单： (1)圆的标准方程． (2)点与圆的位置关系． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：结合图形求圆的标准方程出现漏解情况． 1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为(　　) A．(－1,5)， B．(1，－5)， C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3 答案　B 解析　由圆的标准方程可知，此圆圆心为(1，－5)，半径为. 2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16 答案　C 解析　以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 答案　B 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案　A 解析　方法一　(直接法) 设圆的圆心为(0，b)，则＝1， 解得b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 方法二　(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1且圆心在y轴上，易知圆心为(0,2)， 故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 答案　C 解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)． 2．已知O为原点，点A(2，－2)，以OA为直径的圆的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝8 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝8 答案　A 解析　由题意知圆心为(1，－1)，半径r＝|OA|＝，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3．若直线x＋y＋a＝0过圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的圆心，则实数a的值为(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 答案　B 解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝2，可得圆心坐标为(1，－2)，因为直线x＋y＋a＝0过圆心(1，－2)，所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 4．已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 答案　B 解析　由圆的标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0<a<1)，知圆心为(a,1)，半径r＝， 则原点与圆心的距离为. ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外． 5．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝5 答案　D 解析　由圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5， 得圆心为(2，－1)，半径r＝， 圆心(2，－1)关于原点的对称点为(－2,1)， ∴圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5. 6．(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M的圆心为(－4,3) C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的线段长为6 答案　ACD 解析　由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 得圆心为(4，－3)，半径为5，故A，C正确； 令x＝0，得y＝0或y＝－6，所以圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确． 7．(5分)方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是________________． 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　由m2－m－2>0， 得m>2或m<－1. 8．(5分)与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为________________． 答案　(x－1)2＋y2＝18 解析　圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r， 则＝，所以r2＝18， 又两圆同圆心，且C(1,0) 则所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝18. 9．(10分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；(4分) (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．(6分) 解　(1)∵点M(6,9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0，∴a＝. (2)由已知，得圆心N(5,6)． ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，)． 10．(11分)已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解　如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4. 在Rt△AOC中， |OC|＝ ＝＝3. 设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3， ∴a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或 (x－3)2＋y2＝25. 11．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 答案　AD 解析　令x＝0，则y＝4； 令y＝0，则x＝2. 所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)，则|AB|＝＝2.以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20；以B为圆心，过A点的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20. 12．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 答案　B 解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， 则解得即P(－1,1)． ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC|＝＝5， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 13．(5分)圆A：(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________． 答案　(x－4)2＋y2＝1 解析　设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)， 则解得 故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1. 14．(5分)已知圆C(C为圆心，且C在第一象限)经过A(0,0)，B(2,0)两点，且△ABC为直角三角形，则圆C的标准方程为____________________． 答案　(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析　依题意，圆C经过点A(0,0)，B(2,0)，可设C(1，m)且m>0，半径为r， 则解得 ∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 15．已知半径为1的圆C经过点M(3,4)，则圆心C到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　设圆心C(x，y)， 则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5， 所以|OC|≥5－1＝4， 当且仅当C在线段OM上时取等号． 16．(12分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24. (1)求直线l的方程；(6分) (2)求△OAB的内切圆的标准方程．(6分) 解　(1)设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)． 当y＝0时，x＝－； 当x＝0时，y＝－. ∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24， ∴··＝24， 解得m＝±24， ∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0. (2)∵直线l的方程为＋＝±1， △OAB的直角边长分别为6和8，斜边长为10， ∴△OAB的内切圆半径r＝＝2，圆心为(2,2)或(－2，－2)， ∴△OAB的内切圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4或(x＋2)2＋(y＋2)2＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $