第一章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦点到直线的距离公式这一核心知识点，从仓库到铁路距离的实际问题切入，通过向量法和坐标法两种路径推导公式，系统梳理公式在特殊直线（如平行于坐标轴）、三角形高、平行四边形面积等场景的应用，构建“问题引入-公式推导-应用拓展”的学习支架。 资料以情境化问题培养数学眼光，双法推导发展逻辑推理素养，例题分层设计（如分斜率存在与否讨论）强化数学运算能力。课中助力教师突破公式推导难点，课后练习题覆盖基础与综合应用，帮助学生巩固知识并查漏补缺。

第2课时　点到直线的距离公式 [学习目标]　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用． 导语 在铁路的附近，有一大型存放救灾物资的仓库，现要修建一条公路与之连接起来，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P, 怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 一、点到直线的距离公式 问题　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，如何求出点P到直线l的距离d呢？ 提示　方法一　设M(x1，y1)是直线l上任意一点，我们可以把线段PN的长理解成向量在直线l的法向量n＝(A，B)方向上的投影向量的长度． 所以d＝＝＝. ① 因为点M(x1，y1)在直线l：Ax＋By＋C＝0上， 所以Ax1＋By1＋C＝0，A(x1－x0)＋B(y1－y0)＝Ax1＋By1－(Ax0＋By0)＝－C－Ax0－By0. ② 将②代入①，我们就得到了点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(其中A，B不全为0)． 方法二　设过点P且垂直于直线l的直线为l1，易求直线l1的方程，并与l联立方程组即得交点N，故而求得d. 知识梳理 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，其中A，B不全为零． 注意点 (1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离． (2)公式中的点P是任意一点，当点P是原点时，d＝；当点P在直线上时，点P到直线的距离为0，距离公式仍然成立． (3)点到直线的距离是该点与直线上任意一点之间的距离中的最小值． 例1　求点P0(－1,2)到下列直线的距离； (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 解　(1)由点到直线的距离公式知 d＝＝＝2. (2)方法一　直线方程化为一般式为x－2＝0. 由点到直线的距离公式知d＝＝3. 方法二　因为直线x＝2与y轴平行， 所以由图①知d＝|－1－2|＝3. (3)方法一　由点到直线的距离公式得d＝＝1. 方法二　因为直线y－1＝0与x轴平行， 所以由图②知d＝|2－1|＝1. 反思感悟　(1)直线要化为一般式，再用公式； (2)当直线垂直于坐标轴，数形结合求解更方便． 跟踪训练1　已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)，B(－4,3)，C(2，－3)，则点A到BC边的距离为__________________． 答案　 解析　由直线方程的两点式， 得BC的方程为＝， 即x＋y＋1＝0， ∴点A到BC边的距离d＝＝. 二、点到直线的距离公式的简单应用 例2　已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于________． 答案　－6或 解析　依题意得＝， ∴|3m＋5|＝|m－7|， ∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m， ∴m＝－6或m＝. 反思感悟　若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． 跟踪训练2　(多选)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　AD 解析　由题意得＝＝1， 解得a＝或a＝－. 三、点到直线的距离公式的综合应用 例3　已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程． 解　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0， 由点到直线的距离公式得＝2， 解得k＝， 所以直线l的方程为3x－4y－10＝0. 故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. 延伸探究　求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 解　设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线． 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 所以kl＝－＝2， 所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0， 即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，最大距离为＝. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 跟踪训练3　已知平行四边形ABCD，A(1,2)，B(2,4)，C，求： (1)点D的坐标及点A到直线CD的距离； (2)平行四边形ABCD的面积． 解　(1)设点D(x0，y0)，则线段BD的中点坐标为， 依题意，得线段AC的中点坐标为， 由平行四边形的性质知 解得 所以D. 直线CD的斜率k＝＝2， 直线CD的方程为y－5＝2， 即2x－y＋4＝0， 所以点A(1,2)到直线CD的距离d＝＝. (2)由(1)知，线段CD的长|CD|＝＝， 所以平行四边形ABCD的面积S＝|CD|·d＝×＝4. 1．知识清单： (1)点到直线的距离公式的推导过程． (2)点到直线的距离公式d＝(其中A，B不全为0)． (3)点到直线的距离公式的应用． 2．方法归纳：公式法、数形结合法． 3．常见误区：设直线方程时忽略斜率是否存在． 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A．0 B. C．3 D．2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 解得m＝0或. 3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝. 4．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可以为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式可得 ＝， 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， 解得a＝－或a＝－. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3 B. C．1 D. 答案　B 解析　方法一　点P(1，－1)到直线l的距离 d＝＝. 方法二　如图所示，则d＝－(－1)＝. 2．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得d＝＝. 3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B.－1 C.＋1 D．2－ 答案　B 解析　由点到直线的距离公式，得1＝， 即|a＋1|＝. 因为a>0，所以a＝－1，故选B. 4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是(　　) A. B. C．2 D. 答案　C 解析　|OP|最小即OP⊥l， 所以|OP|min＝＝2. 5．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　) A．4x＋3y－3＝0 B．4x＋3y＋17＝0 C．4x－3y－3＝0 D．4x－3y＋17＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 6．(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 答案　BC 解析　对于A，d1＝＝3>4； 对于B，d2＝2<4； 对于C，d3＝＝4； 对于D，d4＝＝>4， 所以符合条件的是B，C选项． 7．(5分)倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________________________． 答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0 解析　因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b， 化为一般式得x－y＋b＝0. 由直线与原点的距离为5， 得＝5，即|b|＝10. 所以b＝±10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 8．(5分)经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 答案　2 解析　设所求直线的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3， 即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 9．(10分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1,3)，B(－3，0)，C(1,2)，求△ABC的面积S. 解　由直线方程的两点式得直线BC的方程为 ＝，即x－2y＋3＝0. 由两点间的距离公式得 |BC|＝＝2， 点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高， 则d＝＝. 所以S＝|BC|·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. 10．(10分)已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程． 解　当直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx， 即kx－y＝0，由已知得＝， 整理得7k2－6k－1＝0， 解得k＝－或k＝1， 所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x＋y＝a， 由题意得＝，整理得|a－4|＝2， 解得a＝6或a＝2， 所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1,2) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(4，－3) 答案　AC 解析　设点P的坐标为(a,5－3a)， 由题意得＝， 解得a＝1或2， 所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)． 12．当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　) A．3，－3 B．5,2 C．5,1 D．7,1 答案　C 解析　直线l恒过点A(－3,3)， 根据已知条件可知，当直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1. 13．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.设点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，(　　) A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l可能重合 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交 答案　BD 解析　设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则d1＝，d2＝， 若d1－d2＝0，则d1＝d2， 即＝， 所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C， 若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0， 则点P1，P2都在直线l上， 此时直线P1P2与直线l重合， 故选项A，C错误，选项B正确； 当d1d2<0时，P1，P2在直线l的两侧， 则直线P1P2与直线l相交，故选项D正确． 14．(5分)已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________． 答案　(－12,0)或(8,0) 解析　设P(a,0)，则有＝6， 解得a＝－12或8， 所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0)． 15．(5分)已知x＋y－3＝0，则的最小值为________． 答案　 解析　设P(x，y)，A(2，－1)， 则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝|PA|. |PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝. 16．(11分)已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；(5分) (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．(6分) 解　(1)当a＝0时，直线m：－x＋3y＋6＝0， 联立解得 即m与n的交点为(－21，－9)． 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n. 学科网（北京）股份有限公司 $