课时分层评价8 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价8　点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知点P是x轴上的点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　) A.(－6，0) B.(－12，0) C.(－12，0)或(8，0) D.(－6，0)或(8，0) 答案：C 解析：设P(x0，0).由点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，得＝6，即｜3x0＋6｜＝30，解得x0＝8或x0＝－12.所以点P的坐标为(－12，0)或(8，0).故选C. 2.已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A. B.1 C.2 D.4 答案：B 解析：由两条直线平行可得＝，解得m＝24，10x＋my＋20＝0即5x＋12y＋10＝0.由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.故选B. 3.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与直线6x＋8y＋1＝0上任意一点，则｜PQ｜的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为＝≠－，所以两直线平行.直线方程3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以｜PQ｜的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝＝.故选C. 4.已知点A(0，0)和B(1，1)，点C为直线l：x－y＋2＝0上一点，则△ABC的面积为(　　) A.1 B. C.2 D.4 答案：A 解析：由点A(0，0)和B(1，1)，可得｜AB｜＝，直线AB：x－y＝0，又点C为直线l：x－y＋2＝0上一点，所以AB∥l，所以点C到直线AB的距离为＝，所以△ABC的面积为××＝1.故选A. 5.已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A.－1 B.－3 C.3 D.－3或3 答案：D 解析：由题意得＝，解得a＝－3或3.故选D. 6.(多选题)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.设点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列选项正确的有(　　) A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l可能重合 C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交 答案：BD 解析：设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则d1＝，d2＝，若d1－d2＝0，则d1＝d2，即＝，所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C，若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1，P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，故A，C错误，B正确；当d1d2＜0时，P1，P2在直线l的两侧，则直线P1P2与直线l相交，故D正确.故选BD. 7.分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是　　　　. 答案：5 解析：因为两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝｜3－(－2)｜＝5. 8.已知直线l：kx＋y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，则｜MP｜的最小值是　　　　　　　. 答案： 解析：由kx＋y＋2－k＝0得y＋2＝k(1－x)，所以直线l过定点M(1，－2)，依题意可知｜MP｜的最小值就是点M到直线2x－y＋1＝0的距离，由点到直线的距离公式可得｜MP｜min＝＝. 9.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为　　　　. 答案：2 解析：设所求直线的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以经过两直线交点，且和原点相距为1的直线的条数为2. 10.(13分)(一题多解)已知直线l过点A(2，4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程. 解：法一：因为点M在直线x＋y－3＝0上， 所以设点M坐标为(t，3－t)，由题意可知点M到l1，l2的距离相等， 即＝， 解得t＝，所以M. 又l过点A(2，4)，由两点式得 ＝，即5x－y－6＝0， 故直线l的方程为5x－y－6＝0. 法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得＝， 解得C＝0，即l3：x－y＝0. 由题意得中点M在l3上，且点M在x＋y－3＝0上. 解方程组所以M. 又l过点A(2，4)， 故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 答案：B 解析：法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，所以当k＝1时，dmax＝.故选B. 法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为｜AB｜＝.故选B. 12.(多选题)(新定义)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使｜PM｜＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线是点M的“相关直线”的是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝2 C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0 答案：BC 解析：对于A，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使｜PM｜＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；对于B，点M到直线y＝2的距离d＝｜0－2｜＝2＜4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使｜PM｜＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；对于C，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，所以直线上存在点P，使｜PM｜＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；对于D，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝＞4，故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC. 13.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x＞0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是　　　　. 答案：4 解析：设P，x＞0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4. 14.(15分)如图，射线OA所在直线的方向向量为d1＝(1，k)(k＞0)，点P在∠AOx内，PM⊥OA于点M. (1)若k＝1，P，求｜OM｜的值； (2)若P(2，1)，△OMP的面积是，求k的值. 解：(1)因为P，所以｜OP｜＝.若k＝1，则d1＝(1，1)，所以OA的方程为y＝x，即x－y＝0，则点P到直线OA的距离为＝， 所以｜OM｜＝＝. (2)因为直线OA的方程为kx－y＝0， 所以点P(2，1)到直线OA的距离d＝， 又OP＝， 所以｜OM｜＝， 所以△OMP的面积为××＝，又k＞，解得k＝或k＝2. 15.(5分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则直线l2的方程为　　　　　　. 答案：x＋y－3＝0 解析：设直线l2的方程为y＝－x＋b(b＞1)，由题图知A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD＝，BC＝b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2间的距离，故h＝＝(b＞1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.又b＞1，所以b＝3.所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0. 16.(17分)(创新题)已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y＝2x和l2：y＝－x是一组“O－1共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知l1，l2是一组“O－3共轭线对”，且知直线l1：y＝2x，求直线l2的方程； (2)已知点Q(－1，－)，直线l1，l2是“Q－2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围. 解：(1)由题意得，l1与l2的交点为原点，且k1·k2＝2k2＝－3，解得k2＝－， 所以直线l2的方程为y＝－x. (2)由题意得，k1·k2＝－2(k1，k2≠0)， 设l1：y＋＝k1(x＋1)，l2：y＋＝k2(x＋1)， 点O到l1，l2的距离分别为d1，d2， 则d1·d2＝· ＝·. 因为＋≥4，当k1＝±时等号成立， 所以－∈，·∈， 所以点O到l1，l2的距离之积的取值范围为[0，). 学生用书⬇第28页 学科网（北京）股份有限公司 $