第一章 1.5 两条直线的交点坐标（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦两条直线交点坐标这一核心知识点，系统阐述用解方程组求交点坐标的方法，通过方程组解的个数判定直线相交、平行或重合的位置关系，衔接直线方程知识，为后续距离公式等内容提供代数化研究的学习支架。 资料以问题情境引入，通过一题多解（如例2用三种方法求过交点直线方程）和变式训练，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言表达（模型意识），课中助力教师分层教学，课后知识清单与练习题帮助学生巩固方法，查漏补缺。

1．5　两条直线的交点坐标 [学习目标]　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 导语 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等． 一、求相交直线的交点坐标 问题1　由两条直线的方程l1：2x－y＋3＝0，l2：x－2y＋6＝0，如何判断l1，l2是否相交呢？若相交，如何求出其交点坐标呢？ 提示　＝2，＝，所以l1与l2不平行，又l1与l2不重合，所以直线l1，l2一定相交；由于l1，l2的交点既在直线l1上，又在直线l2上．也就是说，交点坐标既满足方程2x－y＋3＝0，又满足方程x－2y＋6＝0.将这两个方程联立即可求出交点的坐标．解方程组得所以这两条直线的交点坐标为(0,3)． 知识梳理 一般地，对于两条不重合的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标． 例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 反思感悟　求两条直线的交点坐标，只需将两条直线的方程联立，解方程组即可，体现了用代数方法研究几何问题的思想． 跟踪训练1　若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是(　　) A．－6<k<－2 B．－5<k<－3 C．k<－6 D．k>－2 答案　A 解析　解方程组得 ∵直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，∴ 解得－6<k<－2. 二、求过两条直线交点的直线方程 问题2　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4. 知识梳理 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 例2　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 解　方法一　解方程组 得即l1与l2的交点坐标为(－1,2)． 又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－， 则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即5x＋3y－1＝0. 方法二　由于直线l⊥l3， 故直线l满足5x＋3y＋C＝0. 又直线l过直线l1，l2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0， 解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 方法三　由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 其斜率为－＝－，解得λ＝， 则直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 延伸探究　本例变为求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且过原点的直线l′的方程． 解　设所求直线方程为 3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 将(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴所求直线方程为8x＋4y＝0，即2x＋y＝0. 反思感悟　求经过两直线交点的直线方程的两种方法 (1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程； (2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0表示，根据题意求出λ，化简即可． 跟踪训练2　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解　由题意得 解得 ∴两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， ∴所求直线的斜率为－3， 故所求直线的方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 三、与交点有关的证明问题 例3　已知A(1,4)，B(－2，－1)，C(4,1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点． 证明　kAB＝＝，kBC＝＝， 则AB，BC边上的高所在直线的斜率分别为 －，－3， 则AB，BC边上的高所在直线的方程分别为 y－1＝－(x－4)，y－4＝－3(x－1)， 由得 则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为， 又AC边上的高所在的直线方程为y＝x＋1， ∵点满足方程y＝x＋1. 故△ABC的三条高所在的直线交于一点． 反思感悟　证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上． 跟踪训练3　已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2. (1)若l1与l2平行，求m的值； (2)当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上． 解　(1)∵l1与l2平行，则 解得m＝－4. (2)联立 解得x＝，y＝－， ∴点A， ∵x＝＝＝1－＝1＋2y， 即x－2y－1＝0(y≠0)． 因此，点A在直线x－2y－1＝0(y≠0)上． 1．知识清单： (1)两条直线的交点． (2)直线系过定点问题． 2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊． 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 答案　B 解析　解方程组得 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 答案　C 解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令解得 ∴直线l恒过定点(－3,1)． 3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________． 答案　2x＋y－4＝0 解析　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝＝－2，解得λ＝5. ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________. 答案　－ 解析　解方程组得 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　) A．(－4，－3) B．(4,3) C．(－4,3) D．(3,4) 答案　C 解析　由方程组得 2．若直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12 B．10 C．－8 D．－6 答案　B 解析　∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0 答案　C 解析　由 解得 故过点 和原点的直线方程为y＝－x， 即3x＋19y＝0. 4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0,2)，B(2,0)．直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB<k<kPA，即－<k<. 5．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由a＋2b＝1，得a＝1－2b， 则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0， 整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 所以解得 故直线过定点. 6．(多选)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 答案　ABC 解析　三条直线不能围成三角形，有可能三条直线互相平行或有其中两条平行，还可能有共同交点． 若l1和l3平行，则＝，解得a＝1，此时l1，l2，l3重合；若l2和l3平行，则＝，解得a＝1，此时l1，l2，l3重合；若l1和l2平行，则＝，解得a＝±1， 故当a＝1时，l1，l2，l3重合，当a＝－1时，l1∥l2；若三条直线交于一点，则交点为(1，－1－a)，代入l2：x＋ay＋1＝0得1－a(1＋a)＋1＝0， 解得a＝－2或a＝1(舍去)． 综上可得，实数a所有可能的值为－1,1，－2. 7．(5分)过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为______________． 答案　3x＋y＝0 解析　由得 则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)， 即3x＋y＝0. 8．(5分)已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______. 答案　－2 解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线上，所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2. 9．(10分)求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程． 解　由方程组解得 所以交点坐标为. 又因为直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋＝×， 即27x＋54y＋37＝0. 10．(11分)已知直线l1：2x－y＝0，l2：x－2y＋3＝0，且l1，l2的交点为P. (1)求点P的坐标；(4分) (2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程．(7分) 解　(1)由解得 所以点P的坐标为(1,2)． (2)易知直线l与坐标轴不平行， 设直线l：y－2＝k(x－1)，k≠0. 当x＝0时，y＝2－k；当y＝0时，x＝1－， 因此可得 解得k＝－1或k＝－4， 故直线l的方程为y－2＝－(x－1)或 y－2＝－4(x－1)， 即x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0. 11．(5分)已知直线xx＋y＋x＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________． 答案　2x－y＝0 解析　由直线xx＋y＋x＋2＝0， 得x(x＋1)＋y＋2＝0， 令 解得x＝－1，y＝－2， ∴直线xx＋y＋x＋2＝0恒经过定点(－1，－2)， ∴过这一定点和原点的直线方程是＝，即2x－y＝0. 12．(5分)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________． 答案　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝. 由＝， 得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 13．(5分)若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 答案　2 解析　解方程组得 代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2. 14．(5分)已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为____________． 答案　(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率， 即a≥＝1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 15．(多选)已知平面上三条直线分别为x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是(　　) A．0 B．2 C．－1 D．－2 答案　ACD 解析　因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面分为六部分， 所以包含下面两种情况： ①三条直线交于一点．因为直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点是(1,1)，所以直线x＋ky＝0过这两条直线的交点，所以k＝－1； ②直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，所以k＝0或－2. 综上，实数k的取值集合是{0，－1，－2}． 16.(12分)如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得解得即B(6,4)． 同理可求得C点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $