第一章 1.3 第2课时 直线方程的两点式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线方程的两点式与截距式，从两点确定直线的几何要素切入，通过点斜式推导两点式方程，明确其适用条件，再结合坐标轴交点引出截距式，构建从推导到应用的完整学习支架。 以斜拉桥实例引导学生用数学眼光观察现实问题，问题驱动式设计培养推理意识，例题中分类讨论截距情况强化严谨思维，课后练习结合三角形面积等情境提升应用意识，课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固查漏。

第2课时　直线方程的两点式 [学习目标]　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式.2.了解直线方程的截距式的形式特征及适用范围． 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．怎样表示直线的方程呢？ 一、直线方程的两点式 问题1　我们知道，两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　设P(x，y)为直线l上任意一点，∵x1≠x2，∴kl＝， 由直线方程的点斜式，得y－y1＝(x－x1)，又y1≠y2，即＝. 知识梳理 经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程 ＝(其中x1≠x2，y1≠y2)，我们把它称为直线方程的两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示． (2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝， 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 反思感悟　利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练1　已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 解　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在， 即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 二、直线方程的截距式 问题2　若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由两点式方程，得＝，即＋＝1. 知识梳理 通常，称方程＋＝1(其中ab≠0)为直线方程的截距式．其中，a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距)，b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距)． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距且截距都不为0，则可以直接代入截距式求直线的方程(与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示)． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． (3)过原点的直线的横、纵截距都为零． 例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又l过点A(3,4)，所以＋＝1， 解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 延伸探究　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解　(1)当截距不为0时，设直线l的方程为 ＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 反思感悟　应用截距式的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式时，首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式的逆向应用． 跟踪训练2　已知直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程． 解　设A(a,0)，B(0，b)， 由得 ∴A(8,0)，B(0,2)， 则直线l的截距式为＋＝1. 即x＋4y－8＝0. 三、直线方程的截距式的应用 例3　直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程． 解　设直线l的方程为＋＝1. 因为点A(－2,3)在直线l上， 所以＋＝1.① 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4， 所以|a|·|b|＝4.② 由①②可知或 解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0. 反思感悟　涉及直线与坐标轴围成的面积问题，往往用直线在坐标轴上的截距解答．注意面积公式中截距加绝对值． 跟踪训练3　已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 解　(1)因为直线l的两点式方程为 ＝， 所以＝，即＝x－1. 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8. 所以＋＝1. 故所求截距式方程为＋＝1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故S△AOB＝|OA|·|OB|＝×4×8＝16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 1．知识清单： (1)直线方程的两点式． (2)直线方程的截距式． 2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解． 1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案　A 2．过(1,2)，(5,3)的直线方程是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　B 解析　∵所求直线过点(1,2)，(5,3)， ∴所求直线方程是＝. 3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为－＝1， 将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　AB的中点坐标为(1,3)， 由直线方程的两点式可得＝， 即2x－y＋1＝0. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析　代入两点式得直线方程为＝， 整理得y＝x＋3. 2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 答案　A 解析　显然a≠0， 把直线l：ax＋y－2＝0化为＋＝1. ∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，∴＝2，解得a＝1. 3．若直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4．直线l过点A(1,1)，且l在y轴上的截距的取值范围为(0,2)，则直线l的斜率的取值范围为(　　) A．(－1,3) B．(1,3) C．(0,1) D．(－1,1) 答案　D 解析　设直线l的斜率为k， 则其方程为y－1＝k(x－1)， 可化为y＝kx＋1－k， 由l在y轴上的截距的取值范围为(0,2)， 可得0<1－k<2，解得－1<k<1. 5．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)， 再由两点式可得直线MN的方程为＝， 即2x＋y－8＝0. 6．已知直线＋＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为(　　) A.， B．－，－ C.，7 D．－，－7 答案　D 解析　＋＝－1可化为＋＝1， 所以直线在x，y轴上的截距分别为－，－7， 故a＝－，b＝－7. 7．(5分)过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案　3x＋y－6＝0 解析　由题意知直线过点(2,0)， 又直线过点(1,3)，由两点式可得＝， 整理得3x＋y－6＝0. 8．(5分)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. 答案　－2 解析　由两点式得，过A，B两点的直线方程为＝， 即x＋y－1＝0. 又点P(3，m)在直线AB上， 所以3＋m－1＝0，得m＝－2. 9．(10分)求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程． 解　设直线方程的截距式为＋＝1， 则＋＝1， 解得a＝2或a＝1， 则直线方程的截距式是 ＋＝1或＋＝1， 即＋＝1或＋y＝1. 故所求直线方程为2x＋3y－6＝0或 x＋2y－2＝0. 10.(12分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)． (1)求边AC和AB所在直线的方程；(6分) (2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积．(6分) 解　(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为 ＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为 ＝， 即x＋y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD所在直线的方程为 ＝， 即2x－y＋10＝0. ∴＋＝1. ∴直线BD与坐标轴围成的三角形的面积 S＝×5×10＝25. 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0) B．经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b C．不经过原点的直线的方程都可以表示为＋＝1 D．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) 答案　ABD 解析　经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0)，故A正确；经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b，故B正确；不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为＋＝1，比如x＝a或y＝b，故C错误；经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故D正确． 12．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 答案　D 解析　由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为＝， 即x－2y＋4＝0. 13．直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　B 解析　易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足． 14．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为(　　) A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0 答案　B 解析　设直线的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 则＋＝1，所以a＋b＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋4＝9， 当且仅当＝，即a＝3，b＝6时等号成立． 所以直线的方程为2x＋y－6＝0. 15．(5分)已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 答案　3 解析　直线AB的方程为＋＝1， 则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 16．(12分)过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0)，与y轴正半轴相交于点B(0，b)，当2|OA|＋|OB|取最小值时，求直线方程的截距式． 解　由题意得直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 因为直线过点P(1,1)，所以＋＝1， 2|OA|＋|OB|＝2a＋b＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2 . 此时2|OA|＋|OB|有最小值3＋2. 即所求直线方程的截距式为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $