第一章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”第1课时，核心知识点为直线方程的点斜式与斜截式。通过斜率公式推导点斜式，明确其适用条件，再过渡到斜截式这一特殊形式，构建从一般到特殊的学习支架，衔接前期斜率与倾斜角知识，为后续直线方程学习奠基。 资料以射击手托枪瞄准为例引入，通过问题链驱动推导，培养数学眼光与思维。例题分层设计，从基础应用到含参数问题，跟踪训练对应巩固，练习题梯度覆盖不同情境，助力学生用数学语言规范表达方程关系，课中提升理解效率，课后便于查漏补缺。

1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 [学习目标]　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线方程的点斜式与斜截式.3.会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关的问题． 导语 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向． 一、直线方程的点斜式 问题1　已知直线l经过点P(0,3)，且斜率k＝2，Q(x，y)为直线l上的任意一点，试推导x，y满足的关系式． 提示　当Q与P不重合时，有2＝，即y＝2x＋3；当Q与P重合时，把P(0,3)代入上式也成立，故x，y满足的关系式为y＝2x＋3. 问题2　若满足问题1中的结论，则以(x，y)为坐标的点是否都在直线l上？ 提示　设Q(x，y)满足y＝2x＋3，则y－3＝2x， 当x≠0时，则2＝，此时Q(x，y)在直线l上； 当x＝0时，则y＝3， 此时点Q与点P重合，Q也在直线l上． 故若满足问题1中的结论，则以(x，y)为坐标的点都在直线l上． 知识梳理 1．直线的方程：一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 方程y－y0＝k(x－x0)是经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)称为直线方程的点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用直线方程的点斜式．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)过点B(－1,4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1,2)，且与y轴平行； (4)过点D(2,1)和E(3，－4)． 解　(1)由点斜式方程可知， 所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]． (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)， ∴斜率k＝＝－5. 故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)． 反思感悟　求直线方程的点斜式的步骤及注意点 (1)求直线方程的点斜式的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)经过点(1,1)，且直线的一个方向向量为(1,2)． 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)由题意知，直线的斜率为2，又直线过点(1,1)， ∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，化简得2x－y－1＝0. 二、直线方程的斜截式 问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 提示　由点斜式方程得y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b. 知识梳理 称方程y＝kx＋b为直线方程的斜截式，该方程中k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距． 注意点： (1)直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线方程的斜截式可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. 例2　求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为5； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解　(1)由题意得k＝2，b＝5. 由直线方程的斜截式得y＝2x＋5. (2)因为y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°. 所以k＝tan 30°＝，又b＝－2， 所以直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距为b＝3或b＝－3， 所以所求直线的方程为y＝x＋3或y＝x－3. 延伸探究　本例(2)中条件改为“斜率与直线y＝x＋1互为相反数，且在x轴上的截距为－2”，求该直线的方程． 解　由题意知，所求直线的斜率为－， 可设直线方程为y＝－x＋b， 因为在x轴上的截距为－2， ∴0＝－×(－2)＋b，得b＝－2. ∴直线方程为y＝－x－2. 反思感悟　求直线方程的斜截式的策略 (1)斜截式的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 跟踪训练2　已知斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程． 解　设l：y＝－x＋b， 令x＝0，得y＝b； 令y＝0，得x＝b. 由题意，得·|b|·＝6， ∴b2＝16，∴b＝±4. 故直线l的方程为y＝－x±4. 三、含参数的直线方程的几何特征 例3　已知直线l：y＝ax＋. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． (1)证明　因为y＝ax＋＝a＋， 所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限， 所以直线l必经过第一象限． (2)解　设A， 则直线OA的斜率kOA＝＝3. 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3， 即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞)． 反思感悟　对于含参数k的直线方程y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0)． 跟踪训练3　(1)方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(　　) A．过点(－1,0)的一切直线 B．过点(1,0)的一切直线 C．过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(1,0)且除x轴外的一切直线 答案　C 解析　y＝k(x－1)表示过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线． (2)直线y＝ax－的图象可能是(　　) 答案　B 解析　直线y＝ax－的斜率与在y轴上的截距异号，故选B. 1．知识清单： (1)直线方程的点斜式． (2)直线方程的斜截式． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想． 3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离． 1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(－1,2)，斜率为1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1 答案　C 解析　由点斜式的定义可得，选项C正确． 2．已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 答案　D 解析　∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝， ∴直线l的方程为y＝x－2. 3．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A．9 B．－9 C. D．－ 答案　B 解析　由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 4．若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 答案　B 解析　∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 答案　D 解析　∵直线与x轴平行， ∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 2．已知直线l经过点A(－1,3)，B(0,5)两点，则直线l的方程为(　　) A．2x－y－5＝0 B．2x－y＋5＝0 C．x－2y＋5＝0 D．x＋2y＋5＝0 答案　B 解析　由经过两点的直线的斜率公式， 可知直线的斜率k＝＝2， 所以该直线方程的点斜式为y－5＝2(x－0)， 即2x－y＋5＝0. 3．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 答案　B 解析　直线方程y－2＝－(x＋1)可化为 y＝－x＋2－， 故直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 4．与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为(　　) A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4) C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4) 答案　C 解析　由点斜式可得所求直线方程为y－3＝(x＋4)． 5．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 答案　C 解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为 y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． 6．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝x－1 C．y＝－x＋3 D．y＝－x－1 答案　BC 解析　由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为 y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3. 7．(5分)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式是______________． 答案　y＝x－6或y＝－x－6 解析　因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式为y＝x－6或y＝－x－6. 8．(5分)已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________. 答案　4 解析　方程y－m＝(m－1)(x＋1)可化为 y＝(m－1)x＋2m－1， 所以2m－1＝7，解得m＝4. 9．(10分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(－4,1)；(5分) (2)在y轴上的截距为－10.(5分) 解　由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝. (1)因为直线过点(－4,1)， 所以该直线方程的点斜式为y－1＝(x＋4)， 即y＝x＋4＋1. (2)因为直线在y轴上的截距为－10， 所以该直线方程的斜截式为y＝x－10. 10．(11分)求斜率为，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线的方程． 解　设所求直线的方程为y＝x＋b， 令x＝0，得y＝b； 令y＝0，得x＝－b. 由已知，得|b|＋＋＝20. 即|b|＋|b|＋|b|＝20， 解得b＝±5. 故所求直线的方程为y＝x±5. 11．已知直线l的一个方向向量为(cos 45°，－sin 45°)，且过点(1,2)，则直线l在y轴上的截距为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案　A 解析　∵直线l的一个方向向量为 (cos 45°，－sin 45°)， ∴直线l的斜率k＝＝－1， 又直线过点(1,2)， ∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3， ∴直线l在y轴上的截距为3. 12．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　) 答案　C 解析　对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意． 13．(5分)如果直线l过点(2,1)，且在y轴上的截距的取值范围为(－1,2)，那么直线l的斜率k的取值范围是________． 答案　 解析　设直线l的斜率为k，当直线l经过点(0，－1)时，斜率为＝1；当直线l经过点(0,2)时，斜率为＝－，故所求直线l的斜率k的取值范围是－<k<1. 14．(5分)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是______． 答案　 解析　由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示． 若l与线段AB相交， 则kPA≤k≤kPB， 因为kPA＝＝－2，kPB＝＝， 所以－2≤k≤. 15．(多选)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，设函数f(x)＝k(x－2)＋3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，给出下列四个命题，其中真命题有(　　) A．存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条 B．存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条 C．存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条 D．存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条 答案　BCD 解析　∵直线y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴的交点坐标分别是A，B(0,3－2k)， ∴S△AOB＝××|3－2k|＝×，当k>0时， S△AOB＝×＝×， ∵4k＋≥2＝12，当且仅当k＝时取等号， ∴S△AOB≥0，当且仅当k＝时取等号，∴当S△AOB＝m>0时，在k>0时，k有两个值； 当k<0时， S△AOB＝×＝×＝×， ∵－4k＋≥2＝12，当且仅当k＝－时取等号，∴S△AOB≥12，当且仅当k＝－时取等号，∴当S△AOB＝m>12时，在k<0时，k有两个值；当m＝12时，在k<0时，k有1个值；当0<m<12时，在k<0时，没有满足条件的k值． 综上所述，当0<m<12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，故B正确；当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，故C正确；当m>12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，故D正确． 16．(12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；(4分) (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．(8分) (1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $