第一章 1.1～1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的斜率、倾斜角与方向向量的关系，通过回顾上节课倾斜角和斜率对直线方向的刻画，以“两者是否存在联系”的问题驱动导入，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用数形结合与问题链设计，如通过例1线段AB斜率范围分析、例2方向向量应用等，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观）。知识梳理与跟踪训练结合，助学生构建体系，教师可高效开展概念教学与能力培养。

第2课时 第一章 <<< 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系. 2.了解直线的方向向量. 3.会应用倾斜角与斜率的关系解决简单的综合问题. 学习目标 同学们，通过上节课的学习，我们知道，直线的倾斜角和斜率从不同的角度刻画了直线的方向以及倾斜程度，它们之间是否具有某种联系呢！这是我们本节课要解决的内容. 导 语 一、倾斜角、斜率的范围 二、直线的斜率与方向向量的关系 课时对点练 三、斜率与倾斜角、方向向量的综合应用 随堂演练 内容索引 倾斜角、斜率的范围 一 提示　k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π). 直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？ 问题1 如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 问题2 提示　如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.当α＝ 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 问题3 1.直线的斜率k与倾斜角 满足__________________. 2.斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈_______时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而 ； 当α∈_______时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而 . 当α＝ 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率 . 增大 增大 不存在 知识梳理 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围. 例 1 要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. 10 1.本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围. 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 延伸探究 11 2.本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围. 由本例知与线段AB有公共点时， 斜率k满足k≤－1或k≥1. 则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为－1<k<1. 12 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化. 解决取值范围问题的基本方法——数形结合 反 思 感 悟 13 二 直线的斜率与方向向量的关系 提示　直线上的向量及与之平行的非零向量. 什么是直线的方向向量？ 问题4 已知直线l上两点A(1,2)，B(－1,3)，你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1,2)，B(1,3)呢？ 问题5 1.在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量______是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方 向向量 之间的关系是________________(其中x1≠x2). 2.若k是直线l的斜率，则v＝ 是它的一个方向向量；若直线l的一个 方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝___. (1，k) 知识梳理 17 (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)； (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角). 注 意 点 <<< (1)已知直线l的一个方向向量为(5,8)，且该直线过点(1,2)，则直线l过点 A.(6,10) B.(4,8) C.(2,4) D. 例 2 √ 19 (2)经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值为____. 2 ∵直线的方向向量为(1，k)，则k为直线的斜率， 20 反 思 感 悟 若直线l的一个方向向量为a＝(u，v)， 则当u＝0时，直线l的斜率不存在； 已知直线l的斜率为 求直线l的模长为1的方向向量. 设直线l的方向向量为b＝(x，y)， 跟踪训练 1 ∵|b|＝1， ∴x2＋y2＝1. ② 22 23 斜率与倾斜角、方向向量的综合应用 三 已知直线l1的方向向量为n＝(2,1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍. (1)求直线l2的斜率； 例 3 25 设直线l1的倾斜角为α， 则直线l2的倾斜角为2α. ∵直线l1的方向向量为n＝(2,1)， 26 27 28 29 反 思 感 悟 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________. (－2,1) ∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角， 跟踪训练 2 ∴(a－1)(a＋2)<0，解得－2<a<1， 故实数a的取值范围是(－2,1). 31 1.知识清单： (1)直线的倾斜角与斜率的关系. (2)直线的方向向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.一条直线过点A(－1,0)和B(2,3)，则该直线的倾斜角为 A.30° B.45° C.135° D.150° √ 1 2 3 4 2.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为 A.(0,1) B.(－1,0) C.(3,0) D.(0，－3) √ √ 若设点P的坐标为P(x,0)， ∴x＝3，即P(3,0). 若设点P的坐标为P(0，y)， ∴y＝－3，即P(0，－3). 1 2 3 4 3.过两点A(1，y)，B(2，－3)的直线的方向向量为(1，－1)，则y的值为 A.2 B.－2 C.－5 D.5 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 {k|k≤－1或k≥1} 课时对点练 五 1.若两直线l1，l2的倾斜角分别为α与β，斜率分别是k1与k2，则下列四个结论中正确的是 A.若α<β，则k1<k2 B.若α＝π－β，则k1＝k2 C.若k1<k2，则α<β D.若k1＝k2，则α＝β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当α＝π－β时，k1＝－k2，所以B不正确； 当k1<0<k2时，α>β，所以C不正确； 当k1＝k2时，α＝β，所以D正确. 2.过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，则y等于 A.1 B.5 C.－1 D.－5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知直线l的斜率的绝对值等于 ，则直线l的倾斜角为 A.60° B.30° C.60°或120° D.30°或150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l的倾斜角为α， ∴α＝60°或120°. 4.下列可作为斜率k＝ 的直线的方向向量的是 A.(2,3) B.(3,2) C.(－3，－2) D.(－3,2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有 A.k1<k2<k3 B.k2<k3<k1 C.k1<k3<k2 D.k2<k1<k3 √ 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图可知，α3<α2< 90°<α1，故相应斜率的关系为k1<0<k3<k2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在y轴上有一点M，它与点( ，1)连成的直线的倾斜角为60°，则点M的坐标为 A.(0,4) B.(0,2) C.(2,0) D.(1,0) √ 得a＝4，∴M(0,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π)， 7.设直线l的斜率为k，且－1<k≤ ，则直线l的倾斜角α的取值范围是 _______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a＋b＝1. 1 9.已知坐标平面内M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1)两点. (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角θ为锐角？ 若直线MN的倾斜角θ为锐角， 则k＝tan θ>0， 即(m＋2)(m－4)<0，解得－2<m<4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 024)，求m的值. 直线MN的方向向量为a＝(0，－2 024)， ∴直线MN的斜率不存在. 故直线MN垂直于x轴. ∴m＋3＝2m－1，即m＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1， 直线PN的倾斜角为α2， 故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°. 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是{α|45°≤α≤150°}. 10.已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)， ，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)以下四个命题错误的是 A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 C.坐标平面上的所有直线都有倾斜角 D.坐标平面上的所有直线都有斜率 √ √ 任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，当倾斜角为90°时，斜率不存在. 综合运用 由直线l过点(1,2)，且不过第四象限，作出图象， 当直线位于如图所示的阴影区域(包含边界)内时 满足条件， 由图可知，当直线过A(1,2)，O(0，0)时， 直线的斜率取最大值kmax＝2， ∴直线l的斜率的最大值为2. 12.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为 A.0 B.1 C. D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过点A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部 运动(不包含边界)，则 的取值范围是______. 利用图象(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点 (a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点 与坐标原点O相连，如图所示，可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求 的最大值与最 小值. 它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点 (x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB. 由已知可得A(1,1)，B(－1,5)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有tan α＝，而BC＝y2－  y1，AC＝x2－x1，所以tan α＝，即k＝tan α. k＝tan α α 如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 提示　＝(－1－1,3－2)＝(－2,1). ＝(1－1,3－2)＝(0,1).     k＝＝tan α   因为直线l的一个方向向量为(5,8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则＝(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立. ∴k＝＝2，∴k的值为2. 当u≠0时，k＝. －， 则＝－. ① 由①②得或 ∴b＝或b＝. ∴直线l1的斜率为tan α＝， ∴直线l2的斜率为tan 2α＝＝. (2)若直线l2经过点A(－1,2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点，求  的取值范围. 由(1)知l2的斜率为， ∴＝，得m＝6.  表示过点P(x，y)和点Q(0，－1)的直线的斜率， kQA＝＝－3， kQB＝＝， ∴kPQ≤－3或kPQ≥. 故的取值范围是(－∞，－3]∪. (1)直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系为k＝＝tan α (其中x1≠x2). (2)求代数式最值或范围的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过  P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. ∴直线的斜率小于0，∴<0， 设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝＝1，∵0°≤α<180°，∴α＝45°. 则k＝＝tan 45°＝1， 则k＝＝tan 45°＝1， 由题意得＝(2，－3)－(1，y)＝(1，－3－y)＝(1，－1)，∴－3－y＝－1，∴y＝－2. 当倾斜角α＝时，l的斜率不存在； 当α∈时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)； 当α∈时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]. 4.已知直线l的倾斜角的范围是，则直线l的斜率的取值范围是________________. 当α∈，β∈时，k1>k2，所以A不正确； 因为过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，所以＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. 则|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－， － 斜率k＝－的直线的方向向量a＝，所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线. 设M(0，a)，由题意得＝tan 60°， － 由－1<k≤，得－1<tan α≤， ∪ 所以α∈∪. 8.一个方向向量为(，2)的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝_______. 由题意得k＝＝2， 则2＝＝，∴a＝4，b＝－3， 又k＝＝>0， 由题意知，tan α1＝＝1，tan α2＝＝－，  N(－，) 设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α.由题可知tan α＝kAB＝，所以α≠45°，2α≠90°，所以tan 2α＝kAC＝.又tan 2α＝，因此＝，解得a＝. A. B. C.1 D. 可得的取值范围是. 根据已知条件，可知点P(x，y)是以点A，B，C为顶点的△ABC内部一动点(不包含边界)，的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1,2)的直线的斜率.由已知得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.   15.已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是 A.>> B.>> C.>> D.>> 因为表示经过点O(0,0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以，，  的几何意义可以表示为3个斜率，作 函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图所示.  >>. 如图所示，由＝的几何意义可知，   ∴kPA＝＝，kPB＝＝8， ∴≤k≤8. 故(－1≤x≤1)的最大值为8，最小值为. $