1.1 课时2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.1 课时2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 【学习目标】 1.掌握直线的斜率与倾斜角的关系.(逻辑推理) 2.理解直线的方向向量的概念.(数学抽象) 3.通过对直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系的学习，培养学生直观想象、数学运算等核心素养. 【自主预习】 　　直线的倾斜角和斜率都是描述直线的倾斜程度的，倾斜角是一个几何图形，斜率是倾斜程度的代数表示，为我们用代数方法研究直线提供了一种工具. 阅读教材，回答下列问题： 1.倾斜角α与斜率k之间有什么关系? 2.直线的方向向量是怎么定义的? 3.若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率是多少? 1.(多选题)下列说法错误的是(　　). A.若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应 B.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 C.直线的方向向量是唯一的 D.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 2.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　). A. B. C.1 D. 3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，-2)的直线的一个方向向量为(1，2)，则实数m的值为(　　). A.-1 B.1 C.2 D. 4.若直线l经过A(2，1)，B(1，-m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________.  【合作探究】 探究1　直线的倾斜角与斜率的关系 问题1：画出正切函数y=tan x，x∈[0，π)的图象. 问题2：直线的斜率k随倾斜角α的增大而增大吗? 问题3：斜率的正负与倾斜角范围有什么联系? 1.直线的倾斜角与斜率的关系 k=tan α其中α≠. 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 (1)当α∈0，时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； (2)当α∈，π时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大； (3)当α=时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 例1　已知直线l过M(m+1，m-1)，N(2m，1)两点. (1)若直线l的倾斜角是45°，求直线l的斜率和m的值. (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°? (3)试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围. 【方法总结】直线的倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).(2)当0°≤α<90°时，斜率为非负数；当90°<α<180°时，斜率为负数. 若过M(3，y)，N(0，)两点的直线的倾斜角为150°，则y的值为(　　). A. B.0 C.- D.3 已知两点A(-1，2)，B(m，3). (1)求直线AB的斜率k； (2)若实数m∈--1，-1，求直线AB的倾斜角α的取值范围. 探究2　直线的方向向量 　　一种卫星天线接收信号的方式如图所示. 问题1：图中向量与是否共线?向量能作为直线P1P2的方向向量吗? 问题2：将上图放在平面直角坐标系中，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能写出的坐标表示吗?能用表示吗? 1.直线的方向向量 直线l上的向量以及与它平行的向量都是直线l的方向向量.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线l的方向向量的坐标为(x2-x1，y2-y1). 2.直线的斜率与方向向量的坐标之间的关系 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则k=. 例2　已知直线l的倾斜角的取值范围为，，直线l的方向向量为(1，m)，求实数m的取值范围. 【方法总结】已知倾斜角的取值范围，求该角正切值的取值范围，可以结合正切函数的图象求解. 已知过点M(-2，m)，N(m，4)的直线的一个方向向量的坐标为(-2，1)，则实数m的值为________.  【随堂检测】 1.若直线l的斜率为，则l的倾斜角为(　　). A. B. C. D. 2.已知经过A(0，2)，B(-，3)两点的直线的一个方向向量为(1，k)，则k的值为(　　). A. B. C.- D.- 3.已知过A(4，y)，B(2，-3)两点的直线的倾斜角为135°，则y=________.  4.已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，且直线l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角. 参考答案 1.1 课时2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 自主预习·悟新知 预学忆思 1.k=tan α其中α≠. 2.若k是直线l的斜率，则v=(1，k)是它的一个方向向量. 3.它的斜率k=. 自学检测 1.CD　【解析】由直线的倾斜角与斜率的概念，知A，B均正确；因为直线的方向向量有无数个，所以不唯一，所以C错误；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D错误. 2.A　【解析】由题意可知，直线l的斜率k=tan 30°=. 3.D　【解析】由已知得k==2，解得m=. 4.≤α<　【解析】因为直线l经过A(2，1)，B(1，-m2)(m∈R)两点， 所以kl=tan α==1+m2≥1. 因为0≤α<π，所以≤α<. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1： 问题2：不是，在0，内，k随α的增大而增大，在，π内，k也是随α的增大而增大的. 问题3：当k=tan α<0时，倾斜角α是钝角； 当k=tan α>0时，倾斜角α是锐角； 当k=tan α=0时，倾斜角α是零角. 新知运用 例1　【解析】(1)由已知得k=tan α=tan 45°=1， 所以kMN==1，解得m=. 故直线l的斜率是1，m的值为. (2)因为l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m+1=2m，得m=1. (3)由题意知解得1<m<2. 巩固训练1　B　【解析】由斜率公式知=tan 150°，即=-，∴y=0. 巩固训练2　【解析】(1)当m=-1时，直线AB的斜率不存在； 当m≠-1时，直线AB的斜率k==. (2)当m=-1时，α=， 当m≠-1时，k=. 因为m∈--1，-1，且m≠-1， 所以-≤m+1≤，且m+1≠0， 所以 ≤-或≥，即tan α≤-或tan α≥， 所以α∈，∪，. 综上，直线AB的倾斜角α的取值范围是，. 探究2　情境设置 问题1：向量与共线；能. 问题2：能，=(x2-x1，y2-y1)；能，=λ(λ<0). 新知运用 例2　【解析】因为tan =，tan =-1，由正切函数的图象可得，当θ∈，时，tan θ∈(-∞，-1]∪[，+∞).因为k==m，所以实数m的取值范围为(-∞，-1]∪[，+∞). 巩固训练　10　【解析】由题意得直线的斜率k=-，因为直线过点M(-2，m)，N(m，4)，所以k==-，解得m=10. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】设直线l的倾斜角为α，则tan α=. 又∵α∈[0，π)，∴α=.故选C. 2.D　【解析】由题意得=，解得k=-. 3.-5　【解析】直线AB的斜率k=tan 135°=-1，又k=，所以=-1，解得y=-5. 4.【解析】∵l2的斜率为=1，∴l2的倾斜角为45°. 由题意可得，l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $