第一章 1.1～1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角和斜率”核心知识点，从交通工程“坡度”现实情境切入，系统梳理倾斜角的定义、范围[0,π)及唯一性，斜率的公式推导、存在性判定，构建“现实问题→抽象概念→公式应用”的学习支架，通过问题链（如“如何确定直线方向”“坡度如何刻画倾斜”）衔接知识脉络。 资料以“数学眼光”观察现实（坡度引入），“数学思维”引导探究（倾斜角旋转分类讨论、斜率存在性分析），“数学语言”规范表达（三点共线推理）。含倾斜角图示、例题图形辅助直观理解，课中例题解析与反思感悟助教师引导学生思考，课后练习题及知识清单帮学生巩固概念、查漏补缺，提升推理与应用能力。

1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1课时　直线的倾斜角和斜率 [学习目标]　1.了解倾斜角和斜率的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的几何意义，会用斜率公式求直线的斜率． 导语 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 一、直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示　两点确定一条直线，一个点与一个方向也可以确定一条直线． 问题2　经过原点的无数条直线中，与x轴(正方向)所成的角为的直线有几条？ 提示　只有一条． 知识梳理 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0 记法 α 图示 范围 [0，π) 注意点：(1)每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应． (2)直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近，倾斜程度越大． 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 反思感悟　直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 跟踪训练1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正方向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正方向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 答案　135° 解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 二、直线的斜率 问题3　坡度是用什么量来刻画道路的倾斜程度的？ 提示　高度的平均变化率． 问题4　如图，直线l上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1.在直线l上点P1平移到点P2，则高度的平均变化率是多少？ 提示　＝. 知识梳理 称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 注意点： (1)k的大小与两点P1，P2的位置无关． (2)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在． (3)当直线l与x轴不垂直时，斜率存在且是唯一的． (4)常用斜率表示直线的倾斜程度． 例2　满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率． (1)经过点A(2,3)，B(4,5)； (2)经过点C(－2,3)，D(2，－1)； (3)经过点P(－3,1)，Q(－3,10)； (4)经过点M(a,2)，N(3,6)． 解　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3. (4)当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝. 反思感悟　已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝. 注意：(1)x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在． (2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 跟踪训练2　(1)已知点P1(3，－3)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k＝________. (2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________． 答案　(1)0　(2)1 解析　(1)k＝＝0. (2)由＝1，得m＝1. 三、倾斜角和斜率的应用 问题5　若给定A，B，C三点的坐标，不画图，如何判定A，B，C三点是否共线？ 提示　若A，B，C三点横坐标相等，则三点一定共线； 若A，B，C三点横坐标不相等，若能得到kAB＝kAC，则A，B，C三点共线，否则，不共线． 例3　(1)已知直线经过点A(1,2)，且斜率k＝1，判断B(0,0)，C(2,3)，D(3,2)中，哪些点在该直线上，哪些点不在该直线上？ 解　因为kAB＝＝2≠1，kAC＝＝1，kAD＝＝0≠1，故点C在直线上，点B，D不在直线上． (2)已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)． ①若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； ②若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围． 解　①∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即＝， ∴a＝2或a＝. ②当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝， 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2且a≠. 反思感悟　(1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． (2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在．若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线． 跟踪训练3　如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m的值为________． 答案　－6 解析　由kAC＝kAB，知＝， 解得m＝－6. 1．知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围． (2)直线斜率的定义和斜率公式． 2．方法归纳：数形结合思想． 3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清． 1．(多选)图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　) 答案　AC 2．下列说法错误的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　D 3．已知过A(3,1)，B(m，－2)两点的直线的斜率为1，则m的值为________． 答案　0 4．已知A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)三点在同一直线上，则实数m的值为____________． 答案　2 解析　∵A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)三点在同一直线上，∴AB的斜率和AC的斜率相等，即＝，∴m＝2. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．已知直线l过点A(3－，6－)，B(3＋2，3－)，则直线l的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　直线l的斜率k＝ ＝－. 2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D. 答案　D 解析　由直线的斜率公式得＝2， 解得m＝. 3.如图，直线l的倾斜角为(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 答案　D 解析　由题图易知直线l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 4．若某条直线与x轴垂直，则该直线的倾斜角和斜率分别是(　　) A．0°，0 B．90°，不存在 C．90°，0 D．0°，不存在 答案　B 解析　与x轴垂直的直线的倾斜角是90°，其斜率不存在． 5．已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2,0)或(0，－4) B．(2,0)或(0，－8) C．(2,0) D．(0，－8) 答案　B 解析　设点B的坐标为(x,0)或(0，y)， 所以kAB＝或kAB＝， 即＝4或＝4，解得x＝2或y＝－8， 所以点B的坐标为(2,0)或(0，－8)． 6．已知三点A(m,1)，B(4,2)，C(－4,2m)在同一条直线上，则实数m的值为(　　) A．0 B．5 C．0或5 D．0或－5 答案　C 解析　因为三点A(m,1)，B(4,2)，C(－4,2m)在同一条直线上，且直线斜率存在， 所以＝， 解得m＝0或m＝5. 7．(5分)已知A(x,2x)，B(1,0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的斜率为________． 答案　 解析　由kAB＝＝1， 解得x＝－1，则C(－3，－1)． 所以kBC＝＝. 8．(5分)若直线l向上的方向与y轴的正方向成40°角，则直线l的倾斜角为________． 答案　50°或130° 解析　如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为50°或130°. 9．(10分)已知四边形ABCD的四个顶点是A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，D(－2,2)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率． 解　四边形ABCD的四条边所在直线的斜率分别为kAB＝＝4，kBC＝＝， kCD＝＝－4，kAD＝＝. 10．(12分)若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝. 证明　因为A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，所以kAB＝kAC， 即＝， 得2(a＋b)＝ab， 因为ab≠0，两边同除以2ab， 得＋＝. 11．(多选)下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为(　　) A．(1,3)，(5,7)，(10,12) B．(－1,4)，(2,1)，(－2,5) C．(0,2)，(2,5)，(3,7) D．(1，－1)，(3,3)，(5,7) 答案　ABD 解析　当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD. 12．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 答案　D 解析　当l方向向上的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α. 13．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 14．(5分)若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点不共线，则实数m的取值范围是________． 答案　{m|m≠3} 解析　由题意知kAB≠kAC， 即≠，得m≠3. 15.《中华人民共和国国旗法》中就国旗的五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　) A．0° B．1° C．2° D．3° 答案　C 解析　∵O，O3都为五角星的中心点， ∴OO3平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°. 过O3作x轴的平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°， ∴直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°. 16．(12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 证明　kAB＝，kAC＝， ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC， ∴＝， ∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， ∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $