精品解析：广东省珠海市文园中学2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷

珠海市文园中学2025-2026学年度国庆节后学情检测 九年级数学试卷 说明：本试卷共4页，答题卷共4页，满分100分，考试时间为60分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“ ”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“ ”可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 5. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线()，其中能决定抛物线的增减性的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的部分y与x的值如下表： x … 1 2 4 … y … 21 12 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 或 9. 已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15 10. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每个小题4分，共24分） 11. 函数是二次函数，则________． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 13. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 14. 已知二次函数的图象的最高点为，则_____． 15. 已知二次函数，当时，则的取值范围是___________． 16. 二次函数（）的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图像上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有_______． 三、解答题（共4小题，17、18每题10分；19题12分；20题14分，共46分） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 18. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 19. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： （1）上述解答过程采用的数学思想方法是___________． A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． （3）解方程：； 20. 已知抛物线过点和，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为，在直线上方抛物线上有一点（与不重合），面积与面积相等，求点的坐标； （3）若点为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市文园中学2025-2026学年度国庆节后学情检测 九年级数学试卷 说明：本试卷共4页，答题卷共4页，满分100分，考试时间为60分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及需满足的条件． 根据一元二次方程的定义，逐一分析选项，判断是否符合“只含一个未知数、未知数最高次数是2、整式方程”这几个条件． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，是一元一次方程，不满足一元二次方程“二次项系数不为0，且未知数最高次数是2”的条件，所以不一定是一元二次方程； B、不是方程，因为它没有等号，不构成等式关系，而方程是含有未知数的等式，所以不符合一元二次方程的定义； C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程（整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程），符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程； D、中含有两个未知数和，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的条件． 故选：C． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 故选：B． 3. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，将原抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，即可确定平移后的解析式． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是， 故选： 4. 嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“ ”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“ ”可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实数根，判别式大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：设常数项为：， 则：由题意，得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式的符号与根的个数的关系，是解题的关键． 5. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张， ∴总共送的张数应该是张 即 故选：C 6. 抛物线()，其中能决定抛物线的增减性的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点解析式的图像和性质，图像的增减性，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 根据二次函数的顶点解析式的性质进行求解即可． 【详解】解：由的正负决定了抛物线开口的方向， 由决定了对称轴， ∴根据抛物线开口方向和对称轴，即可决定抛物线的增减性， 故选：A． 7. 已知二次函数的部分y与x的值如下表： x … 1 2 4 … y … 21 12 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程的解． 【详解】解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，， ∴时，， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 9. 已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】把x＝3代入已知方程求得a的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【详解】解：把x＝3代入方程得：， 解得a＝9， 则原方程为， 解得：， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为3，底边为6时，不符合三角形三边关系 ②当△ABC的腰为6，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为6＋6＋3＝15， 综上所述，△ABC的周长为15． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系． 10. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 二、填空题（共6小题，每个小题4分，共24分） 11. 函数是二次函数，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得，求出的值即可． 【详解】解：函数是二次函数， ， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：函数（，为常数）叫二次函数． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，因为是关于的一元二次方程的一个根，把代入方程，可得：． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， 整理得：， ． 故答案为：． 13. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 14. 已知二次函数的图象的最高点为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入求出，然后根据抛物线开口向下得到，求出． 【详解】根据题意可得， 将代代入得，， 解得， ∵抛物线的最高点为， ∴抛物线开口向下， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为， ∴； 故答案为：． 16. 二次函数（）的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图像上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有_______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，包括对称轴，通过图像判断代数式和函数值的大小关系，通过交点坐标得出不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数图像和性质． 利用二次函数的图像和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①由对称轴得，， 整理得， ∴， 故①正确，符合题意； ②根据图像得，当时，， 即， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵抛物线开口向下， ∴， 由①得， 当时，， ∴， 又∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④由抛物线对称性和开口方向得， 距离对称轴越远的点，纵坐标越小， 点到对称轴的距离为：； 点到对称轴的距离为：； 点到对称轴的距离为：； ∵， ∴， 故④错误，不符合题意； ⑤由抛物线的对称性得，的对称点为， ∴抛物线解析式为， ∴可以看作抛物线与直线的交点坐标，且位于轴的下方， ∴， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的选项为：①③⑤， 故答案为：①③⑤． 三、解答题（共4小题，17、18每题10分；19题12分；20题14分，共46分） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． 利用因式分解法解方程即可； 首先把一元二次方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解： 整理为一元二次方程一般形式：． ，，， ， ， 解得：，． 18. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每个商品的定价应为元时，有最大利润，且最大利润为元； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为，根据题意得，据此即可求解； （2）设降价元，每天的总利润为，则每天可售出个，则，据此即可求解； 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得：（舍去）， ∴商城每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天的总利润为，则每天可售出个， 则， ∵， ∴当，即每个商品的定价应为元时，有最大利润，且最大利润为元； 19. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： （1）上述解答过程采用的数学思想方法是___________． A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． （3）解方程：； 【答案】（1）C （2） （3），，， 【解析】 【分析】本题考查换元法在解方程中的应用，解一元二次方程． （1）阅读材料中的解方程过程采用的数学思想方法是换元法； （2）根据题意可得，求解即可； （3）设，原方程变为，可得，，从而可得原方程的解． 【小问1详解】 解：阅读材料中的解方程过程采用的数学思想方法是换元法， 故选：C． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：设， 原方程变为， 解得，， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，， ∴原方程的解为，，，． 20. 已知抛物线过点和，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为，在直线上方抛物线上有一点（与不重合），面积与面积相等，求点的坐标； （3）若点为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将和代入抛物线得到，求出的值即可； （2）先求出和的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线交于，过点作轴的平行线交于，从而可得出的坐标，进而得出，设，则，表示出，再根据面积与面积相等可得，解方程即可得出的值，从而得解； （3）设，，由的坐标可得，由菱形的性质结合的坐标可得点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，，或点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，，从而得到或，进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：， ，对称轴为直线， 抛物线与轴交于另一点， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交于，过点作轴的平行线交于， 在中，当时，， ， ， 设，则， ， 面积与面积相等， ， 解得：或， 在直线上方抛物线上有一点（与不重合）， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在， 设，， ，， ， 以、、、为顶点的四边形是菱形，点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，，或点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，， 或， 解得：或， 点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合—面积问题、菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质、菱形的性质，采用数形结合的思想与分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $