第三章 4.1 第2课时 平面的法向量及其应用（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面的法向量及其应用，系统涵盖定义、求法、平面方程及应用等核心内容。通过复习空间向量方向向量引入法向量概念，以知识梳理搭建定义框架，结合例题和跟踪训练构建从定义到应用的学习支架。 其亮点在于以正方体、直角梯形等几何体为载体，用待定系数法推导法向量，培养数学思维的推理能力。通过分层练习和课堂小结，帮助学生用数学语言表达空间形式，提升空间观念，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

第三章 <<< 平面的法向量及其应用 第2课时 1.能用向量语言表述平面. 2.理解平面的法向量，并且会求平面的法向量. 3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题. 学习目标 一、平面的法向量 二、平面的方程 课时对点练 三、平面的法向量的应用 随堂演练 内容索引 平面的法向量 一 如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的 n叫作平面α的法向量. 方向向量 知识梳理 (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 注 意 点 <<< 6 已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 例 1 7 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 8 ∵x轴⊥平面SAB， ∴m＝(1,0,0)即为平面SAB的一个法向量. 注意：答案不唯一(所有与上述m，n共线的非零向量均可作为相应平面的法向量). 9 (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为非零常数便可得到平面的一个法向量. 求平面的法向量的方法与步骤 反 思 感 悟 10 　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1, A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； 跟踪训练 1 11 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,2). 设平面BDD1B1的一个法向量为 n＝(x1，y1，z1)， 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1,0).(答案不唯一) 12 (2)平面BDEF的一个法向量. 13 设平面BDEF的一个法向量为m＝(x2，y2，z2). 令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1).(答案不唯一) 14 二 平面的方程 设平面α内一点M(x0，y0，z0)，其法向量n＝(A，B，C)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有 则平面α的方程为_________________ _____________. A(x－x0)＋B(y－y0) ＋C(z－z0)＝0 知识梳理 　设经过原点的平面α的一个法向量为n＝(6,3,2). (1)求平面α的方程； 例 2 平面α的方程为6x＋3y＋2z＝0. 17 又E点在平面α内， 18 反 思 感 悟 求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n＝(A，B，C)，然后利用A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0可得. 写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n＝(－1,3,4)垂直的平面α的方程. 跟踪训练 2 由题意知平面α的法向量为n＝(－1,3,4)， 则－(x－3)＋3(y－2)＋4(z－1)＝0， 则－x＋3y＋4z－7＝0， 即平面α的方程为x－3y－4z＋7＝0. 20 平面的法向量的应用 三 　已知平面α内的两个向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为 A.－1,2 B.1，－2 C.1,2 D.－1，－2 例 3 √ 22 c＝ma＋nb＋(4，－4,1) ＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1) ＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1). 23 反 思 感 悟 平面α的一个法向量n与平面内任一向量a都垂直，即a·n＝0. 已知平面α内有一点A(2，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝ 则下列四个点中在平面α内的是 跟踪训练 3 √ 25 同理可排除C，D； 26 1.知识清单： (1)平面的法向量的定义及求法. (2)平面的方程. (3)法向量的应用. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：不理解平面法向量的作用和不唯一性. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为 A.(1,2,3)　　B.(1,3,2)　　C.(2,1,3)　　D.(3,2,1) √ 1 2 3 4 2.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 √ √ 3.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的方程是______________. 1 2 3 4 x＋2y－3z＝0 故x＋2y－3z＝0. 1 2 3 4 4.已知空间中三点A(0,1,1)，B(2,2,1)，C(2,1,0)，则平面ABC的一个法向量 为_______________________. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是 A.(4,2，－2) B.(2,0,4) C.(2，－1，－5) D.(4，－2，－2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵平面α∥平面β， ∴平面β的法向量与平面α的法向量平行， 又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)， ∴选项D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵PA⊥平面ABCD， ∴BD⊥PA. 又AC⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD. 故选项B成立，选项A和D显然成立. 3.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为 A.(1，－1,1)　　B.(2，－1,1)　　C.(－2,1,1)　　D.(－1,1,1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然a与b不平行， 设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)， 令z＝1，得x＝－2，y＝1. 所以n＝(－2,1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.x＝6，y＝2 B.x＝2，y＝6 C.3x＋4y＋2＝0 D.4x＋3y＋2＝0 √ 可得3x＋4y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知平面α过点A(1，－1,2)，其法向量n＝(2，－1，2)，则下列点不在α内的是 A.Q(2,3,3) B.R(3，－3,4) C.M(－1,2,0) D.N(－2,0,1) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是 A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0，－1，－1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设正方体的棱长为1， 向量(0，－1，－1)与向量(0,1,1)平行，故B正确； 故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接B1C，A1D，AD1，则平面B1CD即为平面B1CDA1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，由CD⊥平面DAA1D1，AD1⊂平面DAA1D1，得CD⊥AD1，又CD∩A1D＝D，CD，A1D⊂平面B1CDA1，所以AD1⊥平面B1CDA1，而 　 ＝(0,1,1)，即平面B1CD的一个法向量为(0,1,1)，而向量(0,1,1)与向量(1,1,1)不平行，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量m＝(2,1,0)与n＝(a2，a，b)是平面α的两个法向量，则a＋b＝___. 2 8.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)C(0,0,1)，若点P(x,1,1)在平面ABC内，则x＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点. (1)求平面ABC的一个法向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABC的一个法向量为n＝(a，b，c). 所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平面ABC的方程. 因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点， 所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0， 所以3x－2y－2z－1＝0. 故平面ABC的方程为3x－2y－2z－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴OB1⊥AC，OB1⊥AP. ∵AC∩AP＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC， ∴OB1⊥平面PAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB A.与xOy平面平行 B.与zOx平面平行 C.与yOz平面平行 D.与yOz平面相交 √ 综合运用 又yOz平面内的向量的一般形式为a＝(0，y，z)， 12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ C.(1,1,1) D.(2，－2,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得P(0,0,2)，A(1,0,0)，B(0,1,0)， 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 令z＝1，则x＝2，y＝2，所以n＝(2,2,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵l∥α，∴a⊥n，即a·n＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 (1,0，－1) 15.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 则平面OCB1的法向量n＝___________ _____________. (答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴AO＝OC＝1， ∵A(0，－1,0)，B(1,0,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量， 故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1， 则平面OCB1的法向量n＝(1,0，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以AP⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平行四边形ABCD的面积. 则令x＝1， 解得 ∵D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，∴＝(1,2,0)， ＝(－1,0,2)， ∴n＝， 即平面SCD的一个法向量为n＝， (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的一个法向量为n＝(x，y，z). (3)联立方程组并求解. ∵＝(2,2,0)，＝(0,0,2)， 则即 ∵＝(2,2,0)，＝(1,0,2)， ∴即  ·n＝0， ∴E， ∴6×＋3×＋2＝0，得a＝－2. (2)若A(0,0,0)，C(a,2,3)，直线AC与平面α的交点为E，且＝，求a. 由＝(a,2,3)，又＝， 则＝＝(a,2,3)， 由c为平面α的法向量，得 即解得 A.P1(1，－1,1) B.P2 C.P3 D.P4 ， 对于选项A中的点P1(1，－1,1)，＝(1,0,1)，·n＝≠0，排除A； 对于选项B中的点P2， ＝，所以·n＝0. 由题意知＝(2,4,6)，与平行的非零向量均是平面α的法向量. A. B. C. D. 由题意得e⊥， 则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0， (答案不唯一) 即 令z＝1，则x＝，y＝－1，可取n＝.(答案不唯一)  ＝(2,0，－1)，＝(0，－1，－1)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 2.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是 A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 则所以 4.已知向量＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB⊂α，则 由题意可知·n＝0， D项，N(－2,0,1)，＝(－3,1，－1)，·n＝－3×2＋1×(－1)＋(－1) ×2＝－9≠0，N不在平面α内. A项，Q(2,3,3)，＝(1,4,1)，·n＝1×2＋4×(－1)＋1×2＝0，Q在平面α内； B项，R(3，－3,4)，＝(2，－2,2)，·n＝2×2＋(－2)×(－1)＋2×2＝10≠0，R不在平面α内； C项，M(－1,2,0)，＝(－2,3，－2)，·n＝－2×2＋3×(－1)＋(－2) ×2＝－11≠0，M不在平面α内； 则＝(0,0,1)，故A正确； C1(1,1,1)，B(1,0,0)，＝(0,1,1)，  AD⊥平面ABB1A1，而＝(0,1,0)，   由题意知n＝λm(λ≠0)，∴解得(舍)或∴a＋b＝2. 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，所以 取x＝1，得n＝(1,1,1)，又P(x,1,1)在平面ABC内，则n·＝x－1＋1＋1＝0，解得x＝－1. 因为＝(2,4，－1)，＝(2,2,1)， 所以 所以令b＝2，则a＝－3，c＝2. 所以⊥n， 又＝(x－1，y＋1，z－2)， 10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面  ABCD的中点，求证：是平面PAC的一个法向量. 则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)， 于是＝(1,1,2)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)， ∴·＝－2＋2＋0＝0， ·＝－2＋0＋2＝0， ∴⊥，⊥， ∴是平面PAC的一个法向量． 由题意得＝(0,5，－3)， 故∥a，可得AB∥yOz平面. A. B.(1，，1) 又＝n，因此平面PAB的一个法向量为. 则＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)， 由得 A.(1，－4,2) B. C. D.(0，－1,1) 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足. 14.已知直线l的方向向量a＝，平面α的法向量n＝， 若l∥α，则λ的值是________. － ∴2×6＋3λ－＝0，解得λ＝－. . ∴＝(0,1,0)， ∵四边形ABCD是正方形，且AB＝， ∴＝(1,1,0)， ∴＝(1,1,0)， ∵OA＝1，AA1＝，∴OA1＝＝1， 故OB1＝OA1＋＝(1,1,1)， 故＝(0,0,1)， ∴ 16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1， －4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1). (1)求证：是平面ABCD的法向量；  ·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0， 所以是平面ABCD的法向量. S▱ABCD＝||·||sin〈，〉＝8. 因为||＝＝， ||＝＝2，  ·＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6， 所以cos〈，〉＝＝， 故sin〈，〉＝， $