第三章 4.1 第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的方向向量与直线的向量表示，涵盖方向向量定义、直线向量表示、方向向量应用及三点共线充要条件等核心知识点。通过“如何用向量表示点”“怎样确定直线”等问题导入，承接空间向量基础，为立体几何问题解决搭建学习支架。 其亮点在于以问题链引导学生抽象数学关系（数学眼光），通过向量运算推理证明三点共线（数学思维），用\(\overrightarrow{MP}=t\boldsymbol{a}\)等向量式精确表达直线（数学语言）。实例丰富如空间坐标系求点坐标，结合知识梳理与反思感悟，助学生提升空间观念与推理能力，也为教师提供清晰教学流程与典型例题。

第三章 <<< 第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示 1.能用向量语言表述直线. 2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量. 学习目标 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的一条直线. 导 语 一、直线的方向向量 二、直线方向向量的简单应用 课时对点练 三、点在直线上的充要条件 随堂演练 内容索引 直线的方向向量 一 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题1 在空间中，怎样可以确定一条直线？ 问题2 提示　两点可以确定一条直线；由直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线. 2.已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一 个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存 在实数t，使得 ＝___.反之，由几何知识不难确定， 满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示. ta 知识梳理 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 注 意 点 <<< 9 在三棱锥P－ABC中，E，O，G分别为PA，AC，OC的中点.过点G求作直线EO的一个方向向量. 例 1 如图所示，取PE的中点H，连接HG， ∵E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点， ∴HG∥OE， (答案不唯一) 10 求直线AB的方向向量，就是找与 平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量. 直线的方向向量的求法 反 思 感 悟 11 　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证： 是直线GH的一个方向向量. 跟踪训练 1 12 连接MO(图略)， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为AC的中点， 又M是PC的中点， ∴MO∥PA. ∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM， ∴PA∥平面BDM. ∵PA⊂平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH， 13 二 直线方向向量的简单应用 　已知在空间直角坐标系O－xyz中，点A(4，1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点， 则点C的坐标是 例 2 √ 15 16 反 思 感 悟 利用方向向量求坐标的方法：将直线的向量表示 ＝ta转化为坐标，利用向量的坐标运算可求得. 已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0，1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 跟踪训练 2 √ 18 由O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)， 且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)， 又BH⊥OA， 即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0， 19 点在直线上的充要条件 三 在空间中，如何证明A，B，P三点共线？ 问题3 21 　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且 BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线. 例 3 22 连接AO，AC1，A1C1(图略)， 23 反 思 感 悟 P，A，B三点共线的两种充要条件 (1)在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若 且G，M，N三点共线，则x＋y等于 跟踪训练 3 √ 25 若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得 26 (2)已知点A(2,1,3)，B(－1,3,1)，直线AB与yOz平面的交点C的坐标为 __________. 27 1.知识清单： (1)直线的方向向量及其应用. (2)直线的向量表示. (3)点在直线上的充要条件. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：对直线的方向向量表示理解不到位而致误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的方向向量是 A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) √ √ ∵M，N在直线l上， ∴向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的方向向量. 1 2 3 4 2.(多选)由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是 √ √ 由点P在直线上的充要条件可得选A，B. 3.已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且 ＝2a，则点B的坐标为 A.(－7,10,24) B.(7，－10，－24) C.(－6,8,24) D.(－5,6,24) 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 即B(－5,6,24). 1 2 3 4 4.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_______，直线BC1的一个方向向量为______________ ______. (0,0,1) 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； (0,1,1)(答案不 唯一) 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线 l 过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于 A.0 　　B.1 　　C. 　　　D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)， 2.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.－1　　B.1或－1　　C.－3　　D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解得x＝－1. 3.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为 A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,0,1) D.(1,1,1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以　　＝(1,1,1)，即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D √ ∴A，B，D三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由∀λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线， 所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面， 所以“∀λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件； 由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线， 所以∀λ∈R，a≠λb， 所以“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件， 综上所述，“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B点坐标为(x，y，z)， 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)， 所以x＝18，y＝17，z＝－17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知a∥b， 把①代入②得x2＋x－2＝0， 即(x＋2)(x－1)＝0， 解得x＝－2或x＝1. 当x＝－2时，y＝－6； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x＝1时，y＝3. 向量a，b反向，不符合题意，所以舍去. 此时x＋y＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点B(x，y，z)， 解得x＝－1，y＝2，z＝6， ∴点B的坐标为(－1,2,6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.(－4，－1，－6) B.(2,5,0) C.(3,4,1) D.(－3，－2，－5) √ √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q(x，y，z)， 则(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1,1,1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1,1,1)， ∴Q(2,5,0)或Q(－4，－1，－6). 12.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为 A.0　　B.－1　　C.1　　D.－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以m＝0，n＝0，则m＋n＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AD为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为________，过B点作AC的垂线，垂足为M， 则点M的坐标为____________. (－4,0,7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设D(x，y，z)， 则(2,3，－1)＝(－2－x,3－y,6－z)， ∴D(－4,0,7)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝(－2λ，2＋λ，3＋3λ)， 即(－2λ－2,2＋λ－5,3＋3λ－2)·(－2,1,3)＝0， 即－2(－2λ－2)＋λ－3＋3(1＋3λ)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AC，交BD于点O，连接OP，由题意得OA，OB，OP两两垂直，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是所在棱的中点.求证：EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点. 所以EG綊HF. 所以四边形EGFH为平行四边形，其对角线EF， GH相交于一点O，且O为它们的中点. 连接OP，OQ，GP，HQ. 只要能证明向量 就可以说明P，O，Q三点共线，且O为PQ的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接EH，GF，EG，HF(图略). 因为E，G分别为AB，AC的中点， 又因为O为GH的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以PQ经过点O，且O为PQ的中点. 综上所述，EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点. 提示　在空间中，我们取一定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，向量就是点P的位置向量. 1.设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量.   则即是所求作的一个方向向量， ∴是直线EO的一个方向向量.     ∴PA∥GH，∴是直线GH的一个方向向量. A. B. C. D. 且3||＝||， 由题意得＝(－2，－6，－2). ∵C为线段AB上一点，且3||＝||， ∴＝， ∴＝＋＝(4,1,3)＋(－2，－6，－2)＝.   A. B. C.(－2,2,0) D.(2，－2,0) 得＝(－1,1,0)， 则＝(－λ，λ－1，－1). ∴·＝0， 即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H. 提示　＝λ. ＝， ＝＋＝－＝－2， ∴＝(－2)＋＝＋. 又＋＝1，故C1，O，M三点共线. 则＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝＋. ∵＝2， (1)存在实数t，使得＝t，即∥. (2)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y (其中x＋y＝1). ＝＋x＋y， A.－ B. C. D.－ ＝λ＋(1－λ) ＝＋＋成立， 所以＝，解得λ＝， 所以x＝y＝，所以x＋y＝. ∴C. 设C(0，a，b)，则∥，  ＝(－2，a－1，b－3)，＝(－3,2，－2)， ∴＝＝，解得a＝，b＝， 且＝(1,1,3)， A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k   得解得 设B(x，y，z)，由＝2a，  ＝(x－1，y＋2，z－0)＝2(－3,4,12)， 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， 因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)， ∴解得 ∴y－z＝0. ∴＝(－1,2－y，z－3)， 故设＝km. 由题意得a∥b，所以 4.已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 ∵＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b， ∴＝－2， 6.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为 A.(18,17，－17) B.(－14，－19,17) C. D. 则＝λa(λ>0)， 因为||＝34， 即＝34，解得λ＝2， 7.已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝， 则点C的坐标为______________. 即 所以＝＝， 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， 当时，b＝(1,2,3)＝a， a与b同向，所以 9.已知点A(1，－2,0)和向量a＝(－1,2,3)，求点B的坐标，使向量与a同向，且||＝2. ∵向量与a同向，且||＝2， ∴ 10.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，求直线AE的一个方向向量. 故直线AE的一个方向向量是a＋b＋c(答案不唯一).  ＝＋ ＝＋＋(－) ＝＋＋(－－) ＝＋＋ ＝a＋b＋c， 11.(多选)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则点Q的坐标为 ∵∥， ∴＝3或＝－3， 即或解得或  ＝(m－1,1，m－2n－3)，  ＝(2，－2,6)， 因为∥， 所以＝＝， 由题意得，＝， 即解得 由题意得∥， 设＝λ，设空间一点O(0,0,0)， 则＝＋λ＝(0,2,3)＋λ(－2,1,3) 由⊥，得·＝0， 解得λ＝－，∴M. 14.如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，则直 线AE，AD的一个方向向量分别为________，___________.(答案不唯一) b＋c a＋b＋c  ＝＋＝＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量为b＋c.  ＝＋＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. 15.如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，  ＝λ.若MN⊥AD，则实数λ＝_____. 设PA＝AB＝2，则A(，0,0)，D(0，－，0)，  M，B(0，，0)，＝(0，－2，0)，  ＝(－，－，0)，设N(0，b,0)， 则＝(0，b－，0)， ∴b＝－2λ， ∵＝λ， ∴b－＝－2λ， ∴N(0，－2λ，0)， ∴＝， ∵MN⊥AD，∴·＝0， 即－×(－)＋(－2λ)×(－)＋0×＝0，解得λ＝. ＝－， 所以EG綊BC，同理HF綊BC， 因为＝＋，＝＋， 所以＋＝0. 又GP綊CD，QH綊CD， 所以＝，＝， ＝0＋－＝0. 则＋＝＋＋＋ 所以＝－. $