第三章 1.1 点在空间直角坐标系中的坐标（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，涵盖坐标系概念、点的坐标表示及对称问题。以吴文俊先生关于几何代数化的论述为导语，通过类比数轴、平面直角坐标系中点的位置确定，搭建从二维到三维的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和类比迁移培养数学眼光，结合正方体、正四棱锥等几何体例题发展空间观念，通过对称问题解析和建系原则总结强化数学思维。资料包含知识梳理、分层练习及反思感悟，助力学生提升逻辑推理能力，也为教师提供系统教学资源。

第三章 <<< 1.1　点在空间直角坐 标系中的坐标 1.了解空间直角坐标系. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标. 学习目标 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过 数量关系，我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”， 也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得 空间几何“代数化”，因此我们引入了坐标及其运算. 导 语 一、空间直角坐标系 二、点在空间直角坐标系中的坐标 课时对点练 三、空间点的对称问题 随堂演练 内容索引 空间直角坐标系 一 提示　在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点的位置. 在数轴上确定点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点的位置需要几个实数？ 问题1 空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴： 、 和 ，这样就建立了一个空间直角坐标系 .点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面. x轴 y轴 z轴 O－xyz xOy yOz zOx 知识梳理 (1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分. (2)将x轴和y轴放在水平面上. (3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合. (4)建立的坐标系一般为右手系. 注 意 点 <<< 8 二 点在空间直角坐标系中的坐标 如果点P是空间直角坐标系O－xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？ 问题4 提示　类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可. 空间中点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用 的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z). 三元有序实数组( )叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P( )，其中 叫作点P的横坐标， 叫作点P的纵坐标， 叫作点P的竖坐标. 唯一 x，y，z x，y，z x y z 知识梳理 11 点的位置对应坐标的形式 注 意 点 <<< 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 12 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，D1的坐标分别为________________； ②棱C1C中点的坐标为__________； ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为__________. 例 1 (0,0,0)，(0,1,1) 13 (2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 14 ∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 以正四棱锥的底面中心O为原点，平行于BC，AB的 直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2 ). 答案不唯一. 15 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. (2)某点坐标与建系的方式有关，建系不同，坐标不同. 反 思 感 悟 16 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标. 以BC的中点O为原点，BC所在直线为y轴，射线OA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 跟踪训练 1 (答案不唯一) 17 空间点的对称问题 三 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； 例 2 由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4). 19 (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4). 20 (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标. 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 21 反 思 感 悟 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 空间点的对称问题的解题策略 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为__________. (2，－3,1) 点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1). 跟踪训练 2 23 1.知识清单： (1)空间直角坐标系的概念. (2)点在空间直角坐标系中的坐标. (3)空间点的对称问题. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是 A.(－1,3，－5) B.(1,3,5) C.(1，－3,5) D.(－1，－3,5) √ 1 2 3 4 2.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到yOz平面的距离是 A.1 B.2 C.3 D. √ 点到yOz平面的距离就是点的横坐标的绝对值. 由两个点关于x轴对称，得这两个点的横坐标相同，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7. 3.已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为 A.λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B.λ＝2，μ＝－4，v＝－5 C.λ＝2，μ＝10，v＝8 D.λ＝2，μ＝10，v＝7 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 4.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的空间直角坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为______________________________. (2,2,0)，(0,2,0)，(0,2,1)，(2,0,4) 课时对点练 五 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0).故A错误，B，C，D正确. 1.(多选)下列命题中正确的是 A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D.在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a,0，c) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.在空间直角坐标系O－xyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为 A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2,4) C.(1,2，－4) D.(1,2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 关于y轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). 3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称. 4.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3) A.关于xOy平面对称 B.关于zOx平面对称 C.关于yOz平面对称 D.关于x轴对称 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为 √ 6.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在zOx平面上的投影的坐标为 A.(4,0,6) B.(－4,7，－6) C.(－4,0，－6) D.(－4,7,0) √ 点M的坐标是(4,7,6)， 点M关于y轴对称的点为M′(－4,7，－6)， 点M′在zOx平面上的投影的坐标为(－4,0，－6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1).或过点(－1,0,0)，(0，－1,0)，(0,0，－1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1). 7.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为_______________________. (1,1,1)或(－1，－1，－1) 8.点P(－3,2，－1)关于zOx平面的对称点是________________，关于x轴的对称点是____________，关于点M(1,2,1)的对称点是________. (－3，－2，－1) (－3，－2,1) (5,2,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点P关于zOx平面对称后，纵坐标变为相反数，其他不变，故对称点坐标为(－3，－2，－1)； 点P关于x轴对称后，横坐标不变，纵、竖坐标变为相反数，故对称点坐标为(－3，－2,1)； 设点P关于M(1,2,1)的对称点坐标为(x，y，z)， 所以x＝5，y＝2，z＝3，即点P关于点M(1,2,1)的对称点是(5,2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D′(0,0，a)，A′(a,0，a)，B′(a，a，a)，C′(0，a，a)， ∵E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在空间直角坐标系O－xyz中，作出点M(6，－2,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　如图所示，从原点O出发沿x轴正方向平移 6个单位长度得到点M1， 再将点M1沿y轴负方向平移2个单位长度得到点M2， 然后将点M2沿z轴正方向平移4个单位长度即得点M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图，先在xOy平面内确定点M′(6，－2,0) 的位置，因为点M在z轴上的坐标为4， 所以|MM′|＝4，且MM′平行于z轴，点M和z轴的正 半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点M的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三　如图，以原点O为一个顶点，构造三条棱长分别为6,2,4的长方体，使此长方体交于点O的棱长分别为6,2,4的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴和z轴正半轴上， 则长方体上与顶点O相对的顶点为所求的点M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 连接BD(图略)，点P在xDy平面内的投影落在BD上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是 A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8，－3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确； B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)， 故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误； 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为 √ 连接AC，BD交于点P(图略)， 则P为AC与BD的中点， 再由B(2，－5,1)，求得点D的坐标为(5,13，－3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，点M为DC′的中点，D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，则点M的坐标为(1，－2,1)， 所以点M关于y轴对称的点的坐标为(－1，－2，－1). 14.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，CD′与DC′交于点M，则点M关于y轴对称的点的坐标为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－1，－2，－1) 15.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B的 坐标为______________，点A的坐标为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)， 设点E的坐标为(x，y,0)， 即2x＋y－4＝0， ∵DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴正四棱锥的高为2. 由题意知，|AO|＝， 从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)， C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3). 设点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，由题图知，它们在坐标轴上的坐标分别是，5,4，故点P的坐标是. A.(3,5,4) B. C. D. A. B.3 C. D. 在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为＝. 则＝1，＝2，＝1， ∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标分别为E，F，G，H，I，J. 11.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝|BD′|，则点P的坐标为 A. B. C. D. ∵|BP|＝|BD′|， ∴Px＝Py＝，Pz＝，故P. 在长方体中，|AD1|＝|BC1|＝＝5＝|AB|， A. B.(2,3,1) C.(－3,1,5) D.(5,13，－3) 由A，C两点坐标求得中点P， 由题意可知，|BG|＝|BE|＝×＝， |AG|＝＝， 则B，A. 在xDy平面内，直线AC的方程为＋＝1， 由得 ∴E. $