3.1.1 点在空间直角坐标系中的坐标-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系的建立、点的坐标表示及对称问题，通过“飞机位置确定”情境导入，衔接平面直角坐标系，以情境导学、例题解析等为支架，引导学生从具体到抽象构建知识体系。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与逻辑推理素养，如用长方体模型确定点位置培养直观想象，对称点坐标推导培养逻辑推理。含丰富例题与分层练习，小结结构化，助学生提升空间观念，教师可实施差异化教学。

第三章　空间向量与立体几何 §1　空间直角坐标系 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 学习任务 核心素养 1．了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．(重点) 2．会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置．(重点、难点) 1．通过对空间直角坐标系的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画，培养直观想象与逻辑推理素养． 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 飞机在空中飞行时，只给飞机在地面的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？在空间中，如何确定点的位置？ 必备知识·情境导学探新知 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1．空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系： 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：_______________，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz． x轴、y轴和z轴　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 (2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则： ①伸出右手，让四指与大拇指垂直． ②四指先指向__轴正方向． ③让四指沿_____方向旋转90°指向y轴正方向． ④_______的指向即为z轴正方向． x　 握拳　 大拇指　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 (3)有关名称 如图所示， ①点__叫作坐标原点． ②__________统称为坐标轴． ③通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面．_______确定的平面记作xOy平面，_______确定的平面记作yOz平面，_______确定的平面记作xOz平面． O　 x，y，z轴　 x，y轴　 y，z轴　 x，z轴 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 2．空间直角坐标系中点的坐标 (1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个_______________来表示． (2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的__坐标，y叫作点P的__坐标，z叫作点P的__坐标． (3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组_________． 三元有序实数组　 横 纵　 竖　 一一对应 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 思考　如何确定空间中点P的坐标？ [提示]　过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于点A，B，C，若点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 × √ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是的形式． (　　) (2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是的形式． (　　) (3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)． (　　) (4)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于坐标原点O的对称点为(－1，－，－2)． (　　) √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 2．点A(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是(　　) A．y轴上　 B．xOy平面上 C．xOz平面上 　 D．yOz平面上 √ C　[注意到y＝0，可知点A在xOz平面上．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 关键能力·合作探究释疑难 类型1　根据点的坐标确定点的位置 【例1】　在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)． [解]　法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)． 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 反思领悟　1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置． 2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 [跟进训练] 1．在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)． [解]　如图，在xOy平面内确定点M1(2，3，0)，作M1M平行于z轴，在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为(2，3，4)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 类型2　已知点的位置写出点的坐标 【例2】　已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标． (1)　　 　　　　(2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 [解]　(1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，正方体的棱长为1， 所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)． 因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)． 同理，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)． 因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′(1，1，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 (2)因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1， 所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)， D(0，0，－1)，D′(0，0，0)． 同(1)得B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 [母题探究] 把本例中正方体的棱长变为，且建立如图所示 的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标． [解]　依题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1， ∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)． ∵AA′⊥平面xOy，且|AA′|＝，∴A′(1，0，)， B′(0，1，)，C′(－1，0，)，D′(0，－1，)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 反思领悟　1．已知点M的位置，求其坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x轴坐标，y轴坐标，即点M的x轴坐标，y轴坐标，再求点M在z轴上投影的z轴坐标，即点M的z轴坐标，于是得到点M的坐标(x，y，z)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R． 分类 坐标轴 坐标平面 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 坐标 形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 类型3　空间中点的对称问题 角度1　关于点对称 【例3】　点M关于点(a，b，c)的对称点的坐标为___________________________． [思路点拨]　类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点． 　 　[由中点坐标公式得，点M关于点(a，b，c)的对称点的坐标为M′．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 角度2　关于坐标轴对称 【例4】　求点M(a，b，c)关于坐标轴的对称点的坐标． [思路点拨]　从分析对称点的性质入手． [解]　关于x轴的对称点M0的坐标为(a，－b，－c)，关于y轴的对称点M1的坐标为(－a，b，－c)， 关于z轴的对称点M2的坐标为(－a，－b，c)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 角度3　关于坐标平面对称 【例5】　求点M(a，b，c)关于坐标平面的对称点的坐标． [思路点拨]　从分析对称点的性质入手． [解]　点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 反思领悟　1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点： 2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 [跟进训练] 2．在空间直角坐标系中，点P与Q(1，－1，－1)两点间的位置关系是(　　) A．关于x轴对称　 B．关于xOz平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 √ A　[点P与Q两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 3．点M(a，b，c)关于原点的对称点的坐标为_________________． (－a，－b，－c)　[关于原点对称的点M的坐标为(－a，－b，－c)．] (－a，－b，－c)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 4．在空间直角坐标系中，点P1关于xOy平面的对称点为点P2，点P2关于yOz平面的对称点为点P3，点P3关于zOx平面的对称点为点P4，则点P4的坐标为_________________． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．点Q(0，0，3)的位置是(　　) A．在x轴上　 　　 B．在y轴上 C．在z轴上 　 D．在面xOy内 C　[只有竖坐标不为0，显然在z轴上．] 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 2．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是(　　) A． 　 B． C．(－12，3，5) 　 D． √ B　[中点x＝＝，y＝＝2，z＝＝3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点P在直线DB1上，则x，y，z所满足的条件是(　　)  A． 　 B． C．　 D．x＝y＝z √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 4．点P1(－1，1，4)关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为______________． (1，1，－4)　[P1(－1，1，4)⇒P2(1，1，4)⇒P3(1，1，－4)．] (1，1，－4)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 5．在平行四边形ABCD中，已知点A(1，0，0)，B(3，1，2)，C(0，－2，1)，求D点坐标． [解]　可设D(x，y，z)， 由A，C的中点与B，D的中点重合得， ＝＝＝， 所以x＝－2，y＝－3，z＝－1， 故D点坐标为(－2，－3，－1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1．确定空间定点M的坐标的步骤 (1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P，Q和R． (2)确定P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z． (3)得出点M的坐标为(x，y，z)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤 (1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P，Q，R． (2)过P，Q，R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面． (3)三个平面的唯一交点就是M． 3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是(1)要根据图形对称性建立空间直角坐标系；(2)要使尽量多的点落在坐标轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 课时分层作业(十八)　点在空间直角坐标系中的坐标 一、选择题 1．点P(0，2，0)在(　　) A．x轴上　　 B．y轴上 C．xOy平面内 　 D．yOz平面内 B　[由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．] 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是(　　) A．|a| 　 B．|b| C．|c| 　 D．以上都不对 √ B　[设点P在面xOz的投影为P′，则|PP′|＝|b|．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为(　　) A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5 C．λ＝2，μ＝10，v＝8 D．λ＝2，μ＝10，v＝7 √ D　[两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 4．点P(1，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为(　　) A．(0，0，) 　 B．(0，) C．(1，0，) 　 D．(1，，0) √ D　[由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，，0)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 5．长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是 (　　) A．(0，－2，－1) 　 B．(x，－2，z) C．(－3，－2，－1) 　 D．(－3，y，z) √ B　[DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的纵坐标都是－2，而横、竖坐标可取任意实数．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 二、填空题 6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为__________． (0，2，1)　[∵C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．] (0，2，1)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的投影的坐标_________，__________，__________． (2，0，0)　(0，3，0)　(0，0，4)　[P(2，3，4)在x轴上的投影为(2，0，0)，在y轴上的投影为(0，3，0)，在z轴上的投影为(0，0，4)．] (2，0，0)　 (0，3，0) (0，0，4) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 8．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述： ①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)． 其中正确命题的序号是________． ④ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 三、解答题 9．如图，在棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　因为OB′与BD′相交于点Q， 所以点Q在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点， 所以Q的坐标为． 同理可知点Q在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点， 所以点Q的坐标为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　长方体的对称中心为坐标原点O， ∵顶点A(－2，－3，－1)． ∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)． 又∵C与C1关于坐标平面xOy对称， ∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称， ∴A1(－2，－3，1)．又∵C与D关于坐标平面yOz对称，∴D(－2，3，－1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 ∵B与C关于坐标平面xOz对称， ∴B(2，－3，－1)．又∵B1与B关于坐标平面xOy对称， ∴B1(2，－3，1)． 同理，D1(－2，3，1)． 综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 47 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 11．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，4，－5)两点间的位置关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 B　[点P(3，4，5) 与Q(3，4，－5) 两点的横、纵坐标相同，而竖坐标互为相反数，所以两点关于xOy平面对称．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 12．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是(　　) A．z轴 B．与平面xOy平行的一直线 C．平面xOy D．与平面xOy垂直的一直线 √ D　[(2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 13．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影的坐标是_______________，点M(－2，4，－3)关于原点对称的点的坐标是________________． (－2，0，－3)　(2，－4，3)　[点M在xOz平面上的投影为(－2，0，－3)，点M(－2，4，－3)关于原点对称的坐标为(2，－4，3)．] (－2，0，－3)　 (2，－4，3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 14．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系． ∵点E在z轴上，且为D1D的中点，∴点E坐标为． 过F作FM⊥AD，FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝，故点F坐标为 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 ∵点G在y轴上，又|GD|＝， ∴点G坐标为． 过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点， 故|HK|＝，|CK|＝， ∴|DK|＝，故点H的坐标为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 53 $