第一章 再练一课(范围：§2)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆的方程与位置关系，从圆的标准方程切入，通过对称圆、直线与圆相切相交、圆与圆位置关系等知识点，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 其亮点是题型分层且解析注重数学思维，如通过圆心对称培养几何直观（数学眼光），利用圆心距判断外离发展推理能力（数学思维），台风侵袭问题建立模型体现应用意识（数学语言）。学生能夯实基础提升能力，教师可高效开展分层教学。

第一章 <<< 再练一课(范围：§2) 因为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心为(－1,2)，半径为3，且(－1,2)关于直线x－y＝0的对称点为(2，－1)，所以所求圆的圆心为(2，－1)，半径为3，即所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 一、单项选择题 1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是 A.(x＋2)2＋(y－1)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝3 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝3 D.(x－2)2＋(y＋1)2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是 A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 将两圆方程分别化为标准方程得到圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9， 则圆心距大于半径之和，故两圆外离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点P(2,1)且被该圆所截得的弦长为 的直线有 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设圆心O(a,0)(a<0)， ∴|a|＝5，∴a＝－5. ∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于 A.－3或3 B.57 C.－3或57 D.3或57 √ 由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切. 因为A(1,0)，B(1,6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9， 圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m. 因为两圆相切， 解得m＝57或m＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.点P在直线2x＋y＋10＝0上，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为 A.24 B.16 C.8 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为切线长PA，PB的长度相等， 所以四边形PAOB的面积为△APO面积的2倍. 因为PA⊥AO， 所以要求四边形PAOB面积的最小值， 应先求|PA|的最小值. 当|OP|取最小值时，|PA|取最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为圆x2＋y2＝4的半径r＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于B，若k＝4，则圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，因为过点M(3,4)的直线与圆C相交所得的弦长为 ，则圆心C(2，－1)到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，满足条件，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0 C.两圆的公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0 8.若点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝4. 因为|C1C2|＝ ＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以B，C选项不正确，D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知直线l：ax－y－3a＝0上存在相距为4的两个动点A，B，若圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝4上存在点P，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则实数a的值可以为 A.－2 B.－1 C.0 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 根据题意，若△PAB为等腰直角三角形， 其中P为直角顶点且|AB|＝4， 又圆C的半径为2，则圆心C(－1,4)到直线l：ax－y－3a＝0的距离d≤4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]. 由题意得圆心A(1,1)，半径r＝|AB|＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.过点P(3,5)引圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4的切线PB(B为切点)，则切线长为________. 4 11.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则 a＝______. 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆心为(1,4)，因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为－1≤x0≤1， 此时x0＝－1. 因为点A(x0，y0)在圆C1上， 12.已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)外切，则r的值为_____，若点A(x0，y0)在圆C1上，则 －4x0的最大值为______. 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线l可变形为y－1＝m(x－1)， 所以定点(1,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R). (1)判断直线l与圆C的位置关系； 由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m， 此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离 (2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点. (1)求线段PQ的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由圆O与圆C方程相减，得弦PQ的方程为3x＋y－3＝0. (2)记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求△MNC面积最大时的直线NM的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当∠MCN＝90°时，S△MNC取得最大值. 此时MC⊥NC，又kCM＝1，则直线NC为y＝－x＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得N(1,3)或N(5，－1). 当点N为(1,3)时，kMN＝－3，此时MN的方程为3x＋y－6＝0； 综上，MN的方程为3x＋y－6＝0或x＋3y－2＝0. 15.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A (看作一点)的东偏南θ角方向300千米的海面P处 ，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆 形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不 断增大. (1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理 由( ≈9.22)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 此时台风的半径为60＋10t， 因为r<|PA|，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. 如图，建立平面直角坐标系，则城市A(0,0)， 设t小时后台风中心P的坐标为(x，y)，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t小时后台风侵袭的范围可视为以 60＋10t为半径的圆， 若城市A受到台风侵袭，则 即300t2－10 800t＋86 400≤0，即t2－36t＋288≤0， 解得12≤t≤24. 故该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则圆心C1(m,0)，C2(－1，m)，半径r1＝2，r2＝3，两圆的圆心距|C1C2|＝＝>＝5＝2＋3， 圆C：x2＋y2－4x＝0的圆心为C(2,0)，半径为2，易知点P在圆内，则  PC所在弦长最大，此时为直径4，与PC垂直的弦长最短，则弦长l＝2＝2＝2，所以该圆所截得的弦长为2的直线有且只有一条. 2 4.若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是 A.(x－)2＋y2＝5 B.(x＋)2＋y2＝5 C.(x－5)2＋y2＝5 D.(x＋5)2＋y2＝5 则＝， 所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|， |OP|的最小值为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离d＝＝2， 所以|PA|的最小值为＝4. 所以四边形PAOB面积的最小值S＝2S△APO＝2××|PA|×|AO|＝4×2＝8. 7.关于圆C：x2＋y2－kx＋2y＋k2－k＋1＝0，下列说法正确的是 A.k的取值范围是k>0 B.若k＝4，过点M(3,4)的直线与圆C相交所得的弦长为2，则直线方 程为12x－5y－16＝0 C.若k＝4，则圆C的半径是4 D.若k＝4，m>0，n>0，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，则＋≥8 恒成立 2 对于A，由方程表示圆可得(－k)2＋4－4>0，解得k>0，故A正确； 对于D，因为直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，所以2m＋n－1＝0，即2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号，故D正确. A.两个圆的圆心所在直线的斜率为－ 两个圆的圆心所在直线的斜率为＝－，所以A选项正确； 则P到AB的距离为＝2， 即有≤4， |AP|＝＝2， 在Rt△ABP中，|PB|＝＝＝4，则切线长为4. － 所以＝1，解得a＝－. 所以x＋y＝1，所以x＋y－4x0＝1－4x0， 所以x＋y－4x0的最大值为5，  x＋y 由于两圆外切，所以＝r＋1，即r＝4. 因此直线l过定点(1,1)，又＝1<， 又k＝tan 120°＝－，即m＝－. d＝＝， 又圆C的半径r＝， 所以|AB|＝2＝2＝. 圆心O(0,0)到直线PQ的距离d＝， ∴|PQ|＝2＝. ∵|MC|＝，|NC|＝2. ∴S△MNC＝|MC||NC|sin∠MCN＝2sin∠MCN， 当点N为(5，－1)时，kMN＝－，此时MN的方程为x＋3y－2＝0. 由 10小时后，|PA|＝≈184.4(千米)，台风的半径r＝160(千米)， 当前台风中心P(30，－210)，  P(30－10t，－210＋10t)为圆心， ≤60＋10t， $