第一章 再练一课(范围：1.5～1.6)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线方程及应用，涵盖平行垂直距离、对称问题、交点坐标、向量结合等核心知识点，通过基础题（如平行直线距离计算）到综合题（如反射光线路径求解）的递进设计，搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以几何直观（如四边形OMPN面积分析）、逻辑推理（两直线垂直证明）和模型应用（反射光线对称点转化）培养核心素养，题目解析含陷阱提示与步骤拆解，如第8题推导交点坐标求最值，助力学生归纳方法。学生能提升数学思维，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

第一章 <<< 再练一课(范围：1.5～1.6) 一、单项选择题 1.两平行直线x－5y＝0与x－5y－26＝0之间的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2.若过点P(1，－1)且斜率为k的直线l与直线y＝－2x＋3的交点位于第一象限，则k的取值范围是 A.(－4,2) B.(－∞，－4]∪[2，＋∞) C.(－∞，－4)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由题知直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，显然k≠－2. 将其与y＝－2x＋3联立得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得k<－4或k>2. 故k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.两直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 A.－24 B.6 C.±6 D.±24 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵两直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，∴k≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为 √ 则直线AB与直线ax＋y＋b＝0垂直，直线ax＋y＋b＝0的斜率是－a， 所以(－a)·(－2)＝－1， 线段AB的中点(1,2)在直线ax＋y＋b＝0上， 则a＋2＋b＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.设A，B是y轴上的两点，点P的纵坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x＋y－7＝0，则直线PB的方程是 A.x＋y＋5＝0 B.2x－y－1＝0 C.x－y＋1＝0 D.x－y－3＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为点P在直线PA上，所以x＋2－7＝0， 解得x＝5，即点P的坐标为(5,2). 由题意知PA与y轴的交点为A，所以点A的坐标为(0,7)， 又|PA|＝|PB|，点B在y轴上，所以点A，B关于直线y＝2对称，所以点B的坐标为(0，－3)， 所以直线PB的方程为y－(－3)＝x－0， 即x－y－3＝0. 6.在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：x－my＋2m－1＝0，l2：mx＋y－m－2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则直线l1过定点(1,2)，同理可知，直线l2过定点(1,2)， 所以直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1,2)，易知， 直线l1⊥l2，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设|OM|＝a，|ON|＝b， 则a2＋b2＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为 A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0 C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 8.已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是 A.无论a为何值，l1与l2都互相垂直 B.当a变化时，l1与l2分别经过定点(0,1)和(－1,0) C.无论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D.若l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是 (O是坐标原点) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，a×1＋(－1)×a＝0，故l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化，x＝0时，y＝1恒成立，所以l1恒过定点(0,1)； l2：x＋ay＋1＝0，当a变化，y＝0时，x＝－1恒成立，所以l2恒过定点(－1,0)，故B正确； 对于C，在l1上任取一点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，得2ax＝0，不满足无论a为何值，2ax＝0成立，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当且仅当a＝0时等号成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是 A.斜边AB的中点坐标是(3,2) B.|AB|＝ C.△ABC的面积等于4 D.点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 如图，取AB的中点为P(x，y)， 因为△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形， 所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1， 则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设点C关于直线AB的对称点为点C1， 则CC1的中点为点P，即xP＝ ＝3， 所以 ＝4，所以 ＝－1，解得 ＝1， 即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.点P(sin θ， cos θ)到直线x＋y＋8＝0的距离的最小值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.直线l过点(1,0)且被两条平行直线l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为 ，则直线l的方程为______________. x－3y－1＝0 即x－3y－1＝0. 所以l与l1垂直， 由l1的斜率k1＝－3知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知点O(0,0)，A(4,0)，B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2,0)，则反射光线所在直线的方程为____________，若从点M(m，0)，m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到 点M，则光线所经过的路程是__________.(结果用m表示) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x－2y＋2＝0 故P′(4,3)，又Q(－2,0)， 设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P′(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x－2y＋2＝0. 点M(m,0)，m∈(0,4)关于y轴的对称点为P″(－m，0)， 设点M(m,0)，m∈(0,4)关于直线AB的对称点为P(x1，y1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.(1)求经过两直线x－3y－2＝0和2x＋y＋3＝0的交点且与直线x＋3y－2＝0平行的直线l的方程； 所以交点坐标为(－1，－1). 因为直线l与直线x＋3y－2＝0平行， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x＋3y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即4x＋3y－6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二　设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 14.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0. (1)求直线l1与l2的交点坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设B(x0，－3－x0)， 则A(6－x0,3＋x0)， 把点A(6－x0,3＋x0)代入l1的方程2x－y－2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即直线l方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 15.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以C(4,3). 因为AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，所以kAC＝－2， 又因为点A(5,1)， 所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0. 又因为AB边上的中线CM所在直线方程为 2x－y－5＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设B(m，n)， 即2m－n－1＝0. 又点B(m，n)在高BH所在直线上， 所以m－2n－5＝0. (2)直线BC的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以B(－1，－3). 即6x－5y－9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.2 B. C.5 D.3 两平行直线之间的距离d＝＝. 解得 故交点坐标为. 因其在第一象限，则 令x＝0，可得y＝＝，解得k＝±6. A.1,3 B.－，－ C.－2,0 D.，－  kAB＝＝－2，若点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax＋y＋b＝0对称， 得a＝－. 得b＝－，故选B. kPB＝＝1， A.3 B. C.5 D. 将直线l1的方程变形得x－1＋m(2－y)＝0，由得 且|OP|＝＝， 因此，四边形OMPN面积的最大值为. 当且仅当 即当a＝b＝时，等号成立， 四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤＝， 则＝2， 所以|MO|的最大值是，故D正确. 对于D，联立解得 即M， 所以|MO|＝＝≤， 2 则kCP＝＝－1，且x－y＝1， 解得 |CP|＝＝，|AB|＝2|CP|＝2，故B正确； 所以S△ABC＝|AB||CP|＝×2×＝2，故C错误； d＝＝≥＝3， 3 所以当sin＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取得最小值3. 点P(sin θ，cos θ)到直线x＋y＋8＝0的距离 l的斜率k＝， 所以l的方程为y＝(x－1)， 由平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d＝＝， 而l被l1，l2截得的线段长恰好为， ∴解得 则kP′Q＝＝， ∴直线P′Q：y－0＝(x＋2)， 由 解得故P(4,4－m). 故|P″P|＝＝. 由解得 所以直线l的斜率为－， 所以直线l的方程为y＋1＝－， 因为l3的斜率为，且l⊥l3， 由斜截式，可知l的方程为y＝－x＋2， 方法一　解方程组得P(0,2). 所以直线l的斜率为－， 所以直线l1与l2的交点坐标为. 由得 (2)过点P(3,0)作直线l与直线l1，l2分别交于点A，B，且满足＝，求直线l的方程. 由＝可知，点P是线段AB的中点， 得2(6－x0)－(3＋x0)－2＝0，解得x0＝， 所以B， 所以kl＝＝8， 由得 所以2×－－5＝0， 则AB的中点M在中线CM所在直线上， 所以直线BC的方程为＝， 由解得 $