第一章 再练一课(范围：1.1～1.4)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率、方程及位置关系，从基础概念出发，逐步过渡到直线方程的多种形式，再到平行垂直关系、定点问题及三角形中的综合应用，构建连贯知识链作为学习支架，帮助学生系统掌握解析几何初步内容。 其亮点在于通过分层题型和多解法设计，培养数学思维与几何直观。如第4题用点斜式与截距式分类讨论直线过原点情况，第5题结合定点分析斜率范围，第15题用基本不等式解决面积最小值问题，体现数学眼光观察、思维推理和语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第一章 <<< 再练一课(范围：1.1～1.4) 一、单项选择题 1.直线3x－ y＋1＝0的倾斜角是 A.30° B.60° C.120° D.135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2.设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若直线PA的斜率是直线PB的斜率的两倍，则点P的坐标为 A.(－2,0) B.(－5,0) C.(2,0) D.(5,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3.若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为 A.3x＋2y－1＝0 B.2x＋3y－1＝0 C.3x＋2y＋1＝0 D.2x－3y－1＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知直线l过点(1,2)，且在y轴上的截距为在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为 A.2x－y＝0 B.2x＋y－4＝0 C.2x－y＝0或x＋2y－2＝0 D.2x－y＝0或2x＋y－4＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线l的方程为kx－y－k＋1＝0， 即y－1＝k(x－1)， 所以直线l过定点C(1,1)， 根据A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l与线段AB相交，可作出图象，如图所示. 6.若点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外的一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示 A.过点P且与l平行的直线 B.过点P且与l垂直的直线 C.不过点P且与l平行的直线 D.不过点P且与l垂直的直线 √ ∵点P(x0，y0)不在直线l：Ax＋By＋C＝0上， ∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不过点P，易知直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知直线l：x－ay＋1＝0(a∈R)，则下列说法正确的是 A.直线l过定点(－1,0) B.直线l一定不与坐标轴垂直 C.直线l与直线l′：－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行 D.直线l与直线l′：ax＋y＋m＝0(m∈R)一定垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，l：x－ay＋1＝0(a∈R)整理为ay＝x＋1，恒过定点(－1,0)，故A正确； 当a＝0时，直线l与x轴垂直，故B错误； 当m＝－1时，两直线重合，故C错误； 因为1×a＋1×(－a)＝0，故直线l与直线l′一定垂直，故D正确. 8.下列说法正确的有 A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B.任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C.过点(2，－1)，斜率为－ 的直线的点斜式方程为y＋1＝－ (x－2) D.直线的斜率越大，倾斜角越大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，选项A正确； 对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.△ABC的三个顶点坐标为A(4,0)，B(0,3)，C(6,7)，下列说法中正确的是 A.边BC与直线3x－2y＋1＝0平行 B.边BC上的高所在的直线的方程为3x＋2y－12＝0 C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0 D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3,5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 两直线不平行，A错误； 即3x＋2y－12＝0，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x＋y－13＝0， 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为(3,5)，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.已知直线l的倾斜角为150°，则直线l的一个方向向量的坐标为 ______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰三角形的直线方程为____________ ___________. 经过点(2,1)且与两坐标轴围成等腰三角形的直线的斜率为±1，故所求直线的方程是y－1＝±(x－2)，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. x－y－1＝0 x＋y－3＝0或 ∵当b＝0时，A，O，B三点重合，构不成三角形， ∴b≠0，∴－1≤b<0或0<b≤1. 12.已知直线y＝ x＋b与x轴、y轴的交点分别为A，B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－2b. ∵△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1， [－1,0)∪(0,1] ∴直线AB的方程为y＝3x－2， 即3x－y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求： (1)直线AB的方程； 由直线过点C(－2,3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)AB边上的高所在直线的方程； 即x＋3y－7＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)AB的中位线所在的直线方程. 即6x－2y＋7＝0. 14.已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)， 求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)如图，当∠A＝∠D＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AB∥DC，且AD⊥AB. ∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，当∠A＝∠B＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC，且AB⊥BC， ∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R). (1)求证：无论k取何值，直线l始终经过第一象限； 因为直线l：kx－y＋1－2k＝0， 即y－1＝k(x－2)， 当x－2＝0，即x＝2时，y＝1， 即直线l过定点(2,1)且在第一象限， 所以无论k取何值，直线l始终经过第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 方法一　因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，所以k<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为k<0，所以－k>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以S≥4，从而S的最小值为4， 即x＋2y－4＝0. 方法二　因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点， 设A(a,0)，B(0，b)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又因为a>0，b>0， 所以ab≥8，所以S≥4，即S的最小值为4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 设点P的坐标为(x,0)，由题意知，kPA＝，kPB＝，则＝2×，解得x＝－5，即点P的坐标为(－5,0). 因为2x－3y＋4＝0的斜率k＝，所以kl＝－，由点斜式可得y－2＝－(x＋1)，即所求直线方程为3x＋2y－1＝0. 方法一　由题意知直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y－ 2＝k(x－1)，则直线l在y轴上的截距为2－k，在x轴上的截距为1－，∴2－k＝2，解得k＝±2.∴直线l的方程为2x－y＝0或2x＋  y－4＝0. 方法二　当直线l过原点时，方程为y＝2x，即2x－y＝0，符合题意；当直线l不经过原点时，设其方程为＋＝1，代入点(1,2)，得a＝2，此时方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.综上，直线l的方程为2x－y＝ 0或2x＋y－4＝0. A.k≥或k≤－4 B.k≥或k≤－ C.－4≤k≤ D.≤k≤4 所以直线l的斜率k的取值范围为k≥或k≤－4. 因为kCA＝＝－4，kCB＝＝， 对于C，由点斜式知，过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式为  y＋1＝－(x－2)，所以选项C正确； 对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在内，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0，π)内，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项D错误. 直线BC的斜率为＝， 而直线3x－2y＋1＝0的斜率为，  BC边上的高所在直线的斜率为－， 直线方程为y＝－(x－4)， 过原点时方程为y＝x，即7x－6y＝0，C错误； (答案不唯一) 由直线l的倾斜角为150°，得直线l的斜率k＝tan 150°＝－，所以直线l的一个方向向量的坐标为(答案不唯一). ∴△AOB的面积S＝|b|·|－2b|＝b2≤1. 由已知得直线AB的斜率kAB＝＝3， 设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m， ∴3＝＋m，解得m＝， 故所求直线方程为y＝－x＋， AB边的中位线与AB平行且过AC的中点， ∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋， ∴ 解得m＝，n＝－. 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 所以S＝|OA|·|OB|＝(1－2k)＝， 即A，B(0,1－2k)， 令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝1－2k， 则S＝≥×(4＋4)＝4， 此时直线l的方程为y＝－x＋2， 当且仅当－4k＝，即k＝－时，取等号， 则－4k＋≥2＝4， 又直线l过定点(2,1)，所以＋＝1， 所以1＝＋≥2＝2， 设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则S＝ab， 所以直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 此时＝，解得a＝4，b＝2， $