第一章 2.3 直线与圆的位置关系（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件围绕直线与圆的位置关系展开，包含相交、相切、相离的判定方法，切线方程及弦长公式等核心内容。以海上日出情境导入，将自然现象抽象为圆与直线的位置关系，衔接圆的方程知识，通过表格对比几何法与代数法，构建清晰学习支架。 其特色在于用数学眼光观察现实情境，如日出模型抽象数量关系，通过一题多解（例1几何法与代数法）训练数学思维，以表格梳理、例题规范步骤强化数学语言。采用情境教学与分层练习，助力学生直观理解知识，培养探究能力，教师可借助系统内容提升教学效率。

第一章 <<< 2.3　直线与圆的位置关系 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 学习目标 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个 圆，海天交线看作一条直线， 日出的过程中也体现了直线与 圆的位置关系. 导 语 一、直线与圆的位置关系的判断 二、圆的切线问题 课时对点练 三、圆的弦长问题 随堂演练 内容索引 直线与圆的位置关系的判断 一 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解，利用圆心到直线的距离与半径的关系判断. 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 问题 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ (A，B不全为0) ____ ____ ____ 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ ____ ____ ____ 2 1 0 d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识梳理 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； 例 1 方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4). 8 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2. 圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 9 (2)只有一个公共点； 10 (3)没有公共点. 11 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. 直线与圆的位置关系的判断方法 反 思 感 悟 12 (1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则 A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3,0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. 跟踪训练 1 √ 13 (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是 A.(0,2] B.(1,2] C.(0,2) D.(1,2) ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. √ 14 二 圆的切线问题 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则： (1)CP⊥l； (2)点C到直线l的距离d＝|CP|＝r； (3)切点P在直线l上，也在圆上. 知识梳理 16 (1)过圆上一点有且只有一条直线与圆相切； (2)过圆外一点可以作两条直线与圆相切，需考虑斜率不存在的情况. 注 意 点 <<< 17 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k， 则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0. (1)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_____________________. 例 2 y＝4或3x＋4y－13＝0 18 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 19 (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为 圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离 √ 20 (1)点(x0，y0)在圆上(一条切线). ①过圆上一点的切线有一条. ②先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 由点斜式可得切线方程. ③如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 求过某一点的圆的切线方程 反 思 感 悟 21 (2)点(x0，y0)在圆外(两条切线). ①过圆外一点的切线有两条. ②设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.若k值只有一个，则另外一条切线斜率不存在，方程为x＝x0. 反 思 感 悟 求过某一点的圆的切线方程 22 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， (1)过圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为 A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 跟踪训练 2 √ ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)， 即2x＋y－9＝0. 23 (2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为_____________. x＋2y－3＝0 24 即b＝2a， 由点P在直线l上，则－a＋2b－3＝0，解得a＝1，b＝2，则直线l的方程为x＋2y－3＝0. 根据题意，由圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝5，其圆心为M(－2,0)， 因为直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)， 则点P在直线l上且MP与直线l垂直. 25 圆的弦长问题 三 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①所示，直线l与圆C交于A，B两 点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则 图① 知识梳理 27 (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方 程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)， B(x2，y2)， 图② 28 (1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，最短弦与最长弦所在的直线垂直. (2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，没有最短弦长. (3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况. 注 意 点 <<< 29 求直线 被圆x2＋y2＝4截得的弦长. 例 3 30 则OM⊥AB(O为坐标原点)， 31 反 思 感 悟 (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法. (2)利用弦长求直线方程时，应注意斜率不存在的情况. 已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直. (1)求直线l的方程； 跟踪训练 3 33 ∴两直线交点为(2,1). 设直线l的斜率为kl， ∵直线l与直线x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1， ∵直线l过点(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝x－2， 即x－y－1＝0. 34 (2)若圆C的圆心为点(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为 ，求圆C的标准方程. 设圆C的半径为r，依题意，得 ∴r＝2，∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 35 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)圆的切线方程. (3)弦长公式. 2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 √ ∴直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0,0)不在直线y＝x＋1上，∴直线不过圆心. 圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 2.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是 A.－2 B.－12 C.2 D.12 √ √ 1 2 3 4 3.若直线y＝kx＋ 与圆x2＋y2＝1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值 范围是_______________. 1 2 3 4 圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1， 化简得k2<1，解得－1<k<1， 所以－1<tan α<1， 因为α∈[0，π)， 1 2 3 4 1 2 3 4 4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为_____. 2 课时对点练 五 1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是 A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 ∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2＞1. 则直线与圆O的位置关系是相交. 2.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知圆O：x2＋y2＝4，过M(1， )作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知圆O：x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为 A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x－y＝0 D.x－1＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直. 已知圆心O(0,0)， 即x＋2y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点(－2,3)关于x轴的对称点的坐标为(－2，－3)， 圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1. 设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为y＝k(x＋2)－3， 即kx－y＋2k－3＝0， 由圆的方程可得，圆心P(－1,2)， 故直线l的斜率k＝1， 所以直线l的方程为y－3＝x＋2， 即x－y＋5＝0. 7.直线l与圆P：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________. x－y＋5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l在圆心同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为 ，故这样的点共有3个. 8.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为 的点有 _____个. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. 9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； 圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长. 当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝－(x－4)，即x＋y－3＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，设圆心坐标为C(a,0)(a>0)， 解得a＝－6(舍)或a＝2， 10.已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切. (1)求圆C的标准方程； 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若斜率不存在，则直线l的方程为x＝1， 若斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0， (2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为 A.x2＋y2－2y＝2 B.x2＋y2＋2y＝2 C.x2＋y2－2y＝1 D.x2＋y2＋2y＝1 √ 综合运用 已知直线mx＋y＋1＝0， 令x＝0，则y＝－1， 则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1). 由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积， 则点(0，－1)是圆C的圆心， 又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， 因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2， 即x2＋y2＋2y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2(r>0)内一点，直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则 A.l∥g B.l⊥g C.l与圆相交 D.l与圆相离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ ∵点M在圆内， ∴a2＋b2<r2. ∴直线l与圆相离. 即ax＋by－a2－b2＝0， ∴l∥g. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为____h. 1 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆 内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题 意知，台风路径用方程表示为y＝x， 所以城市B处于危险区的时间为1 h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝ 最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与 AC垂直， 设点F为其圆心，坐标为(1,3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在 y轴右侧(含与y轴的交点)的部分. 16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为 (1)求圆C的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆心C(a,0)(a>0)， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵P是直线x＋y＋4＝0上的动点， 设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆. 设圆上任一点Q(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标. 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0). 当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. d＝＝. 当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. 方法一　当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. 方法二　当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. 方法一　当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法二　当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 由题意得，圆心到直线的距离d＝>， 圆心(2,3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， d＝＝2. 所以切线长的最小值l＝＝. A.1 B.2 C. D.3 －， kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， kMP＝＝2，则－＝－， 有2＋d2＝r2， 即|AB|＝2. 则|AB|＝＝|x1－x2|或 |AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在).  x－y＋2＝0 方法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解. 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为 ＝2. 方法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2＝2＝2. 由已知得解得 2 圆心C(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝， 则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4， ∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1， 由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，解得b＝2或b＝12. ∪ 所以直线倾斜角α的取值范围为∪. 因为直线y＝kx＋与圆x2＋y2＝1没有公共点， 所以＝>1， 所以0≤α<或<α<π， 由题意得，直线方程为y＝x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2＝2. 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，因为0<d<r，所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心. ∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r， 由于θ∈[0，π)，故θ＝，即θ＝150°. 所以过M的切线l的斜率为－＝－， 设切线的倾斜角为θ，则tan θ＝－， 因为M(1，)在圆O上，则切线只有一条， 圆心为(0,0)，所以kOM＝， 4.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为 A.0 B.4 C.－2 D. 又直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离d＝＝. 又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2， 所以所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 故所求直线的斜率为－， A.或 B.或 C.或 D.或 所以圆心(3,2)到切线的距离d＝＝r＝1， 解得k＝或k＝. 所以kPC＝＝－1， 圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为＝＝. 则＝2，解得k＝－， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 由题意，得＝， 所以圆C的半径r＝＝， 则|AB|＝2＝2，符合题意； 弦心距d＝1，半径为， 解得k＝－，直线l的方程为y＝－x＋，即4x＋3y－13＝0. 弦心距d＝，由|AB|＝2＝2， 则圆C的半径r＝＝. ∵圆心(0,0)到直线l的距离d＝>r， 又直线g的方程为y－b＝－(x－a)， 则圆心B(40,0)到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得|MN|＝2× ＝20， 10 所以|BD|＝2＝2， 则S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10. 故|EF|＝， 2， 15.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足 A.|b|＝ B.－1＜b≤1或b＝－ C.－1≤b＜1 D.非以上答案 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(即x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示. 曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 当直线与圆相切时，b＝－，其他位置符合条件时需满足－1＜b≤1. 2. 则圆心C到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去). 则·＝0， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 令解得或 ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， $