第一章 2.2 圆的一般方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，从圆的标准方程展开入手，通过问题链引导学生探究形如x²+y²+Dx+Ey+F=0的方程是否为圆，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解一般方程的特征及转化方法。 其亮点在于以问题驱动探究，通过配方转化、待定系数法等培养学生数学眼光中的抽象能力和几何直观，结合例题与跟踪训练发展数学思维中的推理能力和运算能力。知识梳理表格化呈现方程表示图形的条件，清晰直观，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

第一章 <<< 2.2　圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心坐标和半径. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 学习目标 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 导 语 一、圆的一般方程的理解 二、求圆的一般方程 课时对点练 三、圆的一般方程的综合问题 随堂演练 内容索引 圆的一般方程的理解 一 提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形. 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 问题1 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 问题2 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 问题3 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0   D2＋E2－4F>0 表示以__________为圆心，以____________为半径的圆 1.圆的一般方程： (其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 知识梳理 (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 注 意 点 <<< 10 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； 由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 例 1 11 将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， (2)写出圆心坐标和半径. 12 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 圆的一般方程的辨析 反 思 感 悟 13 (1)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是__________. 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0， 跟踪训练 1 14 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴该圆的面积为9π. (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________. 9π 15 二 求圆的一般方程 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； 例 2 设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 即△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 17 (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 由(1)知，△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 18 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组，解出系数，得到方程. 求圆的方程的策略 反 思 感 悟 19 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为 ，求圆C的一般方程. 跟踪训练 2 20 ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， 即D＋E＝－2. ① ∴D2＋E2＝20. ② 21 又∵圆心在第二象限， 故圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 22 圆的一般方程的综合问题 三 已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1. (1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； 例 3 24 原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0. 故方程表示圆心为(－k，－2k－5)， 消去k，得2x－y－5＝0. ∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上. 25 证明　将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0. 上式关于参数k是恒等式， ∴曲线C过定点(1，－3). (2)证明：曲线C过定点； 26 (3)若曲线C与x轴相切，求k的值. ∵圆C与x轴相切， ∴圆心到x轴的距离等于半径， 两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2. 化简得，k2－10k－20＝0， 27 反 思 感 悟 解与圆有关的含有参数的二元二次方程时，可将其化为圆的标准方程，确定参数的取值范围，并可求得有关的最值. 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆. (1)求t的取值范围； 跟踪训练 3 由圆的一般方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0得， [－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0， 29 (2)求圆的圆心和半径； 30 (3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程. 31 1.知识清单： (1)圆的一般方程的理解. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的综合问题. 2.方法归纳：待定系数法、几何法. 3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是 √ 根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0， 1 2 3 4 2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，则D，E分别为 A.4，－6 B.－4，－6 C.－4,6 D.4,6 √ 1 2 3 4 x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，即圆心坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，故B，C正确，D错误. 3.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0 A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 √ √ √ 1 2 3 4 4.已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的一般方程为_____________________. x2＋y2－6x－2y＋6＝0 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴圆C的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0. 1 2 3 4 课时对点练 五 根据题意，若方程表示圆， 则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1， 1.(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为 A.－2 B.0 C.1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0， 即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 由圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5， 2.已知圆x2＋y2＋2ax＋9＝0的圆心坐标为(5,0)，则圆的半径为 A.3 B. C.5 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得k<－3. 3.若点P(1,1)在圆x2＋y2＋2x－y＋k＝0的内部，则实数k的取值范围是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点P(1,1)在圆x2＋y2＋2x－y＋k＝0的内部， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B，D显然正确； C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2). 4.(多选)下列结论正确的是 A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B.圆的一般方程和标准方程可以互化 C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆 D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外， √ √ √ 所以该直线一定不经过第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 由圆心在第二象限可得a>0，b>0， 6.若圆x2＋y2－2x－2y－k＝0上的点到直线x＋y－10＝0的最大距离为 ，则实数k的值是 A.－2 B.2 C.－2或2 D.－2或0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆上的点到直线的最大距离为 解得k＝2或k＝－2(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为________. (0，－1) 所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0. 设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)， x2＋y2－4x－5＝0 解得a＝2(a＝－2舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； 将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2 ＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆， 所以－t2－4t－3>0，解得－3<t<－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该圆半径r的取值范围. 因为r2＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1， 所以当t＝－2时，r2有最大值，且最大值为1， 所以r∈(0,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称. (1)求直线l的方程； 设直线l的方程为x－y＋c＝0， ∵直线l经过点B(2,4)， ∴2－4＋c＝0， ∴c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求△ABC外接圆的方程. 设C(x0，y0)， 则kAC·kl＝－1， 由①②可得，x0＝－1，y0＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴C(－1,3)， 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A(1,1)，B(2,4)，C(－1,3)都在圆上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为 A.(－∞，－2) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(2，＋∞) √ 综合运用 由题意得，曲线C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a,2a)，半径为2的圆. ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴a的取值范围是(2，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是 A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5 C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5， 设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)， ∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为 (x＋2)2＋(y－3)2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0，设两根分别为y1，y2， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令y＝0，则x2－2x－20＝0，设两根分别为x1，x2， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)， 连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q， 由于P与P′关于x轴对称， 所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|， 所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ| ＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2， 化简整理得(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0. ∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上的点外的任意一点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得2＋2＝  ，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆. 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 表示一个点 解得m<，即实数m的取值范围为. 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 由题意得(－1)2＋12－4m>0，解得m＜. 即m＞0.所以0＜m＜. ∴－＋1＋1＝0，解得k＝4， ∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为×＝3， 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由题意，得解得 由题意知圆心C， ∴－－－1＝0， 又∵半径r＝＝， 由①②可得或 ∴－<0，即D>0，则 半径为|k＋1|的圆. 设圆心为(x，y)，有 ∴解得 即|－2k－5|＝|k＋1|. ∴k＝5±3. 即－7t2＋6t＋1>0，解得－<t<1. 圆心为， 即圆心为(t＋3,4t2－1)，半径为. 所以当t＝时，rmax＝， 故此时圆的标准方程为2＋2＝. r＝＝， 所以m>－. A. B. C. D. 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)， ∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 由题意得解得 结合选项可知a的值可以为－2,0，. 故圆的半径为＝＝4. 所以需满足 A.(－∞，－3) B. C. D. 则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 因为圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心坐标为， 所以直线x＋ay－b＝0的斜率－<0，在y轴上的截距>0， 4＋ 圆x2＋y2－2x－2y－k＝0化成标准形式为(x－1)2＋(y－1)2＝k＋2，圆心(1,1)，半径r＝，显然k>－2. 圆心(1,1)到直线x＋y－10＝0的距离d＝＝＝4， d＋r＝4＋＝4＋， 即＝， 因为圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即＝＝1，解得k＝0，所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，得圆心坐标为(0，－1). 所以圆C的半径为＝3， 8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为_________________. 由题意可得＝， 即＝－1， ① 又∵线段AC的中点D在直线l上， 即－＋2＝0， ② ∴解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. ∴解得a>2， ∴圆心C(2，－1)，半径r＝. 则解得故C′(－2,3)， A. B. C. D.  x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准形式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时，圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 得解得 故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9. 16.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0).若动点C满足|AC|＝ |BC|，求△ABC面积的最大值. ∴△ABC面积的最大值为2. 设点C(x，y)，∵|AC|＝|BC|， ∴＝·， ∴S＝|AB|·|yC|＝|yC|≤2， $