第一章 2.1 第1课时 圆的标准方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件围绕圆的定义、标准方程、点与圆位置关系及方程求解展开，通过北京雁栖湖圆形建筑、古诗文等现实与文化情境导入，从直观形象过渡到数学抽象，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，问题链引导数学思维，例题训练强化数学语言表达。如用“白玉盘”等文化意象让学生用数学眼光观察现实，推导方程时通过问题驱动逻辑推理，课堂小结归纳知识清单与方法。学生能深化概念理解，教师可借助完整资源提升教学效率。

第1课时 第一章 <<< 圆的标准方程 1.掌握圆的定义及圆的标准方程. 2.能准确判断点与圆的位置关系. 3.会求解简单的圆的标准方程的问题. 学习目标 北京雁栖湖国际会展中心的建筑主体是圆形大楼，建筑造型外观似天坛无盖，寓意天圆地方.《两小儿辩日》中，一儿曰：“日初出大如车盖，及日中则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”李白在《古朗月行》中写道：“小时不识月，呼作白玉盘.又疑瑶台镜，飞在青云端.”这些例子都给了我们圆的形象，今天我们就在坐标系中一起去认识圆吧！ 导 语 北京怀柔雁栖湖国际会展中心 一、圆的标准方程 二、点与圆的位置关系 课时对点练 三、求圆的标准方程 随堂演练 内容索引 圆的标准方程 一 提示　平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 问题1 提示　设圆上任意一点P(x，y)， 则|PC|＝r， 由两点间的距离公式， 已知圆心为C(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 问题2 化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 1.圆的标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为______ _____________. 2.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. (x－a)2 ＋(y－b)2＝r2 知识梳理 (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (2)相同的圆，当建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (3)圆上的点的坐标都满足圆的标准方程，满足圆的标准方程的点都在圆上. 注 意 点 <<< 9 圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为|b|，B错误；C正确； (1)(多选)下列说法错误的是 A.圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，半径为5 B.圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为b √ √ 例 1 √ 10 (2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 √ 由题意得圆心坐标为(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称. 11 通过圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)确定其圆心为(a，b)，半径为r. 注意：所给方程与圆的标准形式一致，r>0. 反 思 感 悟 12 下列方程分别表示什么图形？ (1)(x－1)2＋(y－1)2＝0； (x－1)2＋(y－1)2＝0表示的是到点(1,1)的距离的平方等于0的点的集合，显然只有(1,1)这一点，即(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的图形是一个点，这个点的坐标是(1,1). 跟踪训练 1 13 (x＋2)2＝16－(y－3)2可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，该方程表示圆心为(－2,3)，半径为4的圆. (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2. 14 二 点与圆的位置关系 点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件是什么？ 问题3 提示　当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径. 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 D r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆上 D r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆内 D r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 > > ＝ ＝ < < 知识梳理 17 ∴点P在圆C内. (1)已知a，b是方程x2－x－ ＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是 A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 例 2 √ 18 解得a<－6或a>－2. (2)若点P(2,1)在圆C： ＋(y－1)2＝1上，则实数a＝_________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_________________________. (－∞，－6)∪(－2，＋∞) －2或－6 19 反 思 感 悟 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. 判断点与圆的位置关系的两种方法 20 已知点 在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_______. [0,1) 跟踪训练 2 21 求圆的标准方程 三 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为___________________. 例 3 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 23 (2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是___________ ____________. ∵AB为直径， ∴AB的中点(1,2)为圆心， (x－1)2＋ (y－2)2＝25 ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 24 反 思 感 悟 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 直接法求圆的标准方程的策略 25 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. 跟踪训练 3 26 (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 设圆心为(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 27 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：结合图形求圆的标准方程出现漏解情况. 课堂小结 随堂演练 四 1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为 √ 1 2 3 4 2.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为 A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 √ 1 2 3 4 以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 3.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是 A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 √ 方法一　(直接法) 解得b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 方法二　(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1且圆心 在y轴上，易知圆心为(0,2)， 故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知O为原点，点A(2，－2)，以OA为直径的圆的标准方程为 A.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝8 C.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3.若直线x＋y＋a＝0过圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的圆心，则实数a的值为 A.－1 B.1 C.0 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝2，可得圆心坐标为(1，－2)，因为直线x＋y＋a＝0过圆心(1，－2)，所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在 A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 √ 5.圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的标准方程为 A.(x－2)2＋(y－1)2＝5 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 C.(x－1)2＋(y＋2)2＝5 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝5 √ 由圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5， 圆心(2，－1)关于原点的对称点为(－2,1)， ∴圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 得圆心为(4，－3)，半径为5，故A，C正确； 令x＝0，得y＝0或y＝－6，所以圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是 A.圆M的圆心为(4，－3) B.圆M的圆心为(－4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的线段长为6 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由m2－m－2>0， 得m>2或m<－1. 7.方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是_______________________. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 8.与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r， (x－1)2＋y2＝18 又两圆同圆心，且C(1,0) 则所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝18. 9.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). (1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点M(6,9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知，得圆心N(5,6). ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， 如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4. 在Rt△AOC中， 设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3， ∴a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 10.已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为 A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20 C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20 √ √ 综合运用 令x＝0，则y＝4； 令y＝0，则x＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20；以B为圆心，过A点的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20. 12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为 A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)， 故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1. 13.圆A：(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________. (x－4)2＋y2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，圆C经过点A(0,0)，B(2,0)，可设C(1，m)且m>0，半径为r， ∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 14.已知圆C(C为圆心，且C在第一象限)经过A(0,0)，B(2,0)两点，且△ABC为直角三角形，则圆C的标准方程为____________________. (x－1)2＋(y－1)2＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知半径为1的圆C经过点M(3,4)，则圆心C到原点的距离的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆， 所以|OC|≥5－1＝4， 当且仅当C在线段OM上时取等号. 设圆心C(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24. (1)求直线l的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7). ∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24， 解得m＝±24， ∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0. △OAB的直角边长分别为6和8，斜边长为10， ∴△OAB的内切圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4或(x＋2)2＋(y＋2)2＝4. (2)求△OAB的内切圆的标准方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得＝r， 圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，半径为，A错误； 圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，D错误. C.圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D.圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2,2)，半径为 设d＝|PC|＝. 由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， 当点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1， 2 由题意知 即解得0≤a<1.  M(5＋1，) |AB|＝＝5为半径， 由圆的标准方程可知，此圆圆心为(1，－5)，半径为. A.(－1,5)， B.(1，－5)， C.(－1,5)，3 D.(1，－5)，3 设圆的圆心为(0，b)，则＝1， 由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－). 1.圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是 A.(1，) B.(－1，) C.(1，－) D.(－1，－) 由题意知圆心为(1，－1)，半径r＝|OA|＝， 则原点与圆心的距离为. 由圆的标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0<a<1)，知圆心为(a,1)，半径r＝， ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外. 得圆心为(2，－1)，半径r＝， 则＝，所以r2＝18， 又a>0，∴a＝. ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，). ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， |OC|＝＝＝3. 所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)，则|AB|＝＝2. 则解得即P(－1,1). ∴|PC|＝＝5， 则解得 则解得 则＝1， 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5， 当y＝0时，x＝－； ∴··＝24， 当x＝0时，y＝－. ∵直线l的方程为＋＝±1， ∴△OAB的内切圆半径r＝＝2，圆心为(2,2)或(－2，－2)， $