第一章 1.6 第1课时 两点间的距离公式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦两点间的距离公式，通过公路同侧两小区建公交站点的实际问题导入，从数轴上两点距离入手，逐步过渡到平面直角坐标系中特殊与一般情况的公式推导，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境驱动学习，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过勾股定理和向量知识推导公式发展数学思维，例题分层设计（如判断三角形形状、求参数值、推导直线方程）结合课堂小结（知识清单、方法归纳），帮助学生用数学语言表达问题，提升应用能力，也为教师提供系统的教学资源和清晰的教学路径。

第1课时 第一章 <<< 两点间的距离公式 1.掌握两点间的距离公式. 2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题. 学习目标 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 导 语 一、两点间的距离公式 二、由两点间的距离求参数的值 课时对点练 三、由两点间的距离求直线方程 随堂演练 内容索引 两点间的距离公式 一 提示　|AB|＝|xB－xA|. 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 问题1 提示　(1)当AB与x轴平行时， |AB|＝|x2－x1|； (2)当AB与y轴平行时，|AB|＝|y2－y1|； (3)当AB与坐标轴不平行时， 如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|BC|2＋|AC|2， 已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 问题2 点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|＝___________________. 知识梳理 (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)用向量知识分析，|AB|可以理解为向量 的长度.也可以理解为向量 分别在x轴和y轴上的投影数量的绝对值，分别为|AC|＝|x2－x1|，|CB|＝|y2－y1|.再由勾股定理求|AB|. 注 意 点 <<< 9 (1)在数轴上有两点A，B，点A(－1)，|AB|＝6，那么AB的中点C的坐标为 A.2 B.－4 C.3或－3 D.2或－4 √ 设B(x1)，C(x0)， ∵|AB|＝|x1－(－1)|＝|x1＋1|＝6， ∴x1＝5或x1＝－7， 又C(x0)为AB的中点， 例 1 10 (2)已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状. ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 11 ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形. 12 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 计算两点间的距离的方法 反 思 感 悟 (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解. 13 (1)在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为 A.13 B.0 C.4 D.－2 如图所示，故C(4)为所求. 跟踪训练 1 √ 14 √ 15 二 由两点间的距离求参数的值 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________. 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10). 由两点间的距离公式， 例 2 (2,10)或(－10,10) 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10). 17 由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10.设点M的坐标为(±10，yM)， 解得yM＝－6或10. 所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10,10). 将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标. 延伸探究 18 反 思 感 悟 根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解. 即(a－3)2＋(3a)2＝25， 展开得a2－6a＋9＋9a2＝25， 即10a2－6a－16＝0， 即5a2－3a－8＝0， 已知A(a,3)，B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值. 跟踪训练 2 20 由两点间的距离求直线方程 三 由题意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， ∴y1－y2＝k(x1－x2)， ∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9， ∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2， 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直线l的方程. 例 3 ∴k2＝3， 22 反 思 感 悟 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程.这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形的几何性质，如对称、线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的. 已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程. 设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 跟踪训练 3 得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5. ① 由已知及两点间的距离公式，得 (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25. ② 24 又点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l上， 因此直线l的斜率为0或不存在.因为直线l过点P(3,1)，所以直线l的方程为y＝1或x＝3. 25 1.知识清单：两点间的距离公式. 2.方法归纳：待定系数法、坐标法. 3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 2.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于 √ ∵P(1,1)，Q(5,5)， 化简整理得3x＋y＋4＝0. 设P(x，y)，因为点P到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等， 则|PA|＝|PB| 3.到点A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是 A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0 1 2 3 4 √ 因此，点P的坐标为(3,1). 4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4,3)，B(5,2)，C(1，0)，平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|，则点P的坐标为_______. (3,1) 设点P的坐标为(x，y)， 1 2 3 4 课时对点练 五 设A(a,0)，B(0，b)， 则a＝6，b＝8， 即A(6,0)，B(0,8)， 1.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为 A.10 B.5 C.8 D.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项BCD正确. 2.(多选)对于 ，下列说法正确的是 A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 3.已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两点间距离公式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)， 5.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是 √ ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直， 7.过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则|AB|＝_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q(x0,0)，则有 即点Q的坐标为(10,0)或(0,0). 8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则点Q的坐标为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (10,0)或(0,0) 9.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为 ，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即3x＋4y＋1＝0. 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意. 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于 的点的坐标是 A.(－4,5) B.(－1,2) C.(－3,4) D.(4,5) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求点的坐标为(x0，y0)， 综合运用 √ 12.直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数， O为坐标原点，则|OQ|的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知点A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为 A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.正方形 √ 由两点间的距离公式可得， 所以|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|AC|＝|BD|， 故四边形ABCD是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知点M(4,3)，过原点的直线l与直线y＝3交于点A，若|AM|＝2，则直线l的方程为_____________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x－2y＝0或3x－2y＝0 设点A的坐标为(t,3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得t＝2或t＝6. 当t＝2时，点A的坐标为(2,3)， 当t＝6时，点A的坐标为(6,3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上所述，直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y＝0. 15.在平面直角坐标系内有四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1，5)，D(－2,2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可知，四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)构成一个四边形ABCD， 因为|PA|＋|PC|≥|AC|， 当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为|PB|＋|PD|≥|BD|， 当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知AO是△ABC的边BC的中线，用坐标法证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A(m，n)，B(－a,0)，C(a,0)(其中a>0)，则 |AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)， |AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 所以|AB|＝.     ∴x0＝＝，∴x0＝2或－4. 方法一　∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， 则|P1P2|＝. 则＝＝2. |AC|＝＝4， |CB|＝＝2， (2)已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则的值为 A. B. C.3 D.2 得|MN|＝＝10或|MN|＝＝10， 由两点间的距离公式得|MN|＝＝10， 或|MN|＝＝10， |AB|＝＝＝5， 解得a＝－1或a＝， 因此a的值为－1或. ∵|AB|＝＝＝6， 解得k＝±， 故直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1. 则两式相减， 由①②解得或 |MN|＝＝5. A.5 B. C. D.4 A.4 B.4 C.2 D.2 ∴|PQ|＝＝4. 即＝， 解得 可得 由 所以|AB|＝＝10. ＝＝＝， A.2 B.3＋2 C.6＋3 D.6＋ |AB|＝＝3， |BC|＝＝3， |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3. A.2 B.3 C. D. 由中点坐标公式可得，BC边的中点D. 由两点间的距离公式得|AD|＝＝. 直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得|AB|＝. A. B. C. D. A.－ B.－ C. D. ∴|AB|＝ ＝＝＝， ∴当a＝时，|AB|取得最小值. 所以kAB＝＝1，即a－b＝2， 所以|AB|＝＝＝2. 2 13＝，得x0＝0或x0＝10， ∴＝， 令y＝0，得x＝，则A； 令x＝0，得y＝，则B， 故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， 由|AB|＝＝5， 解得k＝－， 解方程组得即B. 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 则x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或 A. B.2 C.2 D.4 当m＝0时，|OQ|max＝2， 所以|OQ|的最大值是2.  Q， 所以|OQ|＝＝＝， |BC|＝＝， |CD|＝＝， |AB|＝＝， |DA|＝＝， |BD|＝＝， 又|AC|＝＝， 则|AM|＝＝2， 则直线l的斜率为， 此时直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0； 则直线l的斜率为， 此时直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. A.10 B.＋ C.14 D.＋ 所以|PA|＋|PC|＋|PB|＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝＋＝＋， 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋. $