第一章 1.5 两条直线的交点坐标（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦两条直线的交点坐标及位置关系判定，从平面几何定性研究过渡到坐标系下代数定量研究，通过问题引导学生用解方程组方法求交点，搭建从斜率判断到方程联立的学习支架。 其特色在于融合数学眼光（几何问题代数化）、思维（方程组解与位置关系逻辑推理）、语言（直线系方程表达），例1分类讨论解的情况对应相交、重合、平行，例2用三种方法求过交点直线，小结归纳方法与误区。学生能提升数形结合能力，教师可高效实施分层教学。

第一章 <<< 1.5　两条直线的交点坐标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 学习目标 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等. 导 语 一、求相交直线的交点坐标 二、求过两条直线交点的直线方程 课时对点练 三、与交点有关的证明问题 随堂演练 内容索引 求相交直线的交点坐标 一 提示　 ＝2， ＝ ，所以l1与l2不平行，又l1与l2不重合，所以直线l1，l2一定相交；由于l1，l2的交点既在直线l1上，又在直线l2上.也就是说，交点坐标既满足方程2x－y＋3＝0，又满足方程x－2y＋6＝0.将这两个方程 联立即可求出交点的坐标.解方程组 所以这两 条直线的交点坐标为(0,3). 由两条直线的方程l1：2x－y＋3＝0，l2：x－2y＋6＝0，如何判断l1，l2是否相交呢？若相交，如何求出其交点坐标呢？ 问题1 一般地，对于两条不重合的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 我们可以用直线的 或 先定性判断两条直线是否 相交，若相交，可通过求解方程组 得到两条直线l1， l2的 . 斜率(斜率存在时) 法向量 交点坐标 知识梳理 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). 例 1 8 (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 9 求两条直线的交点坐标，只需将两条直线的方程联立，解方程组即可，体现了用代数方法研究几何问题的思想. 反 思 感 悟 10 若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 A.－6<k<－2 B.－5<k<－3 C.k<－6 D.k>－2 跟踪训练 1 √ 11 解得－6<k<－2. 12 二 求过两条直线交点的直线方程 提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4. 观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 问题2 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 知识梳理 15 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程. 即5x＋3y－1＝0. 例 2 16 方法二　由于直线l⊥l3， 故直线l满足5x＋3y＋C＝0. 又直线l过直线l1，l2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0， 解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 17 方法三　由于直线l过直线l1，l2的交点， 故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 则直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 18 设所求直线方程为 3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 将(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴所求直线方程为8x＋4y＝0，即2x＋y＝0. 本例变为求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且过原点的直线l′的方程. 延伸探究 19 反 思 感 悟 (1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程； (2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0表示，根据题意求出λ，化简即可. 求经过两直线交点的直线方程的两种方法 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 跟踪训练 2 21 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， ∴所求直线的斜率为－3， 即15x＋5y＋16＝0. 22 与交点有关的证明问题 三 已知A(1,4)，B(－2，－1)，C(4,1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点. 例 3 24 则AB，BC边上的高所在直线的方程分别为 25 又AC边上的高所在的直线方程为y＝x＋1， 故△ABC的三条高所在的直线交于一点. 26 反 思 感 悟 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上. 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路 解得m＝－4. 已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2. (1)若l1与l2平行，求m的值； 跟踪训练 3 28 (2)当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上. 29 即x－2y－1＝0(y≠0). 因此，点A在直线x－2y－1＝0(y≠0)上. 30 1.知识清单： (1)两条直线的交点. (2)直线系过定点问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法. 3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为 A.(3,2) B.(2,3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) √ 1 2 3 4 2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点 A.(－3，－1) B.(－2，－1) C.(－3,1) D.(－2,1) √ 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， ∴直线l恒过定点(－3,1). 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， 3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________. 1 2 3 4 2x＋y－4＝0 ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________. 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， 1 2 3 4 课时对点练 五 1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为 A.(－4，－3) B.(4,3) C.(－4,3) D.(3,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ ∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0， 即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 2.若直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为 A.12 B.10 C.－8 D.－6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是 A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0 C.3x＋19y＝0 D.19x－3y＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即3x＋19y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0,2)，B(2,0).直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB<k<kPA， 4.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 √ 5.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点 √ 由a＋2b＝1，得a＝1－2b， 则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0， 整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为 A.1 B.－1 C.－2 D.2 √ √ √ 三条直线不能围成三角形，有可能三条直线互相平行或有其中两条平行，还可能有共同交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝－2或a＝1(舍去). 综上可得，实数a所有可能的值为－1,1，－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)， 即3x＋y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为__________. 3x＋y＝0 8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线上，所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2. －2 9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即27x＋54y＋37＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以点P的坐标为(1,2). 10.已知直线l1：2x－y＝0，l2：x－2y＋3＝0，且l1，l2的交点为P. (1)求点P的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积为 ，求直线 l的方程. 易知直线l与坐标轴不平行， 设直线l：y－2＝k(x－1)，k≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得k＝－1或k＝－4， 故直线l的方程为y－2＝－(x－1)或 y－2＝－4(x－1)， 即x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知直线 恒经过一个定点，则过这一定点和原点的 直线方程是___________. 综合运用 2x－y＝0 解得x＝－1，y＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 2 代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2. 14.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________________. (－∞，－3]∪[1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)， a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB 的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在 线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞). 15.(多选)已知平面上三条直线分别为x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是 A.0 B.2 C.－1 D.－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 √ √ 因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面分为六部分， 所以包含下面两种情况： ①三条直线交于一点.因为直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点是(1,1)，所以直线x＋ky＝0过这两条直线的交点，所以k＝－1； ②直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，所以k＝0或－2. 综上，实数k的取值集合是{0，－1，－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程. 设B(x0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理可求得C点的坐标为(5,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即4x－y－20＝0. 得 解方程组得 方程组有无数个解，表明直线l1和l2重合. 方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 解方程组得 ∵直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限， ∴ 则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 方法一　解方程组 得即l1与l2的交点坐标为(－1,2). 又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－， 其斜率为－＝－，解得λ＝， 由题意得解得 ∴两直线的交点坐标为. 故所求直线的方程为y＋＝－3，  y－1＝－(x－4)，y－4＝－3(x－1)， 由得 kAB＝＝，kBC＝＝， 则AB，BC边上的高所在直线的斜率分别为－，－3， 则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为， ∵点满足方程y＝x＋1. ∵l1与l2平行，则 联立 解得x＝，y＝－， ∴点A， ∵x＝＝＝1－＝1＋2y， 解方程组得 令解得 ∴k＝＝－2，解得λ＝5. 解方程组得 － ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 由方程组得 由解得 故过点和原点的直线方程为y＝－x， A. B. C. D. 即－<k<. 所以解得故直线过定点. A. B. C. D. 若l1和l3平行，则＝，解得a＝1，此时l1，l2，l3重合；若l2和l3平行，则＝，解得a＝1，此时l1，l2，l3重合；若l1和l2平行，则＝，解得a＝±1， 故当a＝1时，l1，l2，l3重合，当a＝－1时，l1∥l2；若三条直线交于一点，则交点为(1，－1－a)，代入l2：x＋ay＋1＝0得 1－a(1＋a)＋1＝0， 由得 又因为直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋＝×， 由方程组解得 所以交点坐标为. 由解得 当x＝0时，y＝2－k；当y＝0时，x＝1－， 因此可得 xx＋y＋x＋2＝0 得x(x＋1)＋y＋2＝0， 令 ∴直线xx＋y＋x＋2＝0恒经过定点(－1，－2)， ∴过这一定点和原点的直线方程是＝，即2x－y＝0. 由直线xx＋y＋x＋2＝0， 由＝，得λ＝或λ＝. 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝. 解方程组得 即a≥＝1，即a≥1. 即a≤＝－3，即a≤－3. 由条件可得 得解得即B(6,4). 则AB的中点E的坐标为， 故所求直线BC的方程为＝， $