第一章 1.3 第2课时 直线方程的两点式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线方程的两点式与截距式，以斜拉桥斜拉索为现实情境导入，通过点斜式推导两点式，将截距式作为两点式的特殊情况，构建“点斜式—两点式—截距式”的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其特色在于问题驱动式推导与分类讨论教学，如通过两点确定直线的问题引导学生自主推导公式，例2、例3中对截距为0和不为0的分类讨论，培养数学思维中的推理能力与严谨性。课堂小结系统梳理知识清单与常见误区，随堂演练分层设计，助力学生掌握方法，教师可高效开展分层教学。

第2课时 第一章 <<< 直线方程的两点式 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式. 2.了解直线方程的截距式的形式特征及适用范围. 学习目标 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？ 导 语 一、直线方程的两点式 二、直线方程的截距式 课时对点练 三、直线方程的截距式的应用 随堂演练 内容索引 直线方程的两点式 一 我们知道，两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 问题1 经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程_______________(其中x1≠x2，y1≠y2)，我们把它称为直线方程的两点式. 知识梳理 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示. (2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 注 意 点 <<< 8 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 例 1 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. 9 (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 设BC的中点为M(a，b)， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 10 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 利用两点式求直线的方程 反 思 感 悟 11 已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程. 跟踪训练 1 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在， 即m＝1时，直线方程为x＝1； 12 ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 13 二 直线方程的截距式 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 问题2 通常，称方程_________(其中ab≠0)为直线方程的截距式.其中，a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距)，b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距). 知识梳理 16 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距且截距都不为0，则可以直接代入截距式求直线的方程(与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示). (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. (3)过原点的直线的横、纵截距都为零. 注 意 点 <<< 17 求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 例 2 解得a＝－1. 即x－y＋1＝0. 18 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 19 若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ (1)当截距不为0时，设直线l的方程为 延伸探究 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. 20 (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 21 反 思 感 悟 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式时，首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式的逆向应用. 应用截距式的注意事项 设A(a,0)，B(0，b)， 已知直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程. 跟踪训练 2 ∴A(8,0)，B(0,2)， 即x＋4y－8＝0. 23 直线方程的截距式的应用 三 直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程. 例 3 因为点A(－2,3)在直线l上， 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4， 25 即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0. 26 反 思 感 悟 涉及直线与坐标轴围成的面积问题，往往用直线在坐标轴上的截距解答.注意面积公式中截距加绝对值. 已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； 跟踪训练 3 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8. 28 (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB， 且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 29 1.知识清单： (1)直线方程的两点式. (2)直线方程的截距式. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是 √ 1 2 3 4 2.过(1,2)，(5,3)的直线方程是 √ ∵所求直线过点(1,2)，(5,3)， 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_______________ ____________. 1 2 3 4 2x－y＝0或 x－y＋1＝0 将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_____________. 2x－y＋1＝0 AB的中点坐标为(1,3)， 即2x－y＋1＝0. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为 A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 √ 整理得y＝x＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是 A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1 √ 显然a≠0， ∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若直线 ＝1过第一、二、三象限，则 A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 设直线l的斜率为k， 则其方程为y－1＝k(x－1)， 可化为y＝kx＋1－k， 由l在y轴上的截距的取值范围为(0,2)， 可得0<1－k<2，解得－1<k<1. 4.直线l过点A(1,1)，且l在y轴上的截距的取值范围为(0,2)，则直线l的斜率的取值范围为 A.(－1,3) B.(1,3) C.(0,1) D.(－1,1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为 A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0 C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0 √ 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)， 即2x＋y－8＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知直线过点(2,0)， 7.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________. 3x＋y－6＝0 整理得3x＋y－6＝0. 即x＋y－1＝0. 又点P(3，m)在直线AB上， 所以3＋m－1＝0，得m＝－2. 8.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 9.求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程. 解得a＝2或a＝1， 故所求直线方程为2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由截距式，得边AC所在直线的方程为 由两点式，得边AB所在直线的方程为 10.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程； 即x＋y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得点D的坐标为(－4,2)， 由两点式，得边BD所在直线的方程为 即2x－y＋10＝0. (2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)下列说法正确的是 A.经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0 ＝k(x－x0) B.经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b C.不经过原点的直线的方程都可以表示为 D.经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为 (y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) √ √ √ 综合运用 经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0)，故A正确； 经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b，故B正确； 经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为 A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0 C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0 √ 由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)， 即x－2y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.直线 ＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 √ 14.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 A.x＋2y－6＝0 B.2x＋y－6＝0 C.x－2y＋7＝0 D.x－2y－7＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以直线的方程为2x＋y－6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0)，与y轴正半轴相交于点B(0，b)，当2|OA|＋|OB|取最小值时，求直线方程的截距式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　设P(x，y)为直线l上任意一点，∵x1≠x2，∴kl＝， 由直线方程的点斜式，得y－y1＝(x－x1)，又y1≠y2，即＝.  ＝ 由两点式，得＝， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0，  ＝，即x－(m－1)y－1＝0. 提示　由两点式方程，得＝，即＋＝1.  ＋＝1 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又l过点A(3,4)，所以＋＝1， 所以直线l的方程为＋＝1， (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. ＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 由得 则直线l的截距式为＋＝1. 设直线l的方程为＋＝1. 所以＋＝1. ① 所以|a|·|b|＝4. ② 由①②可知或 解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 因为直线l的两点式方程为＝， 所以＝，即＝x－1. 所以＋＝1. 故所求截距式方程为＋＝1. 故S△AOB＝|OA|·|OB|＝×4×8＝16. A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 ∴所求直线方程是＝. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 可设直线方程为－＝1， 由直线方程的两点式可得＝， 代入两点式得直线方程为＝， 把直线l：ax＋y－2＝0化为＋＝1. ∴＝2，解得a＝1.  ＋ 再由两点式可得直线MN的方程为＝， 故a＝－，b＝－7. 6.已知直线＋＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为 A.， B.－，－ C.，7 D.－，－7 ＋＝－1可化为＋＝1， 所以直线在x，y轴上的截距分别为－，－7， 又直线过点(1,3)，由两点式可得＝， 由两点式得，过A，B两点的直线方程为＝， 设直线方程的截距式为＋＝1， 则＋＝1， 则直线方程的截距式是＋＝1或＋＝1， 即＋＝1或＋y＝1. ＋＝1，即x－2y＋8＝0.  ＝， ＝， ∴＋＝1. ∴直线BD与坐标轴围成的三角形的面积S＝×5×10＝25.  ＋＝1 不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为＋＝1，比如x＝a或  y＝b，故C错误； 则所求直线方程为＝， 易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足. －＝1与－ 设直线的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 则＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9， 当且仅当＝，即a＝3，b＝6时等号成立. ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3. 则x＝3－y， 即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 直线AB的方程为＋＝1， 由题意得直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 因为直线过点P(1,1)，所以＋＝1， 2|OA|＋|OB|＝2a＋b＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2 . 此时2|OA|＋|OB|有最小值3＋2. 即所求直线方程的截距式为＋＝1. $