第一章 1.1～1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角和斜率，以交通工程“坡度”实例导入，衔接平面直角坐标系知识，通过定义、公式及应用构建从具体到抽象的学习支架，为直线方程学习奠定基础。 其亮点在于用生活情境培养数学眼光，通过倾斜角旋转分类讨论、三点共线斜率推理发展数学思维，以符号公式与图形分析强化数学语言表达。丰富例题与分层练习结合，助学生提升抽象能力与运算素养，教师可高效实施教学。

第1课时 第一章 <<< 直线的倾斜角和斜率 1.了解倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的几何意义，会用斜率公式求直线的斜率. 学习目标 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方 向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝ ＝ 若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实 际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么 “坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 导 语 一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 课时对点练 三、倾斜角和斜率的应用 随堂演练 内容索引 直线的倾斜角 一 提示　两点确定一条直线，一个点与一个方向也可以确定一条直线. 在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题1 提示　只有一条. 经过原点的无数条直线中，与x轴(正方向)所成的角为 的直线有几条？ 问题2 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为___ 记法 α 图示   范围 [0，π) 0 知识梳理 (1)每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应. (2)直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近 ，倾斜程度越大. 注 意 点 <<< 9 　　　(1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) √ √ 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确. D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误 例 1 10 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° √ √ 11 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时， l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 12 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 直线倾斜角的概念和范围 反 思 感 悟 13 　　　　　 (1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________. 60°或120° 有两种情况：①如图(1)，直线l向上的 方向与x轴正方向所成的角为60°， 即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正方 向所成的角为120°，即直线l的倾斜角 为120°. 跟踪训练 1 14 (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________. 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 135° 15 二 直线的斜率 提示　高度的平均变化率. 坡度是用什么量来刻画道路的倾斜程度的？ 问题3 如图，直线l上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1.在直线l上点P1平移到点P2，则高度的平均变化率是多少？ 问题4 称k＝ (其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的 斜率. 知识梳理 19 (1)k的大小与两点P1，P2的位置无关. (2)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在. (3)当直线l与x轴不垂直时，斜率存在且是唯一的. (4)常用斜率表示直线的倾斜程度. 注 意 点 <<< 20 满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率. (1)经过点A(2,3)，B(4,5)； (2)经过点C(－2,3)，D(2，－1)； 例 2 21 (3)经过点P(－3,1)，Q(－3,10)； 不存在.因为xP＝xQ＝－3. (4)经过点M(a,2)，N(3,6). 当a＝3时，斜率不存在； 22 反 思 感 悟 注意：(1)x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在. (2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. (1)已知点P1(3，－3)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k＝______. 0 (2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为______. 1 跟踪训练 2 24 倾斜角和斜率的应用 三 若给定A，B，C三点的坐标，不画图，如何判定A，B，C三点是否共线？ 提示　若A，B，C三点横坐标相等，则三点一定共线； 若A，B，C三点横坐标不相等，若能得到kAB＝kAC，则A，B，C三点共线，否则，不共线. 问题5 26 (1)已知直线经过点A(1,2)，且斜率k＝1，判断B(0,0)，C(2,3)，D(3,2)中，哪些点在该直线上，哪些点不在该直线上？ 例 3 27 (2)已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a). ①若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； ①∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 28 ②若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围. 29 反 思 感 悟 (1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. (2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在.若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线. 如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则 m的值为________. －6 解得m＝－6. 跟踪训练 3 31 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合思想. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)图中α能表示直线l的倾斜角的是 √ √ 1 2 3 4 2.下列说法错误的是 A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ 3.已知过A(3,1)，B(m，－2)两点的直线的斜率为1，则m的值为_____. 1 2 3 4 0 1 2 3 4 4.已知A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)三点在同一直线上，则实数m的值为____. 2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.如图，直线l的倾斜角为 A.60° B.120° C.30° D.150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图易知直线l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 与x轴垂直的直线的倾斜角是90°，其斜率不存在. 4.若某条直线与x轴垂直，则该直线的倾斜角和斜率分别是 A.0°，0 B.90°，不存在 C.90°，0 D.0°，不存在 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为 A.(2,0)或(0，－4) B.(2,0)或(0，－8) C.(2,0) D.(0，－8) √ 设点B的坐标为(x,0)或(0，y)， 所以点B的坐标为(2,0)或(0，－8). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知三点A(m,1)，B(4,2)，C(－4,2m)在同一条直线上，则实数m的值为 A.0 B.5 C.0或5 D.0或－5 √ 因为三点A(m,1)，B(4,2)，C(－4,2m)在同一条直线上，且直线斜率存在， 解得m＝0或m＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x＝－1，则C(－3，－1). 7.已知A(x,2x)，B(1,0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的斜率为______. 8.若直线l向上的方向与y轴的正方向成40°角，则直线l的倾斜角为___________. 如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为50°或130°. 50°或130° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知四边形ABCD的四个顶点是A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)， D(－2,2)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四边形ABCD的四条边所在直线的斜率分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，所以kAB＝kAC， 得2(a＋b)＝ab， 因为ab≠0，两边同除以2ab， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为 A.(1,3)，(5,7)，(10,12) B.(－1,4)，(2,1)，(－2,5) C.(0,2)，(2,5)，(3,7) D.(1，－1)，(3,3)，(5,7) √ √ √ 当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD. 综合运用 12.一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α< 90°)，则其倾斜角为 A.α B.180°－α C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当l方向向上的部分在y轴左侧时， 如图①所示，倾斜角为90°＋α； 当l方向向上的部分在y轴右侧时， 如图②所示，倾斜角为90°－α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 14.若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点不共线，则实数m的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知kAB≠kAC， {m|m≠3} 15.《中华人民共和国国旗法》中就国旗的五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相 近.为便于研究，如图，以大星的中心点为 原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2， OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中 心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的 一条边AB所在直线的倾斜角约为 A.0° B.1° C.2° D.3° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵O，O3都为五角星的中心点， ∴OO3平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°. 过O3作x轴的平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°， ∴直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°. ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC， ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， ∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0. 16.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点.求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  . 提示　＝.   存在.直线AB的斜率kAB＝＝1. 存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1. 当a≠3时，直线的斜率k＝. 已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝.  k＝＝0. 由＝1，得m＝1. 因为kAB＝＝2≠1，kAC＝＝1，kAD＝＝0≠1，故点C在直线上，点B，D不在直线上. 即＝， ∴a＝2或a＝. 当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝， 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2且a≠. 由kAC＝kAB，知＝， ∵A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)三点在同一直线上，∴AB的斜率和AC的斜率相等，即＝，∴m＝2. 1.已知直线l过点A(3－，6－)，B(3＋2，3－)，则直线l的斜率为 A.－ B. C.－ D. 直线l的斜率k＝＝－. 由直线的斜率公式得＝2， 解得m＝. A.－1 B.1 C.2 D. 所以kAB＝或kAB＝， 即＝4或＝4，解得x＝2或y＝－8， 所以＝， 由kAB＝＝1， 所以kBC＝＝. kAB＝＝4，kBC＝＝， kCD＝＝－4，kAD＝＝. 10.若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝. 即＝， 得＋＝. 设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 即≠，得m≠3. kAB＝，kAC＝， ∴＝， ∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， $