24.2.1点与圆的位置关系（2）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.2.1点与圆的位置关系（2） 题型一、确定圆的条件 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧； B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角对的弧相等 【答案】A 【分析】本题考查了弧的定义、三角形外心的性质、确定圆的条件以及圆心角与弧的关系，解题的关键是准确掌握这些圆的相关概念和性质，逐一分析每个选项的正确性．根据弧的定义判断选项A；依据三角形外心（三边垂直平分线交点）的性质区分其与内心（到三边距离相等）的不同，判断选项B；结合“不在同一直线上的三点确定一个圆”的前提条件，判断选项C；根据“相等的圆心角所对的弧相等”需在“同圆或等圆中”这一限制，判断选项D． 【详解】解：A、根据弧的定义，圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是直径所对的弧，因此半圆是弧，此选项符合题意； B、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，其性质是到三角形三个顶点的距离相等，而到三角形三边距离相等的点是三角形的内心（即三角形三条内角平分线的交点），此选项不符合题意； C、确定一个圆的条件是“不在同一条直线上的三点”，若三点在同一条直线上，则无法确定一个圆，此选项不符合题意； D、“相等的圆心角所对的弧相等”这一结论成立的前提是“在同圆或等圆中”，若圆心角所在的圆大小不同（即半径不同），则即使圆心角相等，所对的弧也不相等，此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题的关键． 【详解】解：过一点的圆的圆心可以是平面上除点外的任意点，选项错误； 过两点的圆的圆心在一条直线上，在的垂直平分线上，选项正确； 过不在同一直线上三点的圆的圆心只有一个点，即三角形的外心，选项错误； 过四点的圆存在，比如正方形的外接圆，选项错误． 故选B 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 题型二、确定圆的个数 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：． 【点睛】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 题型三、三角形的外接圆 7．（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在中，，点是的外心，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理的相关知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 已知点是的外心，那么、即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：由于点是的外心， 在的外接圆中， 、同对着弧； 由圆周角定理得：． 故选：B ． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，利用圆周角定理得出圆心角的度数，再根据点是外心可知，进而判断出的形状，最后利用勾股定理求得. 【详解】解：如图，过点作于点，则． 由题意，得内接于半径为的， ． 又， ， ， ， ， ； 故答案为：. 题型四、确定三角形的外心的位置 10．（2025·河北唐山·三模）如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外接圆与外心，正方形的性质、线段垂直平分线的性质、切线的判定等知识，根据相关知识逐项进行分析即可． 【详解】解：∵点为的外心， ∴， ∴点在边的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点为的外心， 故选项B正确，不符合题意， ∵， ∴点在的外接圆上，即是的外接圆的半径， ∵， ∴直线与的外接圆相切， 故选项D正确，不符合题意， 不一定平分，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 11．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 【答案】D 【分析】本题考查了中垂线的尺规作图和三角形的外接圆，掌握“三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点”是解题的关键． 先根据作图得出、、在以为圆心、为半径的圆上，内心是三角形的角平分线的交点，从而判断求解． 【详解】解：连接，，，如图： 由题意得：直线垂直平分，直线垂直平分， ， 点、、在以为圆心、为半径的圆上， 点在上，、、为的弦，是的外接圆． A、正确，但不符合题意； B、正确，但不符合题意； C、正确，但不符合题意； D、错误，但符合题意． 故选：D． 12．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出以为对角线的正方形的另一条对角线，交于点，连结即可； （2）分别作出，垂直平分线交点O． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． 【点睛】本题考查了三角形中线的意义，正方形的性质，三角形的外心，垂直平分线的性质，解题关键是掌握正方形的性质，垂直平分线的性质． 题型五、确定三角形的外心的坐标 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 15．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是坐标与图形、勾股定理、圆周角定理应用及三角形外心的性质， （1）先求出，得出为外接圆直径，则点C为线段中点，进而求出结论； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，分两种情况：当点C在y轴右侧时或点C在y轴左侧时，分别求出即可． 【详解】解：（1）点恰在轴的正半轴上，如下图： ，， ， ， ， 在中，， ∴为外接圆直径， 则点C为线段中点， ， 故答案为：； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，如图，当点C在y轴右侧时， ∴， 由垂线段最短得：， 在中，， 即， ； 同理，当点C在y轴左侧时，； 综上所述，的取值范围是或． 16．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 【答案】(1)；2 (2)点M在内 【分析】本题考查了过三点的圆和勾股定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． （1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出坐标，求出半径即可； （2）求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系． 【详解】（1）解：连接，，分别作出与的垂直平分线，交于点P，点P为圆心．如图所示： 由图形可知． 在中，，，由勾股定理可知：． 即的半径为． （2）解：∵点， ， ∴， ∴点M在内． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)． (3)在内． 【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为， 故答案为：． （2）解：， 即的半径为． （3）解：， ， ∴点与的位置关系是点D在内． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． 题型一、三角形的外接圆的有关计算 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，连接，根据直角三角形的性质即可得出的半径． 【详解】解：如图， 连接OB，过点O作于点E，则． 易得BO平分， ， ． ， ， 解得． 故选：. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，是一道综合性较强的题目，难度不大． 19．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 20．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 22．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义、勾股定理，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形模具的斜边长，结合三角形的外接圆的定义可知圆形纸片的直径应大于等于直角三角形斜边长，即可得到这个圆形纸片的最小直径． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为，D为上在第一象限内的一点．若，求： (1)的半径． (2)点B的坐标． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接；由圆周角定理可知，为的直径；中，易知的长，而，即可求得斜边的长，也就求得了的半径； （2）在中，由勾股定理即可求得的长，进而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：连接，如图． 是直角， 是的直径． ， ， ． 点A的坐标为， ， ， 的半径为2． （2）在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 点B的坐标为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、点的坐标意义、勾股定理等知识的综合应用能力，正确的运算是解题的关键． 题型二、三角形的外接圆的应用 24．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． (1)尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查圆的确定，中垂线的判定，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法，是解题的关键： （1）分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心； （2）连接交于点，连接，推出垂直平分，勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． （2）解：连接交于点，连接，则：， ∵是等腰三角形，底边，腰， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：． 25．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线画法，尺规作圆，过一点作一条直线的垂线．根据题意利用角平分线性质及点到直线的距离画图即可． 【详解】解：∵要求在三条道路上各开一个门， ∴画和的角平分线交于点M，再过M作（或）的垂线，作圆M， ∴即得到中心公园M的范围，作图如下： 26．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理，正方形的性质等知识，作垂直平分线和得出是解题关键． （1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的板的最小边长，继而求出面积． 【详解】（1）解：满足题意的如图所示： ； （2）解 ：∵，，， ∴， ∴所需要正方形板的最小面积是． 27．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 【答案】；存在， 【分析】（1）过点C作于点D，过点O作于点E，连接，则，根据三角形面积公式即可得解． （2）作的外接圆，外接圆，连接，，由于M为的中点，则，；连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q，则在中，，在中，，可得到；取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H，先证，得到，，再由，得，再根据，得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点C作于点D，过点O作于点E，连接， 则，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ． （2）存在，如图，作的外接圆，外接圆，连接，， 由于M为的中点，则，， 连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q， 则在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 此时与均为正三角形，四边形为菱形，则过点M的直线必定平分菱形的面积．如图，取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即的长度为． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形外接圆、等边三角形的性质以及三角形的面积计算公式的运用，解决问题的关键是掌握三角形外接圆的性质． 28．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 题型三、三角形的外接圆的综合问题 29．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)面积的最大值为． 【分析】（）由角平分线的定义得，然后根据圆周角定理得，通过三角形的内角和定理得，最后由等边三角形的判定即可求解证； （）延长至，使，证明是等边三角形，所以，，证明，则，然后由线段和差即可求证； （）设的外心为，连接，，所以，又，则，所以点为定点，从而可得点在以为圆心，为半径的圆上，当点，，三点共线时，的面积最大，然后由面积公式求解即可； 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明： ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：延长至，使， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由（）知，，， ∴, 即， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设的外心为，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴点为定点， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示， 在等腰直角三角形中，于点，则有， 当点，，三点共线时，的面积最大， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 问题情境：金金和山山两位同学在讨论三角形外接圆的问题，金金说：“任何三角形都有且只有一个外接圆”；山山说：“若知道特殊三角形的三边长，外接圆半径可求”． (1)数学思考：①若直角三角形两条边长分别为3和4，则外接圆半径为______；②如图1，等腰内接于圆O，求圆O的半径． (2)深入探究：金金经过探索发现：“所有形状的三角形，只要知道三边长，外接圆半径都可以求得”，山山也想到了：“对，一旦知道三边长，则一定能计算出三角形的高线，接下去只要构造出相似三角形，半径必然可求．”如图2，内接于圆O，于点D，你可以参考山山的思路提示，求出外接圆的半径． 【答案】(1)2.5或2； (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟悉各种性质和定理，正确做出辅助线是解题的关键． （1）①根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，直接求解即可．②利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理来求解． （2）根据山山的思路，先求出三角形的高，再通过构造相似三角形来求解． 【详解】（1）解：①当3和4为直角边时，根据勾股定理，斜边， ∵直角三角形的外接圆的圆心就是斜边的中点，（为斜边）， ∴此时外接圆半径； ∴当4为斜边时，此时外接圆半径； 综上所述，直角三角形两条边长分别为3和4，外接圆半径为或2． ②连接并延长交于，连接， ∵， ∴平分， ∵是等腰三角形， ∴且平分（三线合一）， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 设圆半径为，则，， 在中，根据勾股定理， 解得， ∴圆的半径为． （2）解：设，则， ∵， ∴根据勾股定理在中， 在中有， ∴， 展开得， 继续展开得， 移项可得，即，解得， ∴， 连接并延长交圆于点，连接， ∵（同弧所对圆周角相等），， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴外接圆的半径为． 31．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理推出被垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 32．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解直角三角形等，作直径，连接，根据勾股定理求得 ，，解直角三角形得到，由，，得出，进而即可求得，从而求得圆的半径为． 【详解】解：作的外接圆，作直径，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：D． 33．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次方程的根，注意分类讨论．先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或 ∴，， ①当直角边分别为2，6时，斜边为， ∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长， ∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为； ②当斜边为6时， 此时直角三角形外接圆直径为6，半径为3， 故答案为：3或． 34．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【分析】此题重点考查三角形的外接圆的定义、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键．设中，，，，则，根据题意可知当为直径时，直径最短． 【详解】解：如图，，，， 由勾股定理得， ∵圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 则这个圆形纸片的最小直径为， 故答案为：13． 35．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知点是直线外一点，于点，且，点B，C均在直线上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.1点与圆的位置关系（2） 题型一、确定圆的条件 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧； B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角对的弧相等 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（   ） A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点 B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上 C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个 D．过四点A，B，C，D的圆不存在 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 题型二、确定圆的个数 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 题型三、三角形的外接圆 7．（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在中，，点是的外心，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为 ． 题型四、确定三角形的外心的位置 10．（2025·河北唐山·三模）如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 11．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 12．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 题型五、确定三角形的外心的坐标 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 15．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 16．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 题型一、三角形的外接圆的有关计算 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 22．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为，D为上在第一象限内的一点．若，求： (1)的半径． (2)点B的坐标． 题型二、三角形的外接圆的应用 24．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． (1)尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 25．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 26．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 27．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 28．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 题型三、三角形的外接圆的综合问题 29．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，求面积的最大值． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 问题情境：金金和山山两位同学在讨论三角形外接圆的问题，金金说：“任何三角形都有且只有一个外接圆”；山山说：“若知道特殊三角形的三边长，外接圆半径可求”． (1)数学思考：①若直角三角形两条边长分别为3和4，则外接圆半径为______；②如图1，等腰内接于圆O，求圆O的半径． (2)深入探究：金金经过探索发现：“所有形状的三角形，只要知道三边长，外接圆半径都可以求得”，山山也想到了：“对，一旦知道三边长，则一定能计算出三角形的高线，接下去只要构造出相似三角形，半径必然可求．”如图2，内接于圆O，于点D，你可以参考山山的思路提示，求出外接圆的半径． 31．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 32．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 33．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 34．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 35．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知点是直线外一点，于点，且，点B，C均在直线上，，则的最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $