培优02 整式乘法中的图形问题3大题型（大单元专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题02 整式乘法中的图形问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、恒等式问题 1 题型二、图形周长/面积问题 5 题型三、利用规律解决问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、恒等式问题 1．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解题的关键． 利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】解：由图可知，图1的面积为：， 图2的面积为：， 所以． 故选：A． 2．如图， 将图1中阴影部分拼成图2， 根据两个图形中阴影部分的关系， 可以验证下列哪个计算公式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分别计算图1和图2中阴影部分的面积，再根据面积相等来验证公式．本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键． 【详解】解：图1中阴影部分是边长为的正方形，其面积为． 图2中，阴影部分面积为（因为图2中阴影部分可看作大正方形减去2个长方形后，再加上边长为b的正方形的面积）． 因为图1和图2阴影部分面积相等， 所以． 故选：A． 3．如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形的应用，根据题意表示出阴影部分面积是解题的关键． 由题意表示出两个图形中阴影部分的面积，再根据图中阴影部分的面积关系得出恒等式即可． 【详解】解：第1个图形中阴影部分的面积为， 第2个图形中阴影部分的面积为， 由图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为； 故选：B． 4．如图，（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则表示中间空的部分的面积不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的混合运算以及完全平方公式，求出正方形的边长是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵图（1）是一个长为，宽为的长方形，大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为， ∵原矩形的面积为， ∴中间空的部分的面积． 故表示中间空的部分的面积不正确的是A， 故选：A． 5．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了．观察图，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各图形的面积是关键．大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式、、之间的等量关系；依此即可求解． 【详解】解：观察图②可知，代数式、、之间的等量关系式：；；． 故答案为：；；． 6．如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个、的恒等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】解：大正方形边长为：，面积为：， 也可以用两个小正方形的面积，两个矩形的面积的和表示，即， ∴． 故答案为：． 7．如图甲所示，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到两数和的完全平方公式是：，根据图乙能得到的数学公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟悉图中面积关系是关键． 对图乙：一方面，阴影部分正方形面积是，另一方面，它的面积是大正方形面积减去两个相等长方形面积，再加上一个边长为b的小正方形面积，根据面积相等即可得到等式． 【详解】解：图乙阴影部分正方形面积可以表示为， 还可以表示为， ∴由面积相等关系得：． 故答案为： 题型二、图形周长/面积问题 8．如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（   ） A．20 B．22 C．36 D．38 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积．本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，认真分析图形，利用公式是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， 化简得， 由图3可知，阴影部分面积． 故选：． 9．有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．94 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用． 设正方形A，正方形B的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】设正方形A，正方形B的边长分别为，由甲得：， 由乙得：， ∴，． 由丙得知：． 故选：A． 10．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，根据拼成大正方形的卡片的边长，可知拼成的大正方形的面积为，利用完全平方公式分解因式可得：，根据正方形的面积是边长的平方可知大正方形的边长为． 【详解】解：由题意可知， 拼成的大正方形的面积为， 分解因式可得：， 大正方形的边长为． 故选：C． 11．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】23 【分析】本题考查整式的运算以及化简求值．熟练掌握完全平方公式及适当的变形是解题的关键． 用含有、的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， ∵， 原式． 故答案为：23． 12．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为1，其邻边长为5，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积，根据题意先表示出剩余部分的面积，即，根据长方形的面积公式建立等式，解等式求得m的值即可求解． 【详解】解：剩余部分的面积：， 根据题意，剩余部分的面积等于长方形的面积， ∴， ∴， 简化后得到， 移项得到， 解得：， 故答案为：2． 13．如图1和图2所示，先在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2）． （1）若图2的一边长为，则“？”所对应的边长为 （用含的式子表示）； （2）若图2是一个正方形，那么 ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了多项式除以单项式，完全平方公式在几何图形中的应用，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握完全平方公式． （1）根据图形列出算式，再利用完全平方公式计算，然后利用多项式除以单项式计算出“？”所对应的边长为； （2）根据图2是一个正方形，列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：图1的阴影部分面积为， ∵将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2），图2的一边长为， ∴“？”所对应的边长为， 故答案为：； （2）∵图2是一个正方形， ∴，解得：， 故答案为：． 14．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要C类卡片 张．   【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式求出边长为的正方形的面积，再分析各类卡片的面积，从而得出需要类卡片的数量． 【详解】解：∵ 边长为的正方形的面积为，类卡片面积为，类卡片面积为，类卡片面积为 ∴ 拼成该正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张． 故答案为： 15．如图，用含x的代数式表示图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 由图可知下面的长方形长为，分别计算两长方形的面积相加即可． 【详解】， 故答案为：． 16．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒，如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为，求长方形纸板的面积． 【答案】长方形纸板的面积为 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 设底面长方形的另一边为m，根据容积表示出m，即可确定出长方形纸板的长与宽，即可求出答案． 【详解】解：设底面长方形的另一边为m， 根据题意得：， 解得：， 则长方形纸板的面积为： ． 17．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （3）代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：当，时，， （元）， 所以购买所需地砖需要元． 18．已知正数，，，满足，． (1) ______； (2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，求这三张正方形纸片的面积之和． 【答案】(1)2 (2)7 【分析】本题考查代数式求值，整式混合运算的应用． （1）由等式，得出比大，比大，由此得出比大． （2）根据，得出，，将其代入得出，通过计算张正方形纸片的面积和，化简后得出面积和，用整体代入法把代入得出面积和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴． 故答案为：． （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 这三张正方形纸片的面积之和： ． 19．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【答案】需要杯子个 【分析】本题主要考查整式的混合运算．要计算瓶子中的水可倒满几个杯子，实际上是计算瓶子中水的体积是杯子中水的体积的几倍，列算式计算即可． 【详解】解：由题意可知： 图1几何体的容积为：， 图2几何体的容积为：， 则需要杯子的个数：（个）， 20．如图，新城小区有一块长，宽的长方形空地，为了给大家提供一个休闲场地，物业在这块空地内规划了一个边长为的正方形休闲场地，在该场地的一侧修了一条长，宽的长方形小路，然后在其他部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含，的式子表示铺草坪的面积；（结果需要化简） (2)若，，铺草坪需要20元，铺完这些草坪一共需要多少元？ 【答案】(1)； (2)铺完这些草坪一共需要8520元． 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，代数式求值． （1）根据铺草坪的面积矩形的面积空白部分面积解答即可． （2）将，代入求出面积，再计算费用即可解答． 【详解】（1）解：由题意得铺草坪的面积为 ． 故铺草坪的面积为； （2）解：将，代入（1）式，得， （元）， 答：铺完这些草坪一共需要8520元． 21．如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示） (2)求绿化面积比雕像面积多多少平方米？（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了列代数式和整式的运算，掌握多项式的乘法法则和完全平方公式是解决本题的关键． （1）用长方形的面积减去正方形的面积得结论； （2）用绿化面积减去雕像面积得结论． 【详解】（1）解： 平方米． 答：绿化的面积是平方米． （2）解： 平方米． 答：绿化面积比雕像面积多平方米． 22．如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据题意和图形列出代数式即可； （）由可得，即得，进而即可求解； 本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∴长方形的周长． 题型三、利用规律解决问题 23．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 24．小明同学将图1中的阴影部分（边长为m的大正方形中有一个边长为n的小正方形），拼成了一个长方形（如图2），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是___________（用含m、n的式子表示），运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 【答案】，（1）1，（2） 【分析】本题考查了平方差公式的几何图形，完全平方公式，表示图中阴影部分面积是解题的关键． 根据题意分别求出图与图阴影部分面积，然后由面积相等即可求解； （）利用平方差公式即可求解； （）利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解：图阴影面积：，图阴影面积：， ∵图与图阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：； （） ； （） ． 25．动手操作：如图①，将一个大长方形沿虚线剪开分成四个全等的小长方形，然后按照图②所示拼成一个“回形”正方形． 问题探究： （1）观察图②，请用两种不同的式子表示阴影部分的面积______，______； （2）观察图②，三个代数式，，之间的等量关系为______； 问题解决： （3）根据（2）中的等量关系，请解决问题：若，，求的值． 【答案】（1），；（2）（或）；（3）或 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，平方根： （1）第一种方法为：大正方形面积4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积； （2）由面积相等可得等量关系为：； （3）利用（2）中得出的关系式可求解． 【详解】解：（1）图②中，阴影部分的面积可以表示为：或， 故答案为：或； （2），或； （3）由（2）得， 将，代入，得：， ， 则， 即或 26．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 27．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 28．知识储备：我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：设，则， ∴，即． 解决问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，一户人家有一块长方形土地，其内部有一条宽度为a的L型种植区域①，其余部分（长方形）为种植区域②，测量区域②的面积为340；阿凡提有两块正方形的土地与跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为与．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释． 【答案】(1) (2)阿凡提没有损失，解释见解析 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）由题意得，，，，分别计算长方形的面积和正方形、正方形的面积，进行比较可得阿凡提有没有损失． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）阿凡提没有损失．解释如下： 由题意得，，，， ∵，， ∴长方形的面积为：， 正方形、正方形的面积的和为： ， ∵， ∴阿凡提没有损失． 29．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) ，(2)3，(3)79． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）由，则，利用面积公式和完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：(1)由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积， ∴； (2)由（1）可得， ∵ ， ， ； (3) 设，则， ∵， ∴， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和为 ． 30．数学活动课上，老师分别准备了几张如图①所示的正方形和长方形卡片，从这些卡片中选取几张，用它们拼成如图②所示的正方形． (1)请你用两种不同的方法表示图的面积； 方法一：______，方法二：______； (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图的面积即可； （2）由（1）中两种方法所表示的面积相等可得答案； （3）根据（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：方法：图整体上是边长为的正方形，因此面积为， 方法：拼成图的四个部分的面积和为， 故答案为：，； （2）解：由（1）中两种方法所表示的图形面积相等可得，； （3）解：， ，即， ， ， 解得， ． 31．乘法公式的探究与应用： (1)如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分的面积是_______． (2)小颗将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的面积是_______（写成多项式乘法的形式）． (3)比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到恒等式_______． (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及其在简算中和代数式求值中的应用，熟悉公式及理解情景是解题的关键． （1）由图形可知长和宽的值，再根据正方形面积公式可得答案； （2）根据长方形面积公式即可得答案； （3）由（1）（2）可直接得出答案； （4）先将左边用平方差公式展开，再将代入可得答案． 【详解】（1） （2） （3） （4） ， ． 32．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)53 (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式的变式，即可求解； （2）利用完全平方公式的变式，即可求解； （3）利用完全平方公式的变式及正方形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：12． （2）解：， ． ， ， ． （3）解：设，则． 根据题意可知， ， ， 阴影部分的面积为． 33．如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形． (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系______； (2)利用（）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图，正方形和正方形面积之和为，点、点在边上，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （）利用（）的结论进行解答即可； （）设，，则，，根据，求出，再根据，求出，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：图整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，个长方形的面积和为， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 1．如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，根据图形面积之间的关系可证明，设自然数m与自然数n的平方差为2023，则，根据，得到或或，解方程组求出m、n的值，进而求出对应的的值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则左边那幅图中红色部分的面积为，右边那幅图中红色部分的面积为， 因为两幅图中红色部分的面积相等， 所以， 设自然数m与自然数n的平方差为2023， 所以， 因为m、n都是自然数， 所以都是自然数， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或或， 因为， 所以的最小值为， 故答案为：． 2．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：_________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）；（2）14；（3）；（4）18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，以及对完全平方公式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变的能力． （1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积； （2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解； （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式； （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【详解】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：； 故答案为：； （2）由题（1）知：， ∵，， ； （3）根据题意得：； 故答案为：； （4）由（3）可知， 把，代入得： ． 3．如图，是边长为a的正方形剪掉一个边长为b的小正方形． (1)请你用虚线将图形分割后再拼成一个长方形，画出图形．原来图形的面积为_________，拼成的长方形面积为______，根据两者的面积关系可以得到等式________． (2)利用你发现的等式求的值． 【答案】(1)画图见解析，；； (2) 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义及逆用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）分别计算原图形（大正方形面积减小正方形面积）和拼成长方形的面积，根据面积相等得平方差等式； （2）将每个逆用平方差公式分解为，展开后通过中间项约分计算结果即可． 【详解】（1）解：用虚线将图形分割后拼成的长方形如图所示： 原来图形的面积大正方形面积小正方形面积； 拼成的长方形的长为、宽为，故面积； ∵拼接前后面积不变， ∴等式为 故答案为：；；； （2）解：由（1）得平方差公式，逆用公式得 则原式 ， 答：该式的值为． 4．等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． (1)如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式的乘法，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． (1)图是由一个边长为的正方形、一个边长为的正方形和三个长为，宽为的长方形组成，所以面积为； (2)①图2是由三个边长分别为、、的正方形、两个长和宽分别为、的长方形，两个长和宽分别为、的长方形，两个长和宽分别为、的长方形组成，所以等式为；②将①的等式变形为，代入数值即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①当把图形看作是边长为的正方形时，面积为， 把图形看作个正方形和个长方形拼成时，面积为， ∴ 故答案为：； ②因为， 所以 所以 5．（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 6．（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）①；②． 【分析】本题利用几何图形探索完全平方公式，考查了完全平方公式的几何意义以及利用公式的变形，与平方差公式的变形进行计算． （1）方法①是将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧，则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形，方法②是分割法求面积，用正方形草坪的面积减去两条小路的面积，需要注意的是两条小路的重叠部分是边长为的小正方形，减去了两次，要再加上； （2）类比（1），用两种方法求大正方形的面积，从而可得； （3）①利用（1）、（2）所得两个公式，即可求出，②根据（2）可得，进而求出，再对所求式利用平方差公式分解因式进行求解． 【详解】解：（1）方法①：将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧， 则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形， 剩余草坪的面积为， 方法②：剩余草坪的面积为， 故答案为：，，； （2）类比（1）同理可得，用两种方法求图2中大正方形的面积为， 故所得等量关系为； （3）①由题意得， ， ； ②， ， ， ． 7．【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的公式是 ； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 ； 【拓展应用】直接用你发现的公式计算： . 【答案】[知识生成]，，；[知识迁移]；[拓展应用] 【分析】本题考查乘法公式与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． [知识生成]由于阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积，即，再根据阴影部分的面积由4个长为，宽为的小长方形构成，即，即可求得； [知识迁移]大正方体的棱长为，根据体积公式可得大正方形的体积．另大正方体被切割成了8个小正方体或长方体，因此大正方体的体积也为8个小正方体或长方体的体积之和，即可得到公式； [拓展应用]由上的结论将已知代入即可求得值． 【详解】解：[知识生成]∵阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积，即：， 又阴影部分的面积由4个长为，宽为的小长方形构成，即， ∴． 故答案为：，，； [知识迁移]大正方体的体积是， 大正方体被切割成了8个小正方体或长方体，它们的体积之和为： ． 故答案为：． [拓展应用]由上可知， ∴ ． 故答案为：． 8．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； (2)两个正方形，如图②摆放，边长分别为x，y．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知，，利用以上恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ， ； （2）解：由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为； （3）解：由图③得，正方体体积表示为， 也可以表示为， ， 即； （4）解：，， 由（3）得， ， ． 9．（1）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1_____图2_____；（用字母表示） （2）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 已知，求的值； （3）拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用，表示）． 【答案】 （1），； （2）的值为； （3）的面积为． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算即可； （2）由图形面积之间的关系，利用完全平方公式进行计算即可； （3）由图形面积之间的关系，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可得， 即， 由图可得，， 即， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：的值为． （3）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 答：的面积为． 10．提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 【答案】任务一：56，见解析；任务二：51，见解析；任务三：正方形的边长；距离A下面的单位长度；距离左面的单位长度；无关；无关 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，整式的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 任务一：仿照题干解法求解即可； 任务二：仿照题干解法求解即可； 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线，设，再仿照题干解法求解． 【详解】解：任务一： 如图，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为4、3，其面积为12，所以四边形的面积是； 任务二： 如图，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是； 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线， 设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是， ∴四边形的面积由正方形的边长、距离A下面的单位长度、距离左面的单位长度确定，它与的长度无关，与的倾斜程度无关． 11．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)图1中阴影部分的面积为__________________ (2)将图1阴影部分沿虚线剪下拼成如图2的一个长方形，这个长方形的长是________，宽是_________，则图2阴影部分的面积是____________________ (3)比较（1）（2）结果，你能验证公式______________________________ (4)用该公式计算： 【答案】(1) (2)；； (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积； （2）长方形的面积等于长乘以宽； （3）根据阴影部分的面积相等得到公式； （4）连续使用平方差公式，化简即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：； （2）解：阴影部分的宽为，长为，面积为， 故答案为：；；； （3）解：根据阴影部分面积相等得， 故答案为：； （4）解： ． 12．观察图形，解决问题： (1)【观察分析】如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)【阅读理解】若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)【问题解决】如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)2 (3)10 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合阅读材料的方法进行解题即可； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， ∵， ， ， ； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法中的图形问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、恒等式问题 1 题型二、图形周长/面积问题 3 题型三、利用规律解决问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、恒等式问题 1．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（   ） A． B． C． D． 2．如图， 将图1中阴影部分拼成图2， 根据两个图形中阴影部分的关系， 可以验证下列哪个计算公式（     ） A． B． C． D． 3．如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则表示中间空的部分的面积不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了．观察图，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ． 6．如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个、的恒等式 ． 7．如图甲所示，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到两数和的完全平方公式是：，根据图乙能得到的数学公式是 ． 题型二、图形周长/面积问题 8．如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（   ） A．20 B．22 C．36 D．38 9．有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．94 B．77 C．78 D．79 10．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 11．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为1，其邻边长为5，则 ． 13．如图1和图2所示，先在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2）． （1）若图2的一边长为，则“？”所对应的边长为 （用含的式子表示）； （2）若图2是一个正方形，那么 ． 14．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要C类卡片 张．   15．如图，用含x的代数式表示图中阴影部分的面积是 ． 16．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒，如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为，求长方形纸板的面积． 17．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 18．已知正数，，，满足，． (1) ______； (2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，求这三张正方形纸片的面积之和． 19．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 20．如图，新城小区有一块长，宽的长方形空地，为了给大家提供一个休闲场地，物业在这块空地内规划了一个边长为的正方形休闲场地，在该场地的一侧修了一条长，宽的长方形小路，然后在其他部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含，的式子表示铺草坪的面积；（结果需要化简） (2)若，，铺草坪需要20元，铺完这些草坪一共需要多少元？ 21．如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示） (2)求绿化面积比雕像面积多多少平方米？（用含a，b的代数式表示） 22．如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 题型三、利用规律解决问题 23．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 24．小明同学将图1中的阴影部分（边长为m的大正方形中有一个边长为n的小正方形），拼成了一个长方形（如图2），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是___________（用含m、n的式子表示），运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 25．动手操作：如图①，将一个大长方形沿虚线剪开分成四个全等的小长方形，然后按照图②所示拼成一个“回形”正方形． 问题探究： （1）观察图②，请用两种不同的式子表示阴影部分的面积______，______； （2）观察图②，三个代数式，，之间的等量关系为______； 问题解决： （3）根据（2）中的等量关系，请解决问题：若，，求的值． 26．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 27．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 28．知识储备：我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：设，则， ∴，即． 解决问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，一户人家有一块长方形土地，其内部有一条宽度为a的L型种植区域①，其余部分（长方形）为种植区域②，测量区域②的面积为340；阿凡提有两块正方形的土地与跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为与．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释． 29．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 30．数学活动课上，老师分别准备了几张如图①所示的正方形和长方形卡片，从这些卡片中选取几张，用它们拼成如图②所示的正方形． (1)请你用两种不同的方法表示图的面积； 方法一：______，方法二：______； (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． 31．乘法公式的探究与应用： (1)如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分的面积是_______． (2)小颗将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的面积是_______（写成多项式乘法的形式）． (3)比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到恒等式_______． (4)若，求的值． 32．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 33．如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形． (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系______； (2)利用（）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图，正方形和正方形面积之和为，点、点在边上，若，求图中阴影部分的面积． 1．如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 2．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：_________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 3．如图，是边长为a的正方形剪掉一个边长为b的小正方形． (1)请你用虚线将图形分割后再拼成一个长方形，画出图形．原来图形的面积为_________，拼成的长方形面积为______，根据两者的面积关系可以得到等式________． (2)利用你发现的等式求的值． 4．等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． (1)如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②已知，，求代数式的值． 5．（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 6．（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 7．【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的公式是 ； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 ； 【拓展应用】直接用你发现的公式计算： . 8．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； (2)两个正方形，如图②摆放，边长分别为x，y．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知，，利用以上恒等式求的值． 9．（1）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1_____图2_____；（用字母表示） （2）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 已知，求的值； （3）拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用，表示）． 10．提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 11．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)图1中阴影部分的面积为__________________ (2)将图1阴影部分沿虚线剪下拼成如图2的一个长方形，这个长方形的长是________，宽是_________，则图2阴影部分的面积是____________________ (3)比较（1）（2）结果，你能验证公式______________________________ (4)用该公式计算： 12．观察图形，解决问题： (1)【观察分析】如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)【阅读理解】若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)【问题解决】如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 1 / 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