专题03 等边三角形的性质与判定（四大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题03 等边三角形的性质与判定（四大题型） 【题型一 利用等边三角形的性质求边长】..................................................................................1 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】.................................................................................5 【题型三 等边三角形的判定】.....................................................................................................10 【题型四 等边三角形的判定与质】............................................................................................16 【题型一 利用等边三角形的性质求边长】 1．若等边三角形的边长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，由此即可计算． 【详解】解：∵等边三角形的边长是， ∴的周长． 故选：A． 2 2．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 3．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 1．如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边三角形的性质得出相等的角和边，证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴， ， 故选：A． 2．如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．首先求出，再利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：D． 3．如图，等边中，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定与应用．证明即可求解． 【详解】在等边中，， 又∵， ， ， 而， ． 故选：C． 4．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，过A作，得到，推出，，由等边三角形的性质推出，求出，即可得到． 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质，由为等边三角形，可得，再由，可得，从而得出，再根据等腰三角形的性质得，最后求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 由等边三角形的性质，可得和，根据三角形的内角和定理，可得，由对顶角相等，即可得的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，，是的中线， ∴，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； B、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； C、有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； D、反例：若两个外角都为，则此等腰三角形三个角，此等腰三角形不是等边三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件． 根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可． 【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 3.列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 4．如图，，若 ，则是等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：当或或或或时，是等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 6．如图，在中，D为延长线上的一点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键． 由，可得，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 7如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 8．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 9．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【题型四 等边三角形的判定与性质】 1．已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证： ① ②； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）①由判断形状，由，即可得出；②由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【详解】（1）证明：①是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ， ． ②和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． （2）解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 2．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状． （1）利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到； （2）根据得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ． （2）证明：， ， 即， ， 为等边三角形． 3．如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 【答案】(1) ， 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，理由见解析； (2) 的度数为． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，即可得线段、的数量关系，的度数；根据等边三角形的性质，证明，对应边相等，对应角相等，可得线段、的数量关系，的度数，与中的结论进行对比即可； （2）在上截取，连接，与的交点即为点，由三角形的内角和定理，可得，证明，可得，，可得是等边三角形，可得，从而可得的度数． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， 故答案为：，． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，理由： ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段、的数量关系为，， ∴当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立． （2）解：在上截取，连接，与的交点即为点， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 4．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质求解即可； （2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证出，即可求解． 【详解】解：（1）解：∵为等边三角形， ∴ ∵为的中点， ∴平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）． 理由：过点E作，交于点，则，，如图所示： ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴． 5．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据可知是直角三角形． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形． 6．如图，在等边中，交于C，交于B，延长到E，使得，过作于F． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后求出； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)成立，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论； （2） 仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论； （3）结论仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论． 【详解】（1）证明：如图 ①∵为等边三角形， ∴， 又为中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴． （2）仍然成立，理由如下： 如图，过点D作交AC于M ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴． （3）的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图． 作交的延长线于， ∴ ∴为等边三角形， ，， 而， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．在中，，点在边上，连接，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解； （2）由（1）可得，则可证，然后问题可求解 【详解】（1）证明：如题图①， ， ． ， ， ． ， ， ∴是等边三角形． （2）解：如题图②， ∵是等边三角形， ． 在和中， ， ， ， 的度数是． 9．如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：为等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． （1）利用等边三角形的性质得出，进而即可得证； （2）由三角形的外角性质和全等三角形的性质即可得解； （3）由平角的性质和等边三角形的性质得出，再由得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ． （3）证明：，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 是等边三角形． 10．已知，D为等边的边上一点，E为直线上一点，． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点E在的延长线上时，交于点P，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键； （1）根据有一个角是度的等腰三角形是等边三角形即可证明； （2）过点作，交于点，证明，得出可推出结果． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 又， ． 又， 是等边三角形； （2）解：如图，过点作，交于点， ，，， 是等边三角形， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， ． 11．如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质及可得，进而可得，则可求解； （2）利用可证得，进而可得，再根据等边三角形的判定即可证结论； （3）连接，可得，进而可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． 在和中， ， ， ， ． （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ， 是等边三角形． （3）连接，如图： ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 12． 如图1，已知点D是等边中边上的点，连接，过点D作． ，与 的外角 的平分线交于点F． (1)求证：； (2)当点D在线段的延长线上时，如图2，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形： （1）作，交于点，证明为等边三角形，得到，进而得到，三角形的外角推出，证明，即可得证； （2）作交于G ，推出为等边三角形，证明，得到，进而得到，根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：作，交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解： 理由如下： 作交于G， 则，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 1．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 2．如图，在中，，，为射线上一动点（不与点重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，理由如下见解析． 【分析】本题是考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解； （）由得，利用即可得出结论； （）由（）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：，理由如下， 由（）知， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等边三角形的性质与判定（四大题型） 【题型一 利用等边三角形的性质求边长】..................................................................................1 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】.................................................................................2 【题型三 等边三角形的判定】.....................................................................................................3 【题型四 等边三角形的判定与质】............................................................................................6 【题型一 利用等边三角形的性质求边长】 1．若等边三角形的边长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 1．如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 3．如图，等边中，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 7．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 【题型三 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 2．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 3.列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，若 ，则是等边三角形． 5．如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 6．如图，在中，D为延长线上的一点，．求证：是等边三角形． 7如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 8．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 9．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【题型四 等边三角形的判定与性质】 1．已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证： ① ②； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 2．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 3．如图，在中，为锐角．点D为射线上一动点，以为边且在的右侧作等边三角形． (1)如果． 当点在线段上时，如图1，线段、的数量关系为 ， ． 当点在线段的延长线上时，如图2，中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点在线段上运动．当时，求的度数． 4．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由． 5．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 6．如图，在等边中，交于C，交于B，延长到E，使得，过作于F． (1)求证：； (2)连接，求证：． 7．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 8．在中，，点在边上，连接，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数． 9．如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：为等边三角形． 10．已知，D为等边的边上一点，E为直线上一点，． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点E在的延长线上时，交于点P，若，，求的长． 11．如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形； (3)连接，若，求的长． 12． 如图1，已知点D是等边中边上的点，连接，过点D作． ，与 的外角 的平分线交于点F． (1)求证：； (2)当点D在线段的延长线上时，如图2，请写出之间的数量关系，并说明理由． 13．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 14．综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 1．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 2．如图，在中，，，为射线上一动点（不与点重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $