2.4 等腰三角形的判定定理-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（浙教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册“特殊三角形”章节，核心围绕等腰三角形与等边三角形的判定定理展开，通过典型例题导入，从定义出发结合角平分线、平行线等条件推导判定方法，设置关键点拨与技巧点拨作为学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计“刷基础、刷提升、刷素养”练习，融入微专题“角平分线+平行→等腰三角形”及分类讨论思想，如动点问题用方程思想（数学思维）、折叠问题转化为等腰三角形判定（数学眼光），培养学生推理能力与创新意识，教师可借助清晰解析与点拨高效教学，助力学生提升解题能力。

数 学 八年级上册 ZJ 1 2 第2章 特殊三角形 3 2.4 等腰三角形的判定定理 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 等腰三角形的判定 1.下列三角形中，不是等腰三角形的是( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 【解析】 A 第三个角的大小为 ，所以A选项中的图形不是等腰三角 形 B 第三个角的大小为 ，所以B选项中的图形是等腰三角形 C 第三个角的大小为 ，所以C选项中的图形是等腰三角 形 D 由图形中有两边长为5知，D选项中的图形是等腰三角形 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （第2题图） 2.［2025浙江宁波期中］如图， ， ，则图中的等腰三角形的个数为( ) D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】因为 ， ，所以 和是等腰三角形.因为 ， ， 所以 ，所以，所以 是等腰三角形， 同理,是等腰三角形, .因为 ，所以 ，所以 ，所以，所以 是等 腰三角形，同理 是等腰三角形.综上所述,等腰三角形有6个， 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 关键点拨 熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第3题图） 3.［2025浙江宁波期中］如图，在方格纸上，点， 在格点上，网 格中存在格点使得是以 为顶角的等腰三角形，这样的 格点 的个数为( ) B A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【解析】如图，这样的格点 的个数为5个.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 技巧点拨 已知等腰三角形的顶角是 ，所以 ，那么找点可以以为圆心， 长为半径画圆，圆上格点的个数即为点 的个数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （第4题图） 4.［2025浙江嵊州期中］如图，在四边形中， ， ，平分，交于点，平分，交 于 点，，，则 的长为____. 10 【解析】因为平分，所以.因为 ， 所以，所以，所以 .因为 ，所以.又因为，所以 . 因为，，所以.因为平分 ，所以 .因为，所以 ，所以 ，所以，所以 . 故答案为10. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （第5题图） 5.如图,为内一点，平分， ， ，若，，则 的长为___. 5 【解析】延长交于，如图.因为平分 ， ，所以易得 为等腰三角形，所以 ，.因为 ，所以 ，所以 .故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.如图，在中，点，分别是边， 上的点，且 ，连结，交于点， ． （1）求证： 是等腰三角形． 【证明】因为，，，所以 ， 所以，所以，所以 ，即 ，所以 是等腰三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （2）若 ，，求 的度数． 【解】由（1）知.又因为 ， 所以 . 因为，所以 . 又因为，所以 , 所以 ，所以 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 思路分析 （1）证明 , 得到，所以，再根据角的和差可得到 ，于 是得到 是等腰三角形. （2）根据三角形的内角和定理求出的度数，由, 及 三角形的内角和定理可得到 的度数，再根据三角形外角的性质即可得到 的度数． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 知识点2 等边三角形的判定 7.［2024浙江宁波调研］下列推理中，不能判定 是等边三角形的是( ) D A. B.， C. ， D.，且 【解析】由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定 是等边三角 形，故A选项不符合题意．由“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”可以 判定是等边三角形，故B选项不符合题意．由“ ， ”可 以得到“ ”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形” 可以判定是等边三角形，故C选项不符合题意．由“，且 ” 只能判定 是等腰三角形，故D选项符合题意．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 8.［2024浙江台州期末］如图， 中， ，现有两点，分别从点、点 同时出 发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点 的速度为 ．当点第一次到达点时，，同时停止运动．点， 运动___后，可得到等边三角形 ． 4 【解析】设点，运动后，可得到等边三角形，所以 ， .因为是等边三角形，所以 ，所以 当时，是等边三角形，所以，所以 ，所以点 ，运动后，可得到等边三角形 ．故答案为4． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 9.如图，延长的各边，使得， ，顺 次连结，，，得到 为等边三角形.求证： （1） ； 【证明】因为，，所以.因为 是 等边三角形，所以 . 又因为，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （2） 为等边三角形. 【解】由，得 ,所以 . 因为是等边三角形，所以 ， 所以 . 由，得 . 因为 ，所以 .因为是 的外角， 所以 ，所以 ,所以 是等边三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 提升 （第1题图） 1.［较难］如图所示，在中，，点是 的中 点，是的平分线，作交于，已知 ， 则 的长为( ) A A.12 B.11 C.10 D.9 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】如图，延长到，使，连结，延长 交 的延长线于.因为是的中点，所以.在 和 中，所以 ，所以 ，.又因为是的平分线，所以 .又因 为，所以，所以 ， ，所以 .因为 ，，所以 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 关键点拨 可通过作辅助线，即延长到，使，连结，延长交 的延长 线于 ，将角之间的关系转化为线段之间的关系，进而可得出结论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （第2题图） 2.［2024河南南阳期末，中］如图是两块完全一样的含 角的直 角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点 转动，使 上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点 ．已知 ，则这两块直角三角板顶点， 之间的距离等于___． 2 【解析】如图，连结.因为点是 中点，所以 .由旋转可知，， ，所以 ，所以 ，所以 .又因为,所以 是等边三角形， 所以 ，故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 3.［2025浙江杭州期末，较难］如图， ，点是 内任意一点， ，点和点分别是射线和射线上的动点，若 周长的最小 值是，则 ____. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】如图,分别作点关于,的对称点,，连结 ， 分别交,于点,，连结,.因为点关于 的对称 点为，所以,,.因为点 关于 的对称点为，所以,, ， 所以.因为的周长的最小值为 , ，所以 ，所以 是等边三角形，所以 ， 所以 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 微专题1 角平分线平行 等腰三角形 4.［2025浙江宁波校级期末，中］如图（1），为的平分线 上一点，过 点作交于点，易得 为等腰三角形. 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （1）【基本运用】如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，使点 落在 点处，交于点， 是等腰三角形吗？为什么？ 【解】是等腰三角形.理由：在长方形中，因为 ，所以 .由折叠的性质可得，所以 ，所以 ，所以 是等腰三角形. （2）【类比探究】如图（3），中，内角与外角 的平分线交于 点，过点作分别交，于点，，试探究线段，， 之间 的数量关系,并说明理由. 【解】.理由：同（1）可证为等腰三角形，则 .因 为平分，，所以，所以 ，所以 . 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （3）【拓展提升】如图（4），四边形中，，为边的中点， 平分，连结，求证： . 【证明】如图，延长交的延长线于.因为 ，所以 ，因为平分，所以 ，所 以，所以.因为是的中点，所以 .在 和中，所以 ，所以 ，所以点是的中点，所以 . 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 刷素养 走向重高 5.思想方法 分类讨论［较难］定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三 角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”． 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 （1）图（1）是顶角为 的等腰三角形，这个三角形的“三分线”已经画出， 请你在图（2）中用不同于图（1）的方法画出顶角为 的等腰三角形的“三分 线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形是3对全等 三角形，则视为同一种方法） 图（1） 图（2） 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 【解】如图（1）或图（2）所示（画出其中一种即可）. 图（1） 图（2） 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 图（3） （2）图（3）是顶角为 的等腰三角形，请你在图（3）中画出顶角为 的等腰三角形的“三分线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数． 【解】如图（3）或图（4）所示（画出其中一种即可）. 图（3） 图（4） 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （3）中， ，和是的“三分线”，点在边上，点 在边上，且，，设 ，则 所有可能的值为________． 20或40 图（5） 【解析】分以下两种情况： ①如图（5），当 时，由题可知， ， ，所以 ,所以 ，所以 ． 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 图（6） ②如图（6）,当 时，由题可知， ， ，所以 ，所以 ,所 以．综上， 所有可能的值为20或40．故答案为20或 40. 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 $$