第1章 三角形能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第1章 三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒首尾相连，组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 4．古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 5．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，要使，还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 8．如图，在中，，平分，交于点 D，若，则点D到的距离为（  ） A． B． C． D． 9．利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①③ 12．如图，，，，点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为，当与全等时，t的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．2或 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则的周长为 ． 14．如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 ． 15．如图，在一个支架的横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 16．如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（（8分）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 18．（（8分）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（（8分）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 20．（（8分）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 21．（8分）阅读下列材料，然后解决问题： (1)如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 22．（10分）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 23．（10分）【综合与探究】 （1）在和中，，，，连接． 【模型呈现】 ①如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 ②如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数； 【拓展延伸】 （2）如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上取点M，N，且满足点M，N分别是的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． 24．（12分）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒首尾相连，组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.因为，所以不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，本选项不符合题意； B. 因为，所以能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，本选项符合题意； C. 因为，所以不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，本选项不符合题意； D. 因为，所以不能与，长的两根木棒首尾相连组成三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断即可，正确理解三角形的高线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 3．如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边对等角、三角形全等的性质，根据性质得到是解题的关键． 由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】，， 又， ， ． 故选：A． 4．古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 5．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的定义和性质，角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键． 连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵由折叠得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，要使，还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 根据题目条件可知证明的条件已经具备“两边相等”，所以只需增加“第三边相等”或者“夹角相等”即可． 【详解】解：为无意义条件，故A不符合题意， 则是，无法证明，故B不符合题意； 根据可得，则是，无法证明，故C不符合题意； 添加能利用证明，故D符合题意； 故选：D． 7．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C 8．如图，在中，，平分，交于点 D，若，则点D到的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的平分线性质定理解答即可． 本题考查了角的平分线性质定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：，平分，交于点 D， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，为点 D到的距离， 故点D到的距离也为． 故选：B． 9．利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握三角形外角的性质定理． 延长交于点E，利用三角形外角的性质定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵，． ∴． ∵， ∴， 故选：A． 10．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 11．如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，平行线的性质，角平分线的定义结合平角的定义，求出，判断①，三角形的外角的性质，结合角平分线的定义推出，判断②，平行线的性质结合三角形的外角的性质，判断③，平行线的性质，等量代换判断④． 【详解】解：∵分别平分，，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，，， ∴， ∴；故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵，，， ∴；故④正确； 故选B． 12．如图，，，，点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为，当与全等时，t的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，t的值为2或时，与全等. 故选：C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．先证明，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：7． 14．如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 ． 【答案】50 【分析】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，易证，，即可求得，，，，即可求得梯形的面积和，，，的面积，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵梯形的面积， ， ， ∴图中实线所围成的图形的面积， 故答案为：50． 15．如图，在一个支架的横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．由垂直可证明，，得，得，根据计算即可． 【详解】解：∵当小球摆到位置时，与恰好垂直， ∴，， 又∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先证，进而证明，据此可判断①；由全等推出，，可判断③；由，推出，进而可得，可判断②；延长交于点F，可证，可判断④． 【详解】解： ， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ， ，故②错误； 如图，延长交于点F， ，， ，故④正确； 综上可知，正确的有， 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（（8分）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解； （2）根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．（（8分）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 19．（（8分）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底与底的比． （1）根据三角形的中线得，然后利用三角形的面积即可求出； （2）根据，两个三角形的高相等可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 20．（（8分）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 21．（8分）阅读下列材料，然后解决问题： (1)如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边关系的应用， （1）先证明 ，得出，再根据求出结论即可； （2）延长至点M，使，连接，同（1）证明得出，再根据得出结论． 【详解】（1）解：是边上的中线， ． 在和中， ， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ，即， ． 故答案为：． （2）证明：如图，延长至点M，使，连接， 同（1）得， ∴． ∵， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ​​​​​​​∴． 22．（10分）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为12． 23．（10分）【综合与探究】 （1）在和中，，，，连接． 【模型呈现】 ①如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 ②如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数； 【拓展延伸】 （2）如图3是某公园的局部平面示意图，已知和为等腰直角三角形，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上取点M，N，且满足点M，N分别是的中点，在区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）公园的规划能实现，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得，即为等腰直角三角形． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）公园的规划能实现，证明如下： 由题意得， 同理可证明， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴公园的规划能实现． 24．（12分）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； （3）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （4）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）．理由如下： 延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $