专题05 三角形全等的判定（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题05 三角形全等的判定（六大题型） .0 题型梳理 【题型一三角形全等的判定-SSS】… 1 【题型二三角形全等的判定-SAS】2 【题型三三角形全等的判定-ASA】4 【题型四三角形全等的判定-AAS】 .10 【题型五添加条件使三角形全等】11 【题型六全等三角形判定和性质综合】 12 题型专练 【题型一三角形全等的判定-Sss】 1.C是AB的中点，AD=CECD=BE,求证：△ACD兰△CBE. 2.如图，AB=AD,BC=DC,求证：△ABC兰△ADC D ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 3.如图，AB=DC,AC=DB.求证：△ABC兰≌△DCB. 4.已知：AB=CD,DE=BF,AE=CF,求证：△AEB≌△CFD. A B D 5,C是AB的中点，AD=CE,CD=BE.求证： D (1)求证：△ACD兰△CBE; (2)证明：∠A+∠ECA=180°. 【题型二三角形全等的判定-SS】 1.如图，己知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证：△ABD≌△ACE. B ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 2.己知：如图，A、E、B、D在同一条直线上，BCEF,BC=EF,AE=BD,求证： △ABC≌△DEF; A C E B 3.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=61°，∠BDE=76°. (1)求证：△BDE≌△BCA; (2)求∠AFD的度数. 4.如图，已知点C是线段BD上一点，AC⊥BD,AC=DC,E是AC上一点，BC=EC. B D (1)求证：△ABC兰△DEC; (2)若BD=12,EC=4,求AE的长. ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 3 5.如图，已知ABIDE,AB=DE.点B、E、C、F在同一条直线上并且BE=CF, D E (1)试说明：△ABC兰△DEF; (2)判断线段AC与线段DF的数量关系和位置关系，说明理由. 6.已知：如图，点F、C在线段BE上，AB=DE,∠B=∠E,BF=EC,求证： △ABC≌△DEF. D 【题型三三角形全等的判定-AAS】 1.如图，点B、C、E、F共线，ABICD,∠A=∠D,BF=CE:求证： △ABE≌△DCF. A下 E D ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2.已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B=∠ADE,AC=AE, ∠BAD=∠CAE.求证：△ABC兰△ADE. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB,过点B 作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.求证：△ABC兰△BDE. A 4.如图，AB‖CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两 点，再分别以E,F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射线 AP,交CD于点M. N B (1)若∠ACD=126°，求∠MAB的度数； (2)若CN⊥AM,垂足为N,试说明△CAN兰△CMN. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5.课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示， B ta cm E (1)求证：△ADC兰△CEB; (2)已知DE=49cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小和墙AD的高（每块砖的 厚度都为acm)· 6.已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，∠A=∠E,∠C=∠F,AD=BE C F H》 D B E (1)求证：△ABC兰△EDF; (2)当AE=8,BD=2时，求AD的长. 7.已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,1是过A的一条直线，BE⊥于 E,CD⊥I于D. A D B (1)求证：BE=AD: ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 (2)若BE=5,CD=7,求DE的长. 8.如图，△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD与BE相交于点F, BF=AC. E (1)求证：△ADC≌△BDF; (2)若DF=2,AF=3,求BC的长. 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于点F,BF=AC. D (1)求证：△BDF≌△ADC; (2)若BD=10,CD=6,求AF的长. 10.如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA=CF,∠B=∠B,延长 EF与线段AC相交于点D ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 7 7 A D F B E (1)求证：AB=FE (2)若ED⊥AC,ABII CE,求∠A的度数. 11.如图，D是△ABC的边AB上一点，CF‖AB,DF交AC于点E,DE=EF (1)求证：△ADE≌△CFE: (2)若AB=5,CF=4,求BD的长. 12.如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,∠1=∠2，AD=EC. A B E (1)求证：△ABD≌△EDC; (2)若AB=2,BE=3,求CD的长. 13.如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,E为BC的中点，且AE⊥DE,延长DE交AB的 延长线于点F 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ (1)求证：△FBE≌△DCE (2)若AD=12,CD=5,求AB的长。 14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作 CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D, B E (1)求证：AE=CD: (2)若AC=18cm,求BD的长. 15.小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直. 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1米高（即 DM=1m)的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.已知妈妈与爸爸到OA的 水平距离BD=1.3m,CE=1.8m,∠B0C=90°，BD⊥0A,CE⊥OA, B0=CO,设OA的延长线与地面交于M. 0 Eh-------( B---- -uD M (1)△OBD与△C0E全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在C处接住小丽时，求小丽距离地面的高EM, ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 9 【题型四三角形全等的判定-ASA】 1.如图，点C在线段BD上，CEAB,BC=CE,∠ACB=∠E.求证： △ABC≌△DCE· 2.如图，AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,垂足均为A,且∠ABD=∠ACE D B (1)求证：BD=CE. (2)BD,CE互相垂直吗？请说明你的理由. 3.在△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB,点D、E分别是边AC、BC上一点，连 接AE、BD交于点G ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 10 专题05 三角形全等的判定（六大题型） 【题型一 三角形全等的判定-SSS】.................................................................................1 【题型二 三角形全等的判定-SAS】................................................................................4 【题型三 三角形全等的判定-ASA】................................................................................8 【题型四 三角形全等的判定-AAS】...............................................................................22 【题型五 添加条件使三角形全等】...............................................................................25 【题型六 全等三角形判定和性质综合】.......................................................................29 【题型一 三角形全等的判定-SSS】 1．是的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．直接根据证明即可． 【详解】证明：∵在和中， ， ∴ ． 3．如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 4．已知：，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 5．是的中点，，．求证： (1)求证∶； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、邻补角互补等知识点，证得是解题的关键． （1）由点C是的中点可得，然后根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据邻补角相等可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． 在与中， ， ． （2）证明：∵， ， 又， ． 【题型二 三角形全等的判定-SAS】 1．如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 2．已知：如图，A、E、B、D在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】见详解 【分析】由，得出，由，得出，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴, 即， 在和中 ， ∴（）． 【点睛】本题考查平行线的性质定理，全等三角形的判定定理，熟练掌握三角形的判定定理，能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问题的关键. 3．如图，，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，外角性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． （1）由可证； （2）先根据全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理可求，然后由外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 5．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 6．已知：如图，点、在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等是解题的关键．依据，易证，即可运用证明． 【详解】证明：， 即， 在和中， ． 【题型三 三角形全等的判定-AAS】 1．如图，点、、、共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 2．已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 3．如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作，与的垂线交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由题意得，，利用等量代换得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若 ，垂足为，试说明． 【答案】(1)的度数为； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查角平分线，平行线的性质，三角形全等的判定． （1）由平行线的性质，可得，根据基本作图知为的角平分线，即可得的度数． （2）由平行线的性质，可得，由（1）得，等量代换，可得，由，可得， 结合公共边，根据“”即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∴的度数为． （2）证明：∵ ，垂足为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 5．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示， (1)求证：； (2)已知，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度α的大小和墙的高（每块砖的厚度都为）． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）根据等角的余角相等求出，即可利用证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，再根据即可求出，然后进一步计算即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， 由题意知， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和差． （1）由线段的和差得，由即可得证； （2）由线段的和差得，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 即：， 在和中 ， （）； （2）解： ， ， ， ． 7．已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 8．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 9．如图，在中，于，于，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义及余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由垂线的定义得，再由同角的余角相等可得，再根据AAS，即可得出结论； （2）由（1）可得，从而可得，，，即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ； （2）解：由（1）知， ∴，， ∴ ． 10．如图，为的角平分线，是线段上一点，，，延长与线段相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据证明与全等解答． （1）先根据角平分线的定义得出，再根据全等三角形的判定与性质解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：为的角平分线， ， 在与中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，由此利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ． 在和中，， ； （2）解：由（1）知， ， ． 12．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴． 13．如图，在四边形中，，为的中点，且，延长交的延长线于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， （2）解：∵ ，， ∵， ∴， ， ， 14．如图，中，，，是边上的中线，过作，垂足为，过作交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由题意可得，则，根据可证，即可得出结论； （2）先根据，再根据中线的定义得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，且， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又， ∴． 15．小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1米高（即）的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，，，，，，设的延长线与地面交于M． (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在C处接住小丽时，求小丽距离地面的高． 【答案】(1)全等，见解析 (2) 【分析】本题考查了余角的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）与全等，结合已知，余角的性质，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合，计算出的长度即可． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 【题型四 三角形全等的判定-ASA】 1．如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定，根据“两直线平行，同位角相等”，得出，结合已知，，利用证明即可，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵点在线段上，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 在和中， ， ∴． 2．如图，，，，垂足均为A，且． (1)求证:． (2)BD，CE互相垂直吗？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的ASA判定定理以及全等三角形的性质，掌握ASA定理和全等三角形对应边相等、对应角相等的性质是解题的关键． （1）通过角度关系找到相等的角，结合已知的边和角相等，证明三角形全等，从而得出对应边相等． （2）利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的性质，判断线段是否垂直． 【详解】（1）， ，即 ∵在和中： ∴ （2），理由：延长交于点F，由（1）得: 3．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型五 添加条件使三角形全等】 1．如图，已知，则不一定能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据所给条件结合判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A．添加，可利用证明，本选项不符合题意； B．添加，不能证明，本选项符合题意； C．添加，可利用证明，本选项不符合题意； D．添加，可利用证明，本选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又∵ 选项A：∵ ，， ∴ ，故A项不符合题意． 选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意． 选项C：∵ ，， ∴ ，故C项不符合题意． 选项D：∵ ，， ∴ ，故D项不符合题意． 故选：B． 3．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据条件和图形可得，，再结合每个选项所给条件利用三角形判定定理逐一进行判断即可． 【详解】解：根据条件和图形可得，， A、添加不能判定，故此选项符合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； D、添加可利用定理判定，故此选项不合题意． 故选：A． 4．如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理以及发现隐含条件成为解答本题的关键．欲使，已知，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一判断即可． 【详解】解：，， A、添加，利用即可证明； B、添加，为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件； C、添加，利用即可证明； D、添加，利用即可证明． 故选：B． 5．如图，D在上，E在上，且，则在下列条件：①；②；③．其中能判定的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ①若添加，可用判定； ②若添加，可用判定； ③若添加，可用判定； 因此，综上所述，能判定的有3个． 故选：D． 6．如图，，再添加一个条件，不能判定的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的各判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，根据证明，故本选项不符合题意； B、添加，根据无法证明，故本选项符合题意； C、添加，根据证明，故本选项不符合题意； D、添加，根据证明，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．本题要判定，已知，，则，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：， ，即． A、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； B、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； C、添加，可根据判定，故正确，不符合题意； D、添加，不能判定，故错误，符合题意． 故选：D． 【题型六 全等三角形判定和性质综合】 1．如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，令交于点O， ， ， ， ， ． 2．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 3．（1）如图①，在中，，过点作，连接．若，，则的长为______． （2）如图②，在中，，为边上一点，连接．过点作于点，过点作，交的延长线于点．若，，求EF的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据题意可证，由此可得，，根据线段的和差关系，即可求解； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长． 【详解】解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 4．如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，其中一点到达终点，另一点随之停止运动．回答下列问题： (1)经过后，此时__________，__________ （用含t的代数式表示）； (2)当t为多少秒时，使得与全等？ 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据路程速度时间求解即可； （2）根据等边对等角得出，要使得与全等，则有两种情况：①；②，然后根据全等三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：，； （2），点D为的中点， ，， 要使得与全等，则有两种情况：①；② ， ①当时，,， ，， 解得，符合题意； ②当时，，， ，， 解得，，不符合题意，舍去， 综上，当t为2秒时，使得与全等． 1．如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵和推不出， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 2．如图，若，，请添上一个条件（   ）使得成立． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 已知两边，要证全等，则必须知道夹角．据此即可得到答案． 【详解】解：若，，添上一个条件使得成立． 则条件可以是或． 只有C符合题意， 故选：C 3．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 根据同角的余角相等可得，根据可证≌，可得，即可求的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 4．如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)， (2)，；， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时， ；当时， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $