专题02 三角形的内角（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题02 三角形的内角（五大题型） 【题型一 三角形的内角和定理】............................................................................................1【题型二 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】........................................................4 【题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题】.................................................................6 【题型四 与平行线有关的三角形内角和问题】.....................................................................10 【题型五 三角形折叠中的角度问题】...................................................................................12 【题型一 三角形的内角和定理】 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 3．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 4．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 5．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 6．如图，是的角平分线，过点B作交的延长线于点C，点F在上，连接交于点G． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【题型二 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】 1．如图．中，分别为的角平分线和高线，，，则 ． 2．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 3．如图，在中，，，为的高，为角平分线． (1)求的度数； (2)寻找与、的关系并说明理由． 4．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，，求的长度． 5．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 6．如图，在中，于点D，若，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，求的度数． 7．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的角平分线和的角平分线交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法计算 3．如图，的角平分线BD、CE相交于点P，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 6．已知、且平分，平分，且与互余，则 ． 7．如图，在中，分别平分分别平分，若，则 ． 8．我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 9．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 10．如图，和的角平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【题型四 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 6．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 7．如图，，，，则（ ） A．32° B．45° C．58° D．68° 8．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 9．如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为 ． 10．如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝ ． 【题型五 三角形折叠中的角度问题】 1．如图，把纸片沿折叠，使点落在四边形内部点的位置．如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（        ） A．36° B．38° C．48° D．84° 10．如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则 ． 12．如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 13．如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    14．如图，将一角折叠，若，则 ． 15．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 16．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 17．在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 18．如图，在等边中，点D、E分别在边AB、BC上．把沿直线DE翻折，使点B落在点处，、分别与AC交于点F、G．若，则 ． 1．如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点C落外的点F处，，，，则（ ） A．95° B．105° C．115° D．125° 3．如图，在三角形ABC中，，，点D是BC上的一点（与点B，C不重合），点E是AC上的一点（与点A，C不重合），将三角形CDE沿DE翻折，若，则∠EDC的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 5．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 6．已知直线， 直线分别交于点 G，H． (1)如图1， 若， 求的度数； (2)如图2， 点M， N分别在射线上， 点P， Q分别在射线上， 延长交于点K， 且， 连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接，平分，且若， ①请用含字母m的式子表示n； ②当平分时， 求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形的内角（五大题型） 【题型一 三角形的内角和定理】............................................................................................1【题型二 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】........................................................8 【题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题】.................................................................15 【题型四 与平行线有关的三角形内角和问题】.....................................................................26 【题型五 三角形折叠中的角度问题】....................................................................................33 【题型一 三角形的内角和定理】 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 3．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 4．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 5．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【答案】证法1：；；证法2见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 6．如图，是的角平分线，过点B作交的延长线于点C，点F在上，连接交于点G． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义、平行线的判定． （1）由垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，进而得到，利用等量代换得到，再利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【题型二 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】 1．如图．中，分别为的角平分线和高线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键．根据角平分线的性质可得，设，推得，根据三角形内角和定理可得，即可求得． 【详解】解：在中，平分 ， 设， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故， 故答案为：． 2．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，所以可得：，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可证； 根据，可知，又因为，所以可得：，等量代换可得：，从而可求的度数． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， 又是的高线， ， 又， ， ， 即； （2）解：，， ， 由可知， ， ， 即， ． 3．如图，在中，，，为的高，为角平分线． (1)求的度数； (2)寻找与、的关系并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，正确用与表示出是关键． （1）根据三角形的内角和定理首先求得，然后利用角平分线的定义求得，再在直角中求得的度数，根据即可求得； （2）根据三角形的内角和定理，以及角平分线的定义用与表示出，在直角中，利用表示出，根据即可求得． 【详解】（1）解：在中，， 又为角平分线， ， 在直角中，， ； （2）根据（1）可以得到：，， 则， ． 4．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和与外角，直角三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由已知条件，，根据角平分线的定义得到， 则可求； （2）因为，将，，代入计算即可得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为三角形的角平分线， ∴， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 5．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答；掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）先根据垂直的定义和直角三角形的性质可得，再结合可得，最后根据直角三角形的性质即可解答；掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，于点D，若，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直的定义，三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）由得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）由三角形的内角和定理求出，再由三角形角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 7．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； （2）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 故选：B． 2．如图，在中，，的角平分线和的角平分线交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，． 故选：B． 3．如图，的角平分线BD、CE相交于点P，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平本题考查了角平分线的有关计算和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的有关计算． 根据角平分线的有关计算和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵的角平分线相交于点P， ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 5．直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ， 故选：B． 6．已知、且平分，平分，且与互余，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．设，，，，利用三角形内角和定理列式计算得到，再利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 设，，，， ∴，， 两式相加得， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，分别平分分别平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， 又∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 8．我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 9．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析  （2）30°   （3） 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证； （2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解； （3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。 【详解】解：（1）和， ，． ， （2）分别平分， ， 由（1）可知： 由①+②可得， ，即， ，， ． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：， ， ，， ，， ①， ②， 由①②得： ， ． 10．如图，和的角平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）设，相交于点，根据三角形内角和定理和对顶角的性质证明即可； （2）类似（1）可得出，设．结合（1）的结论可得，，两式相加即可求解． 【详解】（1）证明：设，相交于点，如图1． ，， 而， ． （2）解：设与相交于点，如图2． ∵平分，平分， ∴设． ， ， 又， ， 则， ， 即， ， 由①+②，得， ， 解得 【题型四 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 2．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 3．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5．如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，再根据平行线的性质求出∠CDE即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB=80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=40°， ∵DE∥CB， ∴∠CDE=∠BCD=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟握平行线的性质解决问题． 7．如图，，，，则（ ） A．32° B．45° C．58° D．68° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理求解即可； 【详解】∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 8．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解： 平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 9．如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为 ． 【答案】30 【分析】由得到，由平分得到，由知，△BMP中三个内角均相等，进而由内角和定理求出，最后在△MPN中，结合由内角和定理即可求出=30°． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又已知， ∴， ∵， ∴， 在△MPN中，由三角形内角和定理可知：， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，属于基础题，本题的关键是得到． 10．如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝ ． 【答案】15° 【分析】利用三角形内角和定理可得∠ACB＝60°、∠DEF＝45°，再利用“两直线平行，内错角相等”可求出出∠CEF的度数，然后结合∠CED＝∠CEF﹣∠DEF即可求解． 【详解】解：∵∠B＝90°,∠A＝30°， ∴∠ACB＝60°． ∵∠EDF＝90°，∠F＝45°， ∴∠DEF＝45°． ∵EF//BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质、角的和差等知识点，掌握“两直线平行，内错角相等”是解答本题的关键． 【题型五 三角形折叠中的角度问题】 1．如图，把纸片沿折叠，使点落在四边形内部点的位置．如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠问题，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据折叠，可知，，先算出，然后算得，最后通过算得答案． 【详解】解：根据折叠，可知，， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出和的倍数关系是解决问题的关键． 先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处， ，，， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 即， ， ． 故选：A． 3．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 4．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 5．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 6．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 8．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由折叠的性质得，则，，又由折叠的性质得，，得出，，由三角形外角性质得出，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可得出结果． 【详解】解：连接、，如图所示： 由折叠的性质得：， ， ， 又由折叠的性质得：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的关键． 9．如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（        ） A．36° B．38° C．48° D．84° 【答案】C 【分析】由在中可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 由折叠可知， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关的性质和定理是解答本题的关键． 10．如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数． 【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处， ∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°， ∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠1+∠2=360°-180°=180°， ∵∠1=40°， ∴∠2=140°， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键． 11．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则 ． 【答案】96 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，根据折叠的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， 由题意，， ∴， ∴． 故答案为：96． 12．如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质得出，再由三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得：， 在中，， 故答案为：． 13．如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．根据平角及折叠可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠可知， ， ， ， 故答案为：65． 14．如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠可知：， 当时，则 ∴ 故答案为：． 16．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 18．如图，在等边中，点D、E分别在边AB、BC上．把沿直线DE翻折，使点B落在点处，、分别与AC交于点F、G．若，则 ． 【答案】80°/80度 【分析】根据△DEB′是△BDE沿直线DE翻折得到的，得到，，根据等边三角形的性质可得 ，根据三角形内角和定理可求得，继而可求得 ，再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】∵△DEB′是△BDE沿直线DE翻折得到的， ∴ ， ∵△ABC是等边三角形， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 1．如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：C． 2．如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点C落外的点F处，，，，则（ ） A．95° B．105° C．115° D．125° 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠F=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠F=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=65°，然后利用平角的定义即可求出∠1,即． 【详解】解：如图， ∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠F=∠C=40°， 而∠3+∠2+∠5+∠F=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°， ∵，即∠2=35°， ∴∠3+35°+∠4+40°+40°=180°， ∴∠3+∠4=65°， ∴∠1=180°-65°=115°． 即 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题中的角度计算问题，注意折叠前后，对应角相等，熟练掌握三角形的内角和定理以及外角性质是解题的关键． 3．如图，在三角形ABC中，，，点D是BC上的一点（与点B，C不重合），点E是AC上的一点（与点A，C不重合），将三角形CDE沿DE翻折，若，则∠EDC的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交BC于点F，则∠＝90°，根据折叠的性质可得∠＝∠CDE，∠＝∠C＝45°，再利用三角形的内角和定理即可求的答案． 【详解】解：如图，延长交BC于点F，则∠＝90°， ∵折叠， ∴∠＝∠CDE，∠＝∠C＝45°， ∴∠＝180°－∠－∠ ＝180°－45°－90° ＝45°， 又∵∠＝∠CDE， ∴∠＝∠CDE＝22.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直的定义，折叠的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及三角形的内角和定理是解决本题的关键． 4．如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 5．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 6．已知直线， 直线分别交于点 G，H． (1)如图1， 若， 求的度数； (2)如图2， 点M， N分别在射线上， 点P， Q分别在射线上， 延长交于点K， 且， 连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接，平分，且若， ①请用含字母m的式子表示n； ②当平分时， 求m的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①② 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1），得到，平角的定义，求出的度数即可； （2）过点作，则：，得到，进而得到，得到为直角三角形，为斜边，即可得证； （3）①根据平角的定义，角平分线的定义，求出，平行得到，再根据，得到，即可得出结果；②根据（2）的结论，求出，平角的定义求出，角平分线的定义，求出，再根据三角形的内角和为180度，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）过点作，则：， ∴， ∴， ∴为直角三角形，为斜边， ∴； （3）①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由（2）知：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $