第06讲 探索勾股定理（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第06讲 探索勾股定理 知识点1：勾股定理 知识点2：勾股定理的证明 知识点3：勾股定理的逆定理及应用 知识点4：勾股定理的因公用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1用勾股定理解三角形】 【典例1】如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，， 则． 故答案为： ． 【变式1】已知直角三角形 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，，，且，，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】先在中，根据勾股定理求出，再在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】 ，，， 在中， ，， 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方是解题的关键． 【变式3】如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ，即：， ， ， 故选：A． 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例2】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识解决问题的关键．根据勾股定理可求出，则题目可求． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 【变式2】以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴由勾股定理得，， 即正方形的面积为， 故选：． 【变式3】如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，则由勾股定理可得及正方形面积公式可得正方形F的面积为7，同理可求解问题． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图， 由勾股定理可得， ∴正方形F的面积为， 同理可得正方形H的面积为， ∴正方形E的面积为． 故选：B． 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 【题型3勾股定理的证明方法】 【典例3】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据证明过程结合图形即可解答； （2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵ 又∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式2】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2) ，详见解析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【变式3】著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 【题型4以弦图为背景的计算题】 【典例4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 【变式1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵每一个直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故选：． 【变式2】如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 【变式3】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题． 【详解】解：设大正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是18， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积， 故答案为：2． 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型5判断三边能否构成直角三角形】 【典例5】（23-24八年级下·吉林松原·期中）以下列各组数为边，能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．7，14，25 D．8，15，15 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对选项中的各个数进行计算判断，即可解题． 【详解】解：A、， 3，4，5能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、， 2，6，7不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、， 1，3，4不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、， 3，6，8不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 由勾股定理的逆定理，逐项验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解答． 【详解】解：A．，故无法构成三角形，不符合题意； B．，故无法构成直角三角形，不符合题意； C．，故无法构成直角三角形，不符合题意； D．，故可以构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）以下列各组数值作为线段长，能构成直角三角形的是（   ） A． B．5，12，13 C．6，8，12 D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．分别计算每一组中较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就能构成直角三角形，否则就不能构成直角三角形． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意； B、因为，所以能构成直角三角形，此选项符合题意； C、因为，所以不能构成直角三角形，此选项不符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，此本选项不符合题意． 故选：B． 【题型6在网格中判断直角三角形】 【典例6】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)填空：________，________，________； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长为1， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． (1)在图2中以格点为顶点画一个，使得，； (2)猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形．(答案不唯一) （2）为等腰直角三角形 理由如下： 即为直角三角形． 又 ∴为等腰直角三角形． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 【答案】是直角三角形，见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理等知识，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明，是直角三角形，其中，根据网格画出即可求解． 【详解】解：是直角三角形．   理由如下：在网格中，根据勾股定理得 ．     ，， ，．    ， 即，     根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，其中． ∴是满足题意的三角形． 【变式3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理； （1）根据网格的特点与勾股定理分别求得，再求和，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，可以证明为直角三角形；为直角三角形；所以四边形的面积等于加上的面积，即可求解； 【详解】（1）根据勾股定理得，， ，， 故四边形的周长为． （2）连接， ，，， ， ， 同理可证， 四边形的面积为． 【题型7利用勾股定理的逆定理求解】 【典例7】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，点D为内一点，且，，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵，，，， ； （2）解：∵，，，且， 即， ∴是直角三角形，， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和逆定理，连接，先根据勾股定理求出长，然后根据勾股定理的逆定理判断 ，再根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵ ，，， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ， 即四边形的面积为． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 【题型8 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 【典例8】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【答案】(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度为； (2)梯子底部需要向左移动． 【分析】（）利用勾股定理求出的长度，则即可求解； （）由题意得梯子顶端离地面，利用勾股定理求出梯子底部离墙角处的距离，再相减即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由勾股定理得：， ∴教学楼墙面破损处距离地面的高度， 答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为； （2）解：由题意得，梯子顶端离地面， ∴梯子底部离墙角处为， ∴梯子底部需要向左移动， 答：梯子底部需要向左移动． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：梯子顶端离地面的距离为：（米）， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期中）如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，这时米，云梯的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，，设的长度为x米．    (1)求的长度； (2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米． 【答案】(1)15米 (2)云梯的底部外移了5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据题意用含有的式子表示的长，根据勾股定理列出方程，解方程求出的长度； （2）由题意得米，米，再根据勾股定理求出，进而求出，即可求得答案． 关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【详解】（1）解：∵米，的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的长度为15米； （2）∵的长度为15米， ∴米， 当云梯的顶端沿墙下滑了5米到达点处时，（米）， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， ∴云梯的底部外移了5米． 【题型9 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 【典例9】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据吸管露出杯口外的长度最少，则需在杯内最长，然后用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴吸管露出杯口外的长度至少为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期中）一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．当桶内所能容下的木棒最长时，即为木棒为斜边，桶的底面直径及桶高构成一个直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， 故选：C． 【题型10 判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 【典例10】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)受台风影响，理由见解析； (2)台风影响海港持续的时间为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以台风影响海港持续的时间为． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 【变式3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 【题型11 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 【典例11】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 一、单选题 1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，1，可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； B、∵， ∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； D、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长度，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 3．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选A． 4．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 5．如图，已知在直角三角形中，以直角边、为边的正方形的面积分别为25、144，则的长为（   ） A．169 B．119 C．13 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用；解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一般．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中，由勾股定理得：，而，， ∴，而， ∴． 故选：C． 6．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示：此时，， 故， 故的取值范围是． 故选：C． 7．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（    ）m． A．4 B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键． 将圆柱侧面展开，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时是底面周长的一半， 则， ∴蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为， 故选：B． 二、填空题 8．直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边分别为6和8， ∴斜边长为． 故答案为：10． 9．已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是3， 4， 斜边， ， ， ∴的斜边上的高是． 故答案为：． 10．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 根据勾股定理求出“捷径”长，进而用原路程减去“捷径”长即可． 【详解】解：“捷径”长（米）， 他们仅仅少走了（米）， 故答案为：． 11．如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，表示的数为， ∴，， ∴， ∴点表示的数为． 故答案为：． 三、解答题 12．如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可； （2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，四边形的面积， ∴四边形的面积． 13．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 14．如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，连接，由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理得出，再由四边形的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 15．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：(元)， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 16．新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 【答案】会受噪声影响，卡车噪声影响该居民楼持续的时长为 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，过点作于点，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，根据三角形的面积公式可以求出，因为卡车周围以内为受噪声影响区域，所以居民楼会受到影响，当时，卡车在段行驶会影响居民楼，利用勾股定理可以求出，根据卡车的行驶速度为，可以求出居民楼受影响的时间为． 【详解】解：居民楼会受噪声影响， 如下图所示，过点作于点， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 卡车周围以内为受噪声影响区域， 居民楼会受噪声影响， 当时，卡车在段行驶会影响居民楼， 此时， 在中，， ， ， ， 卡车的行驶速度为，， ， 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 探索勾股定理 知识点1：勾股定理 知识点2：勾股定理的证明 知识点3：勾股定理的逆定理及应用 知识点4：勾股定理的因公用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1用勾股定理解三角形】 【典例1】如图，在中，，则 ． 【变式1】已知直角三角形 ． 【变式2】如图，，，且，，，则线段的长为 ．    【变式3】如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例2】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【变式1】如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以 【题型3勾股定理的证明方法】 【典例3】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【变式1】 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【变式2】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【变式3】著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【题型4以弦图为背景的计算题】 【典例4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【变式1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【变式3】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型5判断三边能否构成直角三角形】 【典例5】（23-24八年级下·吉林松原·期中）以下列各组数为边，能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．7，14，25 D．8，15，15 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，8 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）以下列各组数值作为线段长，能构成直角三角形的是（   ） A． B．5，12，13 C．6，8，12 D．4，5，6 【题型6在网格中判断直角三角形】 【典例6】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)填空：________，________，________； (2)是直角吗？请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． (1)在图2中以格点为顶点画一个，使得，； (2)猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 【变式3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【题型7利用勾股定理的逆定理求解】 【典例7】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，点D为内一点，且，，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．    勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 【题型8 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)】 【典例8】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． (1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？ (2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期中）如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，这时米，云梯的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，，设的长度为x米．    (1)求的长度； (2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米． 【题型9 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)】 【典例9】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，玻璃杯的底面直径为，高为，有一根长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期中）一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（    ） A． B． C． D． 【题型10 判断是否受台风影响(勾股定理的应用)】 【典例10】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【变式3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【题型11 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)】 【典例11】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 一、单选题 1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6 2．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 3．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 4．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知在直角三角形中，以直角边、为边的正方形的面积分别为25、144，则的长为（   ） A．169 B．119 C．13 D．17 6．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（    ）m． A．4 B．5 C．3 D． 二、填空题 8．直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边长为 ． 9．已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是 ． 10．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 11．如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 三、解答题 12．如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 13．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 14．如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积． 15．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 16．新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $