2.7 探索勾股定理（第2课时）（教学课件）数学浙教版2024八年级上册

2.7探索勾股定理 （第2课时） 第2章 特殊的三角形 浙教版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 知识理解目标 能准确复述勾股定理逆定理的内容："若三角形三边满足a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形，且 c为直角。 应用技能目标 能根据给定三边长度，通过计算验证是否满足逆定理条件，并判断三角形是否为直角三角形（如判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形）。 逻辑推理目标 能通过构造法或反证法初步理解逆定理的证明思路，体会几何命题的互逆性。 能结合全等三角形等知识，解释逆定理与勾股定理的逻辑闭环关系 课堂导入 古埃及人在没有特殊工具的时候用以下的方法来得到直角：将一根绳子12等分，在3个单位长和7个单位长的地方做好标记，然后将绳子连成环形并在接口处做好标记，最后分别在三个做好标记的地方将绳子拉直，就得到了一个直角 古埃及人是怎么确定得到的是直角三角形的呢 新知探究 提供不同长度的小棒（如3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm；6cm、8cm、10cm；7cm、8cm、9cm等）。 分别拼成三角形，并用量角器测量最大的角 边长组合 是否满足a2+b2=c2 最大角度数 是否为直角三角形 3,4,5 是（25=16+9） 90° 是 5,12,13 是（169=25+144） 90° 是 7,8,9 否（81≠49+64） 约80° 否 6,8,10 是（100=36+64） 90° 是 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三 角形是直角三角形。 例1.已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（      ） 典例分析 A . B . C . D . 由 ，变形得，符合勾股定理逆定理，说明∠B=90°，能判断为直角三角形 三边，满足32+42=52，符合勾股定理逆定理，能判断为直角三角形 由以及三角形内角和180°，可得2∠C=180°，即∠C=90°，能判断为直角三角形 设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，三个角分别为45°、60°、75°、均为锐角，无法构成直角三角形 D 变式训练 在下列由线段a、b、c组成的三角形中，是直角三角形的是（      ） 最长边为8，验证：62+62=36+36=72，82=64，所以62+62≠82，不是直角三角形 最长边为4，验证：22+32=4+9=13，42=16，所以22+32≠42，不是直角三角形 A . a=2，b=3，c=4 B . a=6，b=6，c=8 C . a=5，b=12，c=13 D . a=5，b=8，c=10 最长边为13，验证：52+122=25+144=169，132=169，所以52+122≠132，是直角三角形 最长边为10，验证：52+82=25+64=89，102=100，所以52+82≠102，不是直角三角形 C 例2 如图，小微同学想测量一条河的宽度MP，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点H，发现MP延长线上的点N处有一棵大树，用测距仪测得MH=34米，NH=30米，HP=31米，已知MN=16米，请你计算这条河的宽度MP．（结果保留根号） 典例分析 根据勾股定理的逆定理，确定∠N=90°，再利用勾股定理解答即可 解：∵MN=16米，NH=30米，MH=34米 ∴MN2+NH2=MH2, ∴△MNH是直角三角形，且∠N=90° 在Rt△NPH中，HP=31米，NH=30米 ∴NP=米 ∴MP=MN-NP=(16-)米 即这条河的宽度MP为(16-)米 变式训练 不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD=90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 解：符号安全标准 理由：∵在△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm ∴BD2=AD2-AB2=92-62=45 ∴BC2+CD2=BD2 ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90° ∴BC⊥CD，∴该婴儿车符合安全标准 例3 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=3，点D是Rt△ABC外一点，连接CD、AD，且CD=12，AD=13．求四边形ABCD的面积． 典例分析 解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4 ∴AC= ∴CD=12，AD=13 ∴AC2+CD2=52+122=25+144=169,AD2=132=169 ∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90° ∴ 由勾股定理可得AC=5，证明AC2+CD2=AD2,则由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°，再根据列式求解即可 变式训练 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．求四边形ABCD的面积． 解：如图所示，连接AC ∵∠B=90°，AB=4，BC=3 根据勾股定理得：AC= 又∵CD=12，AD=13, ∴CD2+AC2=169，AD2=169,∴CD2+AC2=AD2 ∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90° ∴ 连接AC，由勾股定理求解AC的值，再证明△ACD为直角三角形，得到∠ACD=90°，最后根据代入即可求解 课堂练习 1．若△ABC的三边a， b，c满足a:b:c=1::2， 则△ABC的形状是（          ） D 设三边分别为：k、、2k(k＞0)，其中最长边为2k；再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状即可 解：∵a：b：c=1:：2 设三边分别为：k、、2k(k＞0)，其中最长边为2k ∵（2k）2=4k2，k2+（k）2=k2+3k2=4k2 ∴△ABC为直角三角形。 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 课堂练习 2.如图，在4×4方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（       ）     A .2个 B . 4个 C . 6个 D . 7个 C H E D F G C 课堂练习 3．已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（      ） 根据勾股定理得出△ABC是直角三角形，再利用用直角三角形的性质即可 解：∵BC2+AB2=144+25=169,AC2=169 ∴BC2+AB2=AC2 ∴△ABC是直角三角形 ∵D地位于A、C两地的中点 ∴BD= A .2.5km B . 6km C . 6.5km D . 7.5km C 课堂练习 4 .如图，以的三边向外作正方形，其面积依次为4，9，13，则这个三角形的面积______． 根据正方形面积为4、9、13，可得这个三角形边长之间的关系，依据勾股定理逆定理可得这个三角形的性质，进而得出其面积 解：由题可得，4+9=13， ∴22+32= ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90° 又∵AB= ，BC==3 ∴△ABC的面积=AB×BC==3 3 课堂练习 5.如图，在△ABC中，AC和BC的垂直平分线I1和I2分别交AB于点D、E，若AD=3，DE=4，EB=5，则△ABC的面积等于_______． 连接CD、CE，根据线段垂直平分线的性质得到CD=AD，EC=EB，根据勾股定理的逆定理得到△CDE是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可 解：∵连接CD、CE ∵I1是线段AC的垂直平分线，∴CD=AD=3 ∵I2是线段BC的垂直平分线，∴EC=EB=5 ∵CD2+DE2=32+42=25=CE2 ∴∠CDE=90°，∴CD⊥AB ∴ 课堂练习 6．为方便游客登山，某景区分别在山峰的东麓和西麓（东边山脚和西边山脚）各修建一条登山缆车索道，其示意图如图所示，从《游客须知》手册上得到信息：西索道AB单程需要10min，缆车平均速度为1m/s；东索道AC单程需要6min40s，缆车平均速度为2m/s．已知山脚两索道出发点间的直线距离BC为1km，且B，C两地的海拔高度均为1500m，求该山峰山顶A的海拔高度． 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则该山峰顶A的海波高度（AD+1500）m 根据题意：AB=10×60=600（m），AC=（6×60+40）×2=800（m），BC=1000（m）,∴AB2+AC2=BC2 ∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90° ∴,∴AD= ∴AD+1500=1980(m) D 课堂练习 7．如图，长方体的长和宽分别为8cm和4cm，高为10cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，求蚂蚁爬行的最短路径的长度． 解：长方体的侧面展开图如图所示，连接PQ，则PQ为蚂蚁爬行的最短路径的长度 ∵长方体的长为8cm，宽为4cm，高为10cm ∴PP'=4+8+4=24(cm),P'Q=10cm 由题意可知：∠PP'Q=90° ∴在Rt△PP'Q中，PQ= ∴蚂蚁爬行的最短路线的长度为26cm 课堂小结 实际问题验证：建筑中检查墙角是否垂直（如用卷尺测量边长后计算验证）。 综合题型：与勾股定理结合，先通过边长判定形状，再求面积或高。 逆定理的实际应用 若一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2（其中c为最长边)，则这个三角形是直角三角形，且直角对着最长边c ①勾股定理（正向）是“由直角推边长关系”，逆定理是“由边长关系推直角”。 ②必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 勾股定理的逆定理的内容 01 03 04 02 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$