专题03 位置与坐标（期中复习课件）八年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学课件聚焦“位置与坐标”核心内容，涵盖平面直角坐标系概念、点的坐标特征、轴对称与坐标变化等知识点，通过期中考情分析导入，以必备知识为基础，结合重难点题型突破搭建学习支架，帮助学生梳理从概念到应用的知识脉络。 其亮点在于融入数学眼光（抽象坐标特征）、思维（如面积问题补全法）与语言（规范解题步骤），通过易错点提示、实例应用（如图书馆坐标表示）及分层验收，培养学生空间观念与推理意识。学生能夯实基础提升能力，教师可高效开展分层教学。

专题03 位置与坐标 八年级数学上学期 期中复习大串讲 北师大版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、原点、象限），明确点的坐标表示方法 基础必考点，常出现在小题，是后续知识的基础 点的坐标特征 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的坐标规律 高频考点，易与对称、象限问题综合考查，小题为主，易错点集中在对称点坐标的符号变化 用坐标表示地理位置 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标描述地理位置，或根据坐标确定地点 应用考点，多以实际应用题形式出现，考查建模和应用能力 轴对称与坐标变化 能根据轴对称的性质（关于x轴、y轴对称），推导并应用点的坐标变化规律；反之，能根据坐标变化判断轴对称关系 核心考点，易与几何图形的轴对称综合考查，在小题和解答题中均有体现，易错点为坐标变化规律的混淆 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 - 知识点： 示 例 - 易错点： 平面直角坐标系的基本概念 知识点01 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴（x轴、y轴）组成，交点为原点； 坐标用有序数对(x,y)表示，x是横坐标（对应x轴），y是纵坐标（对应y轴） 混淆横、纵坐标的顺序，如将点(2,3)写成(3,2)； 误判点所在象限，如点(-1,-3)错认为在第二象限（实际在第三象限）。 点A(3, -2)， 横坐标是3，纵坐标是-2， 位于第四象限 O x y - 知识点： 示 例 - 易错点： 平面直角坐标系的基本概念 知识点01 各象限内点的坐标符号： 第一象限(+,+)，第二象限(－,+)， 第三象限(－, －)，第四象限(+, －)； x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0； 关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反， 关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 O x y (+,+) (－,+) (－, －) (+, －) 点B(-5, 1) 关于x轴对称的点为(-5, -1)， 关于y轴对称的点为(5, 1) 对称点坐标符号变化错误，如关于y轴对称的点误将横坐标保持不变； 混淆x轴、y轴上点的坐标特征，如认为x轴上点横坐标为0。 - 知识点： 示 例 - 易错点： 平面直角坐标系的基本概念 知识点01 可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点。 以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，单位长度1km，图书馆坐标为(2, 3)，即位于学校东2km、北3km处。 O x y 建立坐标系时原点、方向选择不当，导致坐标表示错误；单位长度与实际距离换算错误。 2 ∟ 3 ∟ (2, 3) 图书馆 - 知识点： 示 例 - 易错点： 平面直角坐标系的基本概念 知识点01 图形关于x轴对称时，各点横坐标不变，纵坐标变为相反数； 图形关于y轴对称时，各点纵坐标不变，横坐标变为相反数。 三角形顶点为： C(1,2)、D(3,4)、E(5,1)， 关于x轴对称后的顶点为： C'(1,-2)、D'(3,-4)、E'(5,-1)。 轴对称时横、纵坐标变化规律混淆，如关于x轴对称误改横坐标； 未结合图形整体判断轴对称关系，仅单一改变点坐标导致图形变形。 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 判断点所在的象限 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 明确象限符号规律：牢记四个象限的坐标符号特征，这是解题基础。 - 第一象限：横坐标（x）>0，纵坐标（y）>0（“+，+”） - 第二象限：横坐标（x）<0，纵坐标（y）>0（“-，+”） - 第三象限：横坐标（x）<0，纵坐标（y）<0（“-，-”） - 第四象限：横坐标（x）>0，纵坐标（y）<0（“+，-”） 2. 先判符号，再对号入座：拿到点的坐标（x，y）后，先分别判断x和y的正负，再对照上述规律，确定对应的象限。例如点（-3，2），x=-3<0，y=2>0，对应第二象限。 3. 排除特殊情况：若x=0或y=0，点在坐标轴上（x轴、y轴），不属于任何象限，需先排除这类情况再判断。 【典例1】（24-25七年级下•江西上饶•期中） 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵ ， ∴点 所在的象限是第四象限． 判断点所在的象限 题型一 D 【变式1】（24-25七年级下•云南昆明•期中） 已知x，y满足 ，则在直角坐标系中，点 位于第（ ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵ ， ∴， ， ∴， ∴， ∴的坐标为 ， ∴点位于第四象限， 判断点所在的象限 题型一 D 【变式2】（24-25七年级下•山东济宁•期中）在平面直角坐标系中，若点 在轴上，则点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：点 在x轴上，因此其y坐标为0，即 ． 将代入点B的坐标，得． 判断坐标 的符号： 横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限． 判断点所在的象限 题型一 B 平面直角坐标系中点的特征 题型二 解｜题｜技｜巧 1. 抓坐标符号定位置：核心是判断横（x）、纵坐标（y）的正负。 四个象限按“右上为一，逆时针递增”记符号： 一（+，+）、二（-，+）、三（-，-）、四（+，-）， 非正负（x=0或y=0）则在坐标轴上。 2. 记坐标轴特殊特征：x轴上点y=0，向右x增大；y轴上点x=0，向上y增大；原点坐标（0，0），是两轴交点，需优先排除这类非象限点。 3. 用对称关系快速推导： 关于x轴对称，x不变、y变号； 关于y轴对称，y不变、x变号； 关于原点对称，x、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征。 【典例1】（24-25八年级上•甘肃兰州•期中） 平面直角坐标系中，已知点 ． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)在同一平面直角坐标系中，点，且 轴，求点M的坐标． （1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得 ； （2）解：∵点A 坐标为 且轴， ∴， 解得， 则， ∴点M 的坐标为 ． 平面直角坐标系中点的特征 题型二 【变式1】（24-25七年级下•甘肃定西•期中） 已知点 ，解答以下问题： (1)若点P 在第二象限的角平分线上，求点P 的坐标． (2)已知直线轴，且点Q 的坐标为 ，求点 P的坐标． （1）解：∵点 在第二象限的角平分线上， ∴ ， ∴ 平面直角坐标系中点的特征 题型二 O x y 2a-3 ∟ a+6 ∟ P O x y Q 2a-3 （2）解：∵轴，且点Q 的坐标为 ∴=9 【变式2】（24-25八年级下•河北秦皇岛•期中） 已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 解： （1） 点P在x轴上， 纵坐标为0，即 ； （2）点P在y轴上， 横坐标为0，即 ， ； 平面直角坐标系中点的特征 题型二 【变式2】（24-25八年级下•河北秦皇岛•期中） 已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 平面直角坐标系中点的特征 题型二 （3）∵ 点P到两坐标轴的距离相等， ∴横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数 ∴① ， 即； ； ② ， 即， ； 综上： 或； 【变式2】（24-25八年级下•河北秦皇岛•期中） 已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上； (3)点P到两坐标轴的距离相等； (4)点P与点的连线平行于x轴． 平面直角坐标系中点的特征 题型二 （4）∵ 点P与点 的连线平行于x轴， 点P的纵坐标是3， 即： ． 平面直角坐标系中作图 题型三 解｜题｜技｜巧 1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 - 关于x轴对称：横坐标（x）不变，纵坐标（y）变为相反数。 - 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（x）变为相反数。 - 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。 【典例1】（24-25八年级上•山西忻州•期中） 如图，在平面直角坐标系中， ，， ． (1)求出 的面积； (2)若 与关于y轴的对称，画出 ，并写出点 ， ， 的坐标． 平面直角坐标系中作图 题型三 （1）解：∵AB=5-0=5 ∴ ； （2）解：如图所示， 即为所求； 根据坐标系可得： ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下•黑龙江绥化•期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为． (1)作出与 关于x轴对称的 （点A、B、C的对应点分别为点 ）； (2)点 的坐标是________，点的坐标是________； (3)求的面积． 平面直角坐标系中作图 题型三 （3） ． 【变式2】（24-25八年级下•吉林长春•期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出 关于y轴对称的 ； (2) 的面积为 ； (3)请你在y轴上找到一点 P，使得最小（保留作图痕迹）． 平面直角坐标系中作图 题型三 （1）解：如图所示， 即为所求， （2）解：由题意得， ； （3）解：如图所示，连接 交 轴于P，点P即为所求． P 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 解｜题｜技｜巧 1. “补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形。 2. “分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形（三角形、矩形），分别用公式（如三角形面积=底×高÷2）计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算。 3. 利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为纵坐标差的绝对值。非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度。 【典例1】（24-25七年级下•内蒙古兴安盟•期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，∥ x轴，轴，点B的坐标为 ，且 ． (1)直接写出点A的坐标为________ ，点B的坐标为 ． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形 的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 【典例1】（24-25七年级下•内蒙古兴安盟•期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，∥ x轴，轴，点B的坐标为 ，且 ． (1)直接写出点A的坐标为________ ，点B的坐标为 ． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （2）解：设 ，则 ， 由题意知 ， ∴， ∴点P的运动时间为4秒； 解得， ∴（秒）， 【典例1】（24-25七年级下•内蒙古兴安盟•期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，∥ x轴，轴，点B的坐标为 ，且 ． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形 的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （3）解：由（2）可知 设 ，则 ∴， 解得 或 ， 或 【变式1】（24-25七年级下•黑龙江齐齐哈尔•期中）如图，在长方形 0ABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内． (1) a=________，b= ________，点B的坐标为________． (2)若点D、E分别为AB 、BC 的中点，连接DA 、OE 、 DE，请求出三角形ODE 的面积： (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 O －A －B －C －O的线路移动（即：沿着长方形移动一周）．在移动过程中，是否存在点P使 ，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 【变式1】（24-25七年级下•黑龙江齐齐哈尔•期中）如图，在长方形 0ABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内． (1) a=________，b= ________，点B的坐标为________． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （1）解：∵a、b满足 ， ， ∴ ∴ ， 解得：， ∴ ∴， 由长方形的性质可得， ∴点B的坐标是 ． 【变式1】（24-25七年级下•黑龙江齐齐哈尔•期中）如图，在长方形 0ABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内． (2)若点D、E分别为AB 、BC 的中点，连接DA 、OE 、 DE，请求出三角形ODE 的面积： 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （2）解：由（1）可知， ∴ ， ∵点D、E分别为 AB、BC 的中点， ∴ 【变式1】（24-25七年级下•黑龙江齐齐哈尔•期中）如图，在长方形 0ABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内． (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 O －A －B －C －O的线路移动（即：沿着长方形移动一周）．在移动过程中，是否存在点P使 ，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （3）解：当点P在 OA上时，根据题意可知： ，解得： ， ∴此时点P的坐标为 ； 当点P在 AB上时，根据题意可知： ， 解得： ，∴， ∴此时点P的坐标为 ； 当点P在 BC上时，根据题意得： ， 解得： ，∴， ∴此时点P的坐标为 ； 当点P在OC 上时，根据题意得： ， 解得： ， 此时点P的坐标为 ； 综上分析可知： 点P的坐标为 ． 【变式2】（24-25七年级下•湖北武汉•期中）如图 ，在平面直角坐标系中， ， ，且满足，将线段AB 平移得线段 DC，点 A对应点 D，点 B对应点C ，点A 的对应点D 在轴上，点B 的对应点C 在轴上． (1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标； (2)如图 ，点 P是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点 P的坐标； (3)如图 ，若动点E 从点D 出发向左运动，同时动点 F从点C 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 1：2 ，运动过程中直线DF 和CE 交于点 N，若三角形DCN 的面积等于9 ，求出点N 的坐标． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （1）解： , ∵A平移到 D向下平移了 5， ∴B到C 向下平移了 5，； 【变式2】（24-25七年级下•湖北武汉•期中）如图 ，在平面直角坐标系中， ， ，且满足，将线段AB 平移得线段 DC，点 A对应点 D，点 B对应点C ，点A 的对应点D 在轴上，点B 的对应点C 在轴上． (2)如图 ，点 P是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点 P的坐标； 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （2）解： ， 设 AD交 y轴于 E，作AF ⊥ x 轴于F，如图： 设， ， 解得： ， ， 设， ， 当 或 时， ，解得： ， 当 时， ， 解得： ， 或 ； 【变式2】 (3)如图 ，若动点E 从点D 出发向左运动，同时动点 F从点C 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 1：2 ，运动过程中直线DF 和CE 交于点 N，若三角形DCN 的面积等于9 ，求出点N 的坐标． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 （3）解： ，∴ N不在 内， 设， E， F运动速度之比是 ， ， 设， 当N 在x 轴上方时，如图： 又 ， 解得：， ； 【变式2】 (3)如图 ，若动点E 从点D 出发向左运动，同时动点 F从点C 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 1：2 ，运动过程中直线DF 和CE 交于点 N，若三角形DCN 的面积等于9 ，求出点N 的坐标． 平面直角坐标系中的面积问题 题型四 当 M在x 轴下方时，作 轴于 ，轴于 H，如图 ， 解得： ， ， 综上所述，N 点坐标为 或 ． 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 解｜题｜技｜巧 1. 精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则（如“新距离”“特殊点”），将抽象描述转化为数学关系（如坐标公式、位置条件），避免理解偏差。 2. 结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念。 3. 用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误。 【典例1】（24-25七年级下•河南驻马店•期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴、y 轴的距离的较大值称为点P 的“长距”，点Q 到 x轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“龙沙点”． (1)点 的“长距”为______； (2)若点是“龙沙点”，求 的值； 解： （1）∵ ，∴点 的“长距”为4， （2）∵ 点Q 到 x轴、 y轴的距离相等时，称点 Q为“龙沙点”， 当点 是“龙沙点”， ， ， 当 ， 解得： ； 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 4 当 ， 解得：； 或． 【变式1】（24-25七年级下•福建龙岩•期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点 Q的坐标为 ，则称点Q 为点 P的“ 阶派生点”（其中为常数，且)，如：点 的“2阶派生点”为点，即点Q 为 ． (1)若点P 的坐标为 ，则它的“2阶派生点”的坐标为 ． (2)若点 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点 ，点 的“3阶派生点” 位于坐标轴上，求点 的坐标． 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 （1）解： ， 它的“2阶派生点”的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级下•福建龙岩•期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点 Q的坐标为 ，则称点Q 为点 P的“ 阶派生点”（其中为常数，且)， (2)若点 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点 ，点 的“3阶派生点” 位于坐标轴上，求点 的坐标． 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 （2）解：点P 平移后的点 坐标为 ∵ ， ∴它的“3阶派生点” 的坐标为 ， ∵点 在坐标轴上，当点 在 y轴上时，有 ， 解得，此时点 ， 当点 在x 轴上时，有 ， 解得． 此时点 ， 综上，点 的坐标为 或 ． 【变式2】（24-25七年级下•吉林松原•期中）在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，定义点M 和点N 的相关系数 如下：若点O,M,N 在一条直线上，则0 ；若点 O,M,N不在一条直线上，则 ．如图，已知点A 的坐标为 ，点 B的坐标为 ，点 为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (1) ______． (2)若 ，求点P 的坐标． (3)点 P在第二象限，若 ，且点 的纵坐标为2，求点P 的坐标． (4)当 时，直接写出点P 的横坐标． 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 （1）解：∵A点 的坐标为 ，点 B的坐标为 ， ∴ 【变式2】（24-25七年级下•吉林松原•期中）在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，定义点M 和点N 的相关系数 如下：若点O,M,N 在一条直线上，则0 ；若点 O,M,N不在一条直线上，则 ．如图，已知点A 的坐标为 ，点 B的坐标为 ，点 为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题： (2)若 ，求点P 的坐标． 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 （2）解：∵ ，点B 的坐标为 ， ∴点 在一条直线上，即点 P在y 轴上， 设 ，∵ ，∴点p 的坐标为 ； 【变式2】（24-25七年级下•吉林松原•期中）在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，定义点M 和点N 的相关系数 如下：若点O,M,N 在一条直线上，则0 ；若点 O,M,N不在一条直线上，则 ．如图，已知点A 的坐标为 ，点 B的坐标为 ，点 为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (3)点 P在第二象限，若 ，且点 P的纵坐标为2，求点P 的坐标． 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 （3）解：∵点的纵坐标为 2， ∴设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点P 在第二象限， ∴ ，∴点P 的坐标为（-3,2） ； 【变式2】（24-25七年级下•吉林松原•期中）在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，定义点M 和点N 的相关系数 如下：若点O,M,N 在一条直线上，则0 ；若点 O,M,N不在一条直线上，则 ．如图，已知点A 的坐标为 ，点 B的坐标为 ，点 为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (4)当 时，直接写出点P 的横坐标． 平面直角坐标系中新定义型问题 题型五 （4）解：∵点的横坐标为 n， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，∴点P 的横坐标为； 平面直角坐标系中规律探究问题 题型六 解｜题｜技｜巧 1. “列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号（1、2、3…），列出“序号-横坐标-纵坐标”表格，观察横、纵坐标随序号变化的规律（如倍数、加减、循环），例如序号n对应横坐标为n，纵坐标为2n。 2. 结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现（如绕原点旋转、在象限间移动），记录点所在象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标。 3. 用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反向检查是否满足坐标系中的位置特征（如对称、象限分布），确保规律正确。 【典例1】（24-25七年级下•江苏南通•期中）如图，在平面直角坐标系中，某点 p从原点o 出发，向右平移2 个单位长度到达 ，再向上平移 4个单位长度到达 ，再向左平移6 个单位长度到达 ，再向下平移 8个单位长度到达 ，再向右平移10 个单位长度到达 ，… ，按此规律进行下去，点 的坐标是 ． 解： 由题意可得 ，…， ∴点 的坐标是 ， 平面直角坐标系中规律探究问题 题型六 【变式1】（24-25七年级下•福建厦门•期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为： ， ……，按此规律排列下去，则 的坐标为 ． 解：∵ ， ……， ∴观察发现：每三个点为一组，第 组的三个点的坐标依次为： ， ∵ ， ∴ 是第 组的第三个点， ∴ 的横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴ ， 平面直角坐标系中规律探究问题 题型六 【变式2】（23-24八年级下•四川眉山•期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第三次将 变换成 ． （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将 变换成 ，则 的坐标是 ， 的坐标是 ． （2）若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到 ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测 的坐标是 ， 的坐标是 ． 平面直角坐标系中规律探究问题 题型六 解：（1）∵， ∴ ； ∵， ∴ ． 【变式2】（23-24八年级下•四川眉山•期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第三次将 变换成 ． （1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将 变换成 ，则 的坐标是 ， 的坐标是 ． （2）若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到 ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测 的坐标是 ， 的坐标是 ． 平面直角坐标系中规律探究问题 题型六 （2）∵， …， ∴ ； ∵， …， ∴ ． 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练 1．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1,1） ， B（-1,1），C（-1，-2） ，D（1，-2） ，一只电子蚂蚁从点B 出发按B →A → D → C → B…的规律每秒1个单位长度的速度爬行，则2025秒时蚂蚁所在的位置是（ ） A． （0,-2） B． （1,0） C． （1,-1） D． （1,-2） 解：∵A（1,1） ， B（-1,1），C（-1，-2） ，D（1，-2） ∴当运动2025秒时，点P在D处， 即此时点P的坐标为 （1,-2） ． D D 期中基础通关练 2．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，A (m-1，n-2)， B（m+2.n），平移线段AB ，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 解：设平移后点A、B的对应点分别是 A′、B′ ． 分两种情况： ① A′在y轴上， B′在x轴上，则A′ 横坐标为0， B′ 纵坐标为0， ∴线段 AB向右平移0-(m-1 )=1-m个单位，向下平移n个单位， ∴ A′ (m-1+1-m,n-2-n)，即A′(0,-2) ， 此时点B平移后的对应点的坐标是B′ (1,0)，符合题意； ② A′在x轴上， B′ 在y轴上，则A′ 纵坐标为0， B′横坐标为0， ∴线段AB 向右平移 0-(m+2)=-m-2个单位，向下平移n-2 个单位， ∴ A′ (m-1-m-2,2-n+2) ，即 A′(-3,0) ， 此时点B平移后的对应点的坐标是B′ (0,-2)，符合题意； (0,-2) (-3,0) 期中重难突破练 1．（24-25七年级下·天津·期中）已知点 M(3a-2，a+6)． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)已知点 N（2,5），且直线MN∥x 轴，求点M的坐标； (3)若点M到y轴的距离为4，求点M的坐标； (4)若点M在二，四象限角平分线上，求点M坐标． （1）解：∵点M在x轴上， ∴ a+6 =0， ∴ a=-6 ，3a-2=-18-2=-20 ∴点M的坐标是 （-20,0）； （2）解：∵直线MN∥x 轴， ∴ a+6 =5， 解得 a=-1 ，3a-2=-3-2=-5 ， 所以，点M的坐标为（-5,5） ； 期中重难突破练 1．（24-25七年级下·天津·期中）已知点 M(3a-2，a+6)． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)已知点 N（2,5），且直线MN∥x 轴，求点M的坐标； (3)若点M到y轴的距离为4，求点M的坐标； (4)若点M在二，四象限角平分线上，求点M坐标． （3）解： 由题意得，， 解得： a=2 或 a=- ， ∴当 a=2时，点M的坐标为（4,8） ； 当a=- 时，点M的坐标为（-4, ） ； （4）解： ∵点M在二，四象限角平分线上， ∴ 3a-2+a+6 =0， 解得： a=-1 ， ∴点M的坐标为（-5, ） ． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $