辽宁省丹东市第十九中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年辽宁省丹东十九中八年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列事件中，必然事件是(    ) A. 小明在罚球线上投篮一次，投中 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 太阳从西边升起 4.下列图形中，由，能得到的是(    ) A. B. C. D. 5.下列乘法公式的运用中，正确的是(    ) A. B. C. D. 6.“二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、春分、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关，如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是(    ) A. 惊蛰 B. 立夏 C. 秋分 D. 大寒 7.如图，三角形纸片ABC，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则的周长为(    ) A. 2cm B. 6cm C. 16cm D. 18cm 8.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形无重叠部分，通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是(    ) A. B. C. D. 9.如图，≌，，连接BD，若，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则它的“优美比”k为(    ) A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。 11.如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______. 12.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据用科学记数法表示为          . 13.如图，，BC，DE相交于点G，若，，      . 14.如图，中，AD为中线，于E，于F，，，，则______. 15.如图，中，AB垂直CD于点B，且，在直线CD上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时，______度. 三、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算： ； 17.本小题6分 先化简，再求值：，其中， 18.本小题8分 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球除数字外都相同中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票. 求小明摸到球面数字为5的概率； 你认为这种方法公平吗？请说明理由. 19.本小题8分 如图所示，在正方形网格上有一个 作关于直线MN的对称图形；不写作法 在MN上找到一点P，使得最小； 若网格上的最小正方形边长为1，求的面积． 20.本小题7分 读懂下面的推理过程，并填空. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且，求证： 证明：如图2，延长EF交CD于点 ， ①______两直线平行，同旁内角互补 又， ②______， ③______④______同旁内角互补，两直线平行， ⑤______， 又， ⑥______=⑦______两直线平行，内错角相等， ⑧______ 21.本小题9分 小颖是一位热衷于无人机航拍的爱好者，他从APP调取了某一次的飞行数据，并绘制了无人机在匀速爬升、悬停盘旋、匀速降落过程中的飞行高度米与操控时间分钟之间的关系图.已知匀速爬升的速度相同，请根据图象回答问题： 自变量是______.因变量是______； 无人机在第______分钟上升到100米的高度，它在这个高度持续了______分钟； 无人机匀速爬升的速度为______米/分钟，点A表示的意义是______； 若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的倍，求出图中b的值. 22.本小题10分 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：如图 观察图2，请你写出、、ab之间的等量关系是______； 【拓展应用】 根据中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： 若，，且，求的值； 如图3，在中，，，点M在边BC上，，在边CE上取一点Q，使，分别以BC，CQ为边在外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若的面积等于，设，求正方形ABCD与正方形COPQ的面积之和. 23.本小题12分 如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系； 如图2，在中，，点D、E分别在边BC、AC上，且，，若，，求CE的长度用含a，b的代数式表示； 如图3，在中，，，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为腰向右作等腰，使得，且，连接CF、BF， ①求证：； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段BF取得最小值时，直接写出的面积. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， ，则D不符合题意， 故选： 利用完全平方公式，积的乘方，同底数幂乘法及除法法则逐项判断即可． 本题考查完全平方公式，积的乘方，同底数幂乘法及除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：B、C、D选项中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，符合题意； 故选： 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3.【答案】C  【解析】解：A、小明在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意； 故选： 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4.【答案】B  【解析】解：，可得到，不能得到，故原图形错误，不符合题意； B.，， ， ， 故原图形正确，符合题意； C.和是一对同旁内角，不能得到，故原图形错误，不符合题意； D.如图，， ， 不能得到，故原图形错误，不符合题意． 故选： 根据平行线的判定方法，结合各选项的图形，逐一判断可得到结果． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意； 故选： 利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：由图可得，白昼时长不足11小时的节气是立春、立冬、冬至、大寒， 故选： 根据图象，可以写出白昼时长不足11小时的节气，然后即可解答本题． 本题考查函数的图象，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：将沿过点B的直线折叠，顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD， ，， ，， ，， ， 的周长为18cm， 故选： 由折叠得，，因为，，所以，，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质、三角形的周长等知识，推导出，是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：第一个图中阴影部分的面积为：，第二个图形中的阴影部分的面积为：， 故选： 根据阴影部分面积的两种不同的计算求解． 本题考查了平方差公式的几何背景，掌握矩形的面积公式是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：≌， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选： 由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积 本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积． 10.【答案】C  【解析】解：当等腰三角形的腰长是6cm时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比”； 当等腰三角形的底边长是6cm时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比”， 等腰三角形的“优美比”或 故选： 分两种情况：等腰三角形的腰长和底边长都有可能是6cm，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 11.【答案】  【解析】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形， 指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即， 故答案为： 根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，计算即可． 本题考查的是几何概率，三角形的面积和多边形的对角线，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13.【答案】  【解析】解：延长AB交DE于点M， ，， ， 故答案为： 延长AB交DE于点M，先根据平行线的性质求出的度数，进一步得出的度数，最后结合的度数即可解决问题． 本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 14.【答案】2  【解析】解：中，AD为中线， ，， 于E，于F，，，， ， ， 由题意，中，AD为中线，可知和的面积相等；利用面积相等，问题可求． 三角形的中线，把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个知识点． 15.【答案】45  【解析】解：由条件可知点M在与CD平行，且到CD的距离为的直线l上， ， 作点D关于直线l的对称点，连接交l于点M，如图所示， 则，，此时点M到C、D两点距离之和最小， 作于N，则， 由条件可知，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故答案为： 由三角形面积关系得出点M在与CD平行，且到CD的距离为的直线l上，作点D关于直线l的对称点，连接交l于点M，则，，此时点M到C、D两点距离之和最小，作于N，则，证明是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而即可得到答案． 本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16.【答案】；   1  【解析】解： ； 解： 注意运算顺序，注意任何非0数的0次幂是1； 将转化成用平方差公式进行计算． 考查负整数指数幂的计算，其中，灵活运用平方差公式进行计算． 17.【答案】解：原式 ， 当，时， 原式   【解析】原式中括号里利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18.【答案】；   不公平．理由见解答．  【解析】解：小明摸到球面数字为5的概率； 这种方法不公平． 理由如下： 小颖得到电影票的概率，小明得到电影票的概率， ， 这种方法不公平． 直接根据概率公式计算； 分别计算出小颖得到电影票的概率和小明得到电影票的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． 19.【答案】解：即为所求； 连接交MN于P，点P即为所求；   【解析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 作出A、B、C关于直线MN的对称点、、即可； 连接交MN于P，点P即为所求； 利用割补法求面积即可. 20.【答案】    EF  GH  两直线平行，同位角相等      等量代换  【解析】证明：如图2，延长EF交CD于点P， ， ①两直线平行，同旁内角互补， 又， ②， ③④同旁内角互补，两直线平行， ⑤两直线平行，同位角相等， 又， ⑥⑦两直线平行，内错角相等， ⑧等量代换 故答案为：①；②；③EF；④GH；⑤两直线平行，同位角相等；⑥；⑦；⑧等量代换． 根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 21.【答案】时间，高度；   9，3；   25，第2分钟时，无人机的高度为50米；     【解析】横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间，因变量是高度； 故答案为：时间，高度； 无人机在第9分钟上升到100米的高度，它在这个高度持续了：分钟， 故答案为：9，3； 无人机匀速爬升的速度为米/分钟， 故点A表示的意义是第2分钟时，无人机的高度为50米． 故答案为：25，第2分钟时，无人机的高度为50米； 若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的倍，则 根据图象信息得出自变量和因变量； 根据图象信息得出无人机在100米高的上空停留的时间分钟； 根据“速度=路程时间”计算即可； 根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可． 此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． 22.【答案】；   3；     【解析】图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，4个空白长方形的面积和为4ab， 所以有， 故答案为：； ，， ， ， ； ，，，， ，， 的面积等于， ， 即， 设，，由题意得，，， ， 即正方形ABCD与正方形COPQ的面积之和为 用代数式分别表示图2中各个部分的面积即可； 由的结论，利用，进行计算即可； 由题意得，，由的面积等于可得，设，，由题意得，，，根据进行计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 23.【答案】；   ；   ①如图，在AC上取一点M，使得，连接FM， ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ； ②16  【解析】解： ，， ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ； 解：， ， ，， ， ， ≌， ，， ； ①证明：如图，在AC上取一点M，使得，连接FM， ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ； ②解：， 为定直线， 当时，BF最小，如图，过点F作于点G， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积为 证明≌，得，，利用线段的和差即可得解； 证明≌，得，，即可得解； ①在AC上取一点M，使得，连接FM，证明≌，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，即可得证； ②由，得当时，BF最小，过点F作于点G，利用等角对等边证，即可得解． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $